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安徽阜阳市太和县2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A. 3.1415 B. C. D. -1
2.大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　）
A. 1 B. C. D. 3
3.下列判断正确的是（　　）
A. 若2a＜-2b，则a＞-b B. 若-3x＜2，则
C. 若a-2＞b-2，则a＞b D. 若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d
4.不等式组所有整数解的和为（　　）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
5.下列各式运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
6.下列分解因式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
7.下列关系式中正确的是（）
A. B.
C. D.
8.要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.下列各式从左到右的变形正确的是（）
A. B. C. D.
10.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.某英雄纪念碑的底座是面积为的正方形，现在沿底座四周修建一个正方形护栏，护栏和底座外沿之间的间距均为．设护栏的边长为，介于整数和之间，则的值为 ．
12.已知，则 ．
13.已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为 ．
14.已知关于、的方程组其中．
(1) 当 时，、的值互为相反数；
(2) 若，则的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
15.计算：
(1)
(2)
16.计算
(1) 解不等式组：
(2) 解分式方程：
四、解答题：本题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
先化简，再求值：；其中
18.(本小题10分)
已知a、b是有理数，若，求a+b的平方根.
19.(本小题10分)
如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
(1) 用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式）
(2) 若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
20.(本小题10分)
如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示．
(1) 设每颗玻璃球的体积为，列出x满足的不等式；
(2) 已知每放一个玻璃球水面上升，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？
21.(本小题15分)
综合与探究
【阅读理解】
图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．
某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
(1) 观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式： ．
(2) 利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为 ．
(3) 【拓展探究】
该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解．
例：若x满足，求(的值．
解：设，
则．
∴．
如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积．
22.(本小题15分)
如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”．
(1) 已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”；
(2) 已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数．
①求所代表的代数式；
②求的值．
23.(本小题15分)
为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元．
(1) 求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
(2) 某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根，
①求共有哪几种购买方案；
②比较哪一种购买方案更省钱．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】7
12.【答案】4
13.【答案】且
14.【答案】【小题1】

【小题2】

15.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．

16.【答案】【小题1】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
【小题2】
解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项并合并同类项，得：．
系数化为，得：
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．

17.【答案】解：原式
，
当时，．

18.【答案】解：∵，
∴．
∵a、b都是有理数，
∴，解得，
则a+b=1+2=3，3的平方根为，
即a+b的平方根是．
19.【答案】【小题1】
解：
平方米，
∴铺设的草坪的面积为平方米；
【小题2】
解：当时，平方米，
∴铺设草坪所需要的费用为元．

20.【答案】【小题1】
解：由题意得，；
【小题2】
解：设可以放m个小球，
由题意得，，
解得，
∴m的最大值为15，
答：使水不溢出杯子，最多能放15个小球．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
62
【小题3】
设，，
四边形和四边形为正方形，
，，
四边形为正方形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
正方形和正方形的面积之和为38，
，
，
，
．

22.【答案】【小题1】
解：，，
，
故与互为“和整分式”，“和整值”为；
【小题2】
解：①，
由于“和整值”，
，
即，
；
②，
分式的值也为正整数，
或或，
解得或或．

23.【答案】【小题1】
解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得：
解得：
答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元．
【小题2】
解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个，
由题意得：
解得：．
为正整数，
∴，，．
共有三种购买方案：方案一：购买跳绳根，毽子个；
方案二：购买跳绳根，毽子个；
方案三：购买跳绳根，毽子个．
②方案一的费用为：元，
方案二的费用为：元，
方案三的费用为：元．
，
方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个．

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