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2025-2026学年上海师范大学附属中学闵行分校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知函数的图像在点处的切线为，则( )
A.
B.
C.
D.
3.已知点集、分别表示曲线、，其中实数、、满足，，则、的公共点的个数可能为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是个．
椭圆的长轴长为
线段长度的取值范围是
的面积最小值是
的周长恒为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线的焦点坐标是 ．
6.直线与直线平行，则 ．
7.已知是定义在上的可导函数，若，则 ______．
8.若，则 ．
9.若直线与圆相交，则实数的取值范围是 ．
10.经过点，且与圆：相切于原点的圆的方程为 ．
11.若双曲线的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为，则该双曲线的方程为 ．
12.设点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为 ．
13.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是________．
14.已知抛物线：的焦点为，点，在抛物线上，若，且的最小值为，则到抛物线的准线的距离为 ．
15.如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台：寻找小狗已知矩形与曲边图形为视线遮挡物，其中线段：，曲线：小狗沿线段：以每秒米的速度从跑到，则小明能看到小狗的最长时间为 秒精确到
16.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯如图，其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点．
当为椭圆的上顶点时，求的大小；
直线与椭圆交于，，若，求的值．
19.本小题分
如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．
Ⅰ求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；
Ⅱ求面积的最大值．
20.本小题分
已知双曲线的标准方程为若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为．
求双曲线的标准方程；
若点，求的取值范围；
若斜率为的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
21.本小题分
设函数的定义域为，其导函数为，若存在区间及实数满足：对任意，都有恒成立，则称函数为上的“函数”．
判断函数是否为上的函数，并说明理由；
已知实数满足：函数为上的函数，求的取值范围；
已知函数存在最大值对于以下两个命题，
：对任意，都有与恒成立；
：对任意正整数，满足函数都是上的函数；
判断是否为的充要条件，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.或
15.
16.
17.解：因为，所以，
由得或，
故函数的单调递增区间为，；
由得，
故函数的单调递减区间为．
令得，
由可知，在上有极小值，极大值，
而，，
所以在上的最大值为，最小值为．
18.解：易知，，，
所以，
又，
所以；
设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
解得．
19.解：依题意，以的中点为原点建立直角坐标系如图，
则点的横坐标为，
点的纵坐标满足方程，
解得
，
其定义域为．
记，，
则．
令，得．
因为当时，；当时，
，所以是的最大值．
因此，当时，也取得最大值，最大值为．
即梯形面积的最大值为．
20.解：由题意得，解得，
则双曲线．
设，，
则，
所以取值范围为．
存在．
证明如下：
双曲线的右焦点，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
与双曲线方程联立消得，
所以，得，且．
设，，
，
假设存在实数，使得，
则对任意恒成立，
所以，解得，
当直线的斜率不存在时，由，及知结论也成立，
综上，存在，使得．
21.解：是，理由如下：
设定义域为的函数在上可导，导函数为．
若区间及实数满足：任意成立，
则称函数为上的“函数”．
因为，所以，在上恒成立，
所以是上的函数；
实数满足：函数为上的函数，
则有，得，
函数，有在上恒成立，
又在单调递减，
所以，
所以，
即的取值范围为；
是，理由如下：
若成立，则对任意正整数，有，
即为上的函数，成立，
故为充分条件．
若成立，即对任意正整数，有，
记函数的最大值为．
先证明恒成立．
反证法，假如存在使得，
则取正整数，使得，
此时有，与矛盾．
则有恒成立，这意味着为上的单调递减函数．
再证明恒成立．
取为的一个最大值点，
则当时，由单调性知，
但，所以，
于是
对任意，可取一个与有关的正整数，使得，
由知：．
于是成立，
故也为的必要条件．
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