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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数在复平面内对应的点为，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列说法中，正确的为( )
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥
4.在中，角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. C. D.
5.某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距米的，与该信号塔的塔底在同一水平面上两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，为与的交点，且，则向量在上的投影向量的模取得最小值时，( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，且的面积，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于复数的四个命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的共轭复数的虚部为
C. 若，则的最大值为
D. 若是方程的根，则
10.菲，是一种含三个苯环的稠环芳烃，化学式为，存在于煤焦油中，菲的三个环的中心不在一条直线上，菲的分子结构图如图所示图中的三个正六边形在同一平面内，将菲的分子结构图中的个原子分别记为，，，，，，，，，，，，，，如图所示，则( )
A. B.
C. D.
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是( )
A. 若点是的重心，则的面积为
B.
C. 的最小值为
D. 若点是的外心，且，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为 ．
13.在梯形中，，，，，若在线段上运动，且，则的最小值为______．
14.如图，在中，若，在外取点，且，，则的大小为 ，四边形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，．
求向量与的夹角；
若，求实数的值；
求的最小值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，；；．
求角的大小；
设面积为，且，，求的面积．
17.本小题分
已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且．
若，，为角的平分线，且交于点，求的长；
若的面积为，为的中点，求长的最小值；
若，求周长的取值范围．
18.本小题分
已知中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，的面积，求边的长；
如图，作位于直线异侧，使得四边形满足，，求边的最大值．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为．
在斜坐标系中，，求；
在斜坐标系中，，，且与的夹角．
求；
，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，
可得，，
所以，
因为，
所以；
由，，
可得，
由得，
所以，
解得；
由得，
所以，
当时，的最小值为．
16.解：若选：，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，即，
又，所以；
若选：，
由正弦定理得，
又，所以，即，
又，所以；
若选：，
，
，
即，
又，所以，即，
又，所以；
由，
可得，
解得，
由，可得，
由知，则，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，
所以，解得或舍去，
所以的面积为．
17.已知，，
根据平面向量数量积的坐标运算可得，
由，
由，
因此有，
由已知得，
且为角的平分线，所以，
因为，
所以根据三角形的面积公式可得，
即，解得；
由已知，又的面积为，
则根据三角形的面积公式可得，解得，
又，
则
，
当且仅当时，等号取到，所以，
则长的最小值为；
由正弦定理可知：，
因此有
，
因为，所以
因此周长的取值范围为．
18.解：由题意得，
根据正弦定理可得：，
根据余弦定理可得：，即；
，
则，
由正弦定理得，，
，
由正弦定理可得，；
设，则，，
在中，由正弦定理得，
可得，，
在中，由正弦定理得：，
，
当时，即，可得的最大值是．
19.解：设，是平面内相交成的两条射线，
，分别为，同向的单位向量，若向量，
则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为．
因为，所以，
所以，
所以；
在斜坐标系中，，，
且与的夹角；
因为，，
所以，，
得到，
根据两向量的夹角公式可得，
化简并整理得，
解得或舍去，则；
，分别在射线，上，，
，为线段上两点，且，，
设，，，
如图，作出符合题意的图形，
因为为中点，
所以根据中点向量可得，
同理根据平面向量的加法法则可得：，
则
，
在中，，，，，
依据余弦定理得，
整理得，
所以
，
在中，，，
由正弦定理，
设，则，，
根据二倍角的余弦公式可得
，
因为，所以，则，
所以当时，取得最小值，
即取最小值，此时取最小值．
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