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2025-2026学年福建省厦门市第三中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等差数列，，为方程的两根，则( )
A. B. C. D.
2.曲线在处的切线斜率为，则( )
A. B. C. D.
3.下列命题正确的是( )
A. 线性回归直线必过样本数据的中心点
B. 当相关系数时，两个变量负相关
C. 甲、乙两个模型的分别约为和，则模型乙的拟合效果更好
D. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高
4.已知某校名学生的体能测试得分单位：分服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的常数项是( )
A. B. C. D.
6.函数的图像大致是( )
A. B. C. D.
7.年某地文旅部门积极探索政策，带动旅游消费，推出文旅一卡通旅游年卡，凡是购买文旅一卡通旅游年卡的市民可在合作影院免费观影两次小明同学购买旅游年卡后，在家附近有甲、乙两家合作影院可供选择，小明第一次去甲、乙两家影院观影的概率分别为和如果他第一次去甲影院，那么第二次去甲影院的概率为，如果他第一次去乙影院，那么第二次去甲影院的概率为现已知小明同学第二次去了甲影院，则第一次去的是乙影院的概率为( )
A. B. C. D.
8.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且第项与第项的二项式系数相等，则( )
A. B.
C. 展开式的各项系数和为 D.
10.数列中，，，则下列说法正确的是( )
A. 当，时，
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 当，时，
11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设天，则( )
A. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有种
B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有种
C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有种
D. 课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有种
E. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知，是一个随机试验中的两个事件，且，则 ．
14.某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某班社会实践小组在寒假去书店体验图书销售员工作，并对某图书定价元与当天销量本天之间的关系进行调查，得到了一组数据，发现变量，大致呈线性关系，数据如表所示：
定价元
销量本天
根据以上数据，求出关于的回归直线方程；
根据回归直线方程，预测当该图书每天的销量为本时，该图书的定价是多少元？
参考数据：．
参考公式：回归方程中斜率的最小二乘估计值公式为．
16.本小题分
某市施行“垃圾分类”后，为了解该市某区居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄的关系，随机抽取该区名居民进行调查，得到如下列联表：
支持 不支持 合计
岁青年
岁及以上中老年
合计
根据小概率值的独立性检验，分析该区居民对“垃圾分类”政策的支持度是否与年龄有关；
按“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述名居民中抽取人，再从这人中随机抽取人进行进一步访谈，记抽取的人中支持“垃圾分类”的人数为，求的分布列．
参考公式：，其中．
参考数据：
17.本小题分
已知数列中，，，．
证明数列为等比数列，并求数列的前项和；
记，数列的前项和为，求证：．
18.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间和极值；
若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；
若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
19.本小题分
现有国际乒联认证的“星”比赛用球和“星”训练用球已知一个球桶中共装有个乒乓球，其中个“星”球，个“星”球．
现从桶中任取一个球，记录球的星级后放入桶内，连续取球三次，记取到“星”球的次数为，求的分布列与方差．
若从桶中依次取球，每次取一个，取到“星”球，则放回桶中，取到“星”球，则不放回桶中，直至将“星”球全部取出结束取球．
求第三次取球取到“星”球的概率；
记第次取球后结束取球的概率为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由表格可知，，
则，
，
，；
由知，当，，
即该图书每天的销量为本时，该图书的定价是元．
16.解：零假设：居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄有关．
“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述名居民中抽取人，
再从这人中随机抽取人进行进一步访谈，
记抽取的人中支持“垃圾分类”的人数为，
“支持”和“不支持”的人数比为：：，
则抽取的人中“支持”和“不支持”的人数分别为，，
则的可能取值为，，，，
则，
，
则的分布列为：
17.证明：数列中，，，．
两边同时取倒数，可得，
两边同时减去，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以，
，
所以，
上面两式相减可得
．
所以．
证明：由可得，
所以，所以，
因此，
所以，
令，
当时，；
当时，；随着的增大，逐渐变小，逐渐增大，
因为，所以，即，所以，所以．
18.解：易知的定义域为，
当时，．
所以，
令，可得，所以函数在上单调递增，
令，可得，所以函数在上单调递减；
因此在处取得极大值，为；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值；
易知，的定义域为，
由函数存在单调递减区间可知在区间上有解，
即在区间上有解，即，
而，当且仅当时等号成立，
所以，又，所以，
因此的取值范围为；
当时，，
又，则，
令，
则，
令，得，，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
所以，
又，
易知，
所以，
因为方程在上恰有两个不相等的实数根，
所以；
即实数的取值范围为．
19.解：由题意可知有放回取球，每次取到“星”球的概率为，
三次取球独立，，
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：


．
由题意知只有次取不完个“星”球，才会进行第三次取球，
此时分两种情况：当前次取到“星”球剩余个“星”球，
此时概率为，
该情况下第三次取取“星“球的概率为，
当前次恰好取到个“星”球剩余个“星”球，
此时概率为，
该情况下第三次取到“星”球的概率为，
第三次取球取到“星”球的概率为：
．
第次取球后结等价于前次取球恰好取到个“星”球，
第次取到剩下的个“星”球是在第次取到，
此时对应的概率为，
则，
设，则，
，
，．
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