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2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算：( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.一个三角形的两个内角分别为和，如果角所对边的长为，那么角所对边的长为( )
A. B. C. D.
4.已知，为单位向量，其夹角为，则( )
A. B. C. D.
5.在中，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.已知为第一象限角，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，分别是边，上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点，若，则实数的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列命题中正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 与垂直
10.下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A.
B.
C.
D. 若，则面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则当时，的值为 ．
13.若，，则 ．
14.如图，平面四边形中，，，，，，点满足，则线段的长 ，四边形的面积 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
将复数化成的形式，并求；
复数是的共轭复数，求的实部和虚部．
16.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，分别为边，的中点．
设，，试用，分别表示，；
求的大小．
17.本小题分
已知为第二象限角，．
求的值；
求的值；
若，求的值．
18.本小题分
定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“函数”，向量为的“向量”例如，对于向量，则称为向量的“函数”，向量为的“向量”记平面内所有向量的“函数”构成的集合为．
已知，若函数，求函数的“向量”的模长；
在中，角，，的对边分别为，，，向量的“函数”为，且当时，取得最大值．
求角的大小；
设为的重心，为线段的中点，若，求的最大值．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，．
已知，，，求的外接圆半径；
若是钝角，求证：，其中表示的外接圆半径；
给定三个正实数，，，其中，试确定，，满足怎样的数量关系时，存在以，为边长，为外接圆半径的，并用，，表示相应的第三边的值角，，的对边分别为，，
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：，
故；
因为复数是的共轭复数，所以，
复数的实部是，虚部是．
16.解：，
因为，分别为边，的中点，
所以；
解法一、，
，
因为，，，所以；
因为，，所以，，
由公式得；
因为，所以．
解法二、以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则，，，，，，
所以，，，，，
由公式得，
因为，所以．
解法三、以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则，，，，，，
在中，，在中，，
所以．
因为，所以．
17.解：因为，
所以，
可得，
将其代入，得，可得，
因为为第二象限角，所以，
可得，，
故；
由可得，，
可得；
因为
，
所以，
可得，
又由可知，
所以．
18.解：可化为，
由定义可得函数的“向量”，
所以，
所以函数的“向量”的模长为；
向量的“函数”，
在中，，
所以，
当时，取得最大值，且，所以，故；
延长与边交于点，
因为为的重心，所以为的中点，
又为的中点，则，，
所以 ，
因为，，，，
所以．
因为，，
所以由余弦定理可得，．
因为，当且仅当时等号成立，
所以，所，
所以，
所以，
所以的最大值为．
19.解：由余弦定理，，
代入，，，得
，
故．
由，知为直角三角形，且角为直角．
因此，外接圆半径．
证明：由余弦定理，．
因为钝角，故，得，即．
由正弦定理，，且，故，
因此，即．
综上，，故．
解：在中，由正弦定理，，
故，．
因，为三角形内角，故，，结合，得．
当时，，不存在满足条件的三角形；
当时，存在满足条件的三角形，分情况讨论：
当时，，故．
此时由勾股定理，．
当时，，角有锐角、钝角两种可能：
若为锐角，则，且为锐角，，
故，
得．
若为钝角，则，为锐角，
故，
得．
当时，，故，
则，
得，
综上所述，当时，不存在；当时，存在，第三边为：当时，；
当时，；当时，．
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