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2025-2026学年广东省清远市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是( )
A. B. C. D.
5.“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图；则第行的第个数是( )
A.
B.
C.
D.
6.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.关于的展开式，下列说法中正确的是( )
A. 各项系数之和为 B. 第二项与第四项的二项式系数相等
C. 常数项为 D. 有理项共有项
11.已知直线与曲线相交于，两点，与相交于，两点，，，的横坐标分别为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.多项式的展开式的各二项式系数的和等于 ．
13.函数的最小值为 ．
14.平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过秒，该蚂蚁都会随机的选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，则在第秒，蚂蚁到原点的距离等于的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
16.本小题分
包含甲乙丙在内的人站成一排．
一共有多少种不同的排法？
甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？
甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？
甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？
甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？
17.本小题分
设，求下面各式的值．
求；
求；
求．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
当时，判断函数的零点个数．
19.本小题分
已知函数，其中．
，
当时，讨论的单调性；
若存在，使得成立，求的取值范围；
当时，证明：对任意的，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：的定义域为，导函数，
因此，，
因此曲线在点处的切线为，即．
的定义域为，导函数．
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以函数在处取得极小值，极小值为．
所以函数的极小值为，无极大值．
16.解：人站成一排，共有种不同的排法．
先排甲、乙两人，共有种不同的排法，
再排其他人，共有种不同的排法，
所以共有种不同的排法．
把甲、乙、丙三人看成一个整体，再与其他人一起排队，
所以共有种不同的排法．
先排其余人，再把甲乙丙插入人形成的个空位含两端，保证均不相邻，
所以共有种不同的排法．
甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有种．
17.；
令，
则，，
联立两式，得，
所以有；
对左右两边分别求导，
得，
令，则有．
18.解：由，可得的定义域为，
且
若，当时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，令，可得，令，可得或，
故在上单调递减；在和上单调递增；
当时，，在上单调递增；
当时，令可得或，令可得，
故在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
当时，，
当时，由知，
函数在上单调递减，在，上单调递增，
又因为，
而趋近正无穷时，趋近正无穷，
故在上只有一个零点；
当时，，在上单调递增，且连续不间断，
且，故在上只有一个零点．
当时，令，解得，即在上只有一个零点，
当时，令可得，令，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷，
若，即时，在上只有一个零点；
若，即时，在上无零点；
若，即时，在上有两个零点；
综上所述：
当时，函数无零点；
当或时，函数的零点个数为；
当时，函数的零点个数为．
19.解：当时，，
则，
当时，，
所以，，所以，
所以在上单调递增．
存在，使得成立，
即存在，使得成立，
令，
，
由可得，
所以，
令，，
所以在上单调递增，
，所以，
所以在上单调递增，
存在，使得成立，
即，
综上：，
所以实数的取值范围为；
证明：当时，
令，
则．
令，
则，
令，．
令，
求导得在时恒成立，
所以在上单调递减，，，
所以，使得．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
，，，
所以，使得．
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
，，
，
所以，使得．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减，
，，
所以，
即对任意的，．
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