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2025-2026学年海南中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为虚数单位的共轭复数记作，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标若在该坐标系中，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角内一点满足，且，则为( )
A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
8.在中，角，，的对边分别为，，，向量，，，若，，则边上的中线为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中不正确的是( )
A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点
10.设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，，则符合条件的有两个
11.正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有( )
A. 的最大值为
B. 当为内部的点，：：：：，，则
C. 点在线段上时，
D. 若，则点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是 ．
13.在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位已知点，点，将向量绕点逆时针旋转得到向量，则对应的复数为 写成复数的三角形式．
14.已知球内切于圆台即球与圆台的上、下底面及侧面均相切，且圆台上、下底面半径之比为：设圆台的侧面积为，球的表面积为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，．
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知向量．
若，求的取值；
若向量，夹角为钝角，求的取值范围．
17.本小题分
如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内测得到，的俯角和分别为，，到，的俯角分别为，，同时测得．
求，两点间的距离；
求山顶，之间的距离．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，且．
求；
若为锐角三角形，求的取值范围．
若角的角平分线交于点，求长度的最大值．
19.本小题分
在中，周长为，面积为，且．
求边的长度；
若动点是内切圆上的一点且．
求的值；
求的取值范围．
参考答案
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15.解：由是纯虚数，可得，解得，
故的值为．
由 在复平面内对应的点在第四象限，
可得，解得，即的取值范围为．
16.解：因为向量，
所以，
根据向量的模长公式可得，
即，解得：或；
因为向量，夹角为钝角，
所以且，不共线，
则根据平面向量数量积的坐标运算可得，解得，
当，反向共线时，有，解得，
所以且，不共线时，的取值范围为：，
综上，向量，夹角为钝角时，的取值范围为．
17.解：如图所示，在三角形中，，
根据正弦定理可得，，因此．
因为，，
所以，易求得，
在三角形中，，，
代入数据有，即．
因此，之间的距离为．
18.解：根据正弦定理，，
，
，
即，
由可得，即，
由，可得；
，
，
根据三角形为锐角三角形可知，，解得，
，，
；
如图，
根据余弦定理可知，，
即，当且仅当时，等号成立，
又，
化简可得，，
，当且仅当时等号成立，
故BD长度的最大值为．
19.由，解得，
所以，
所以，
由题得，，
解方程组，
解得，，或，，，
所以．
由题意得内切圆的半径，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
如果，，
所以，
所以，
所以，
解得，，，
当，时，，
所以．
以点为坐标原点建立直角坐标系，
则圆的方程为，
设，不妨设，，
所以，，，
所以，，
所以
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