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2025-2026学年江苏省盐城市阜宁中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列命题：
“”是“复数为纯虚数”的充要条件；
四条首尾相连的线段确定一个平面；
一个平面可以将空间分成两部分；
直线绕定点运动形成锥面；
有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．
正确的有项．
A. B. C. D.
3.如图，一个矩形边长为和，绕它的长为的边旋转一周后所得的一开口容器下表面密封，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为的海面处，并以的速度沿北偏西的方向移动如果台风侵袭的范围是半径为的圆形区域则小时后该城市开始受到台风侵袭．
A.
B.
C.
D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
7.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图所示，其平面图形为正八边形，如图所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是( )
；
；
在上的投影向量为其中为与同向的单位向量；
若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.若的三个内角，，的正弦值为，，，则( )
A. ，，一定能构成三角形的三条边
B. 一定能构成三角形的三条边
C. ，，一定能构成三角形的三条边
D. 一定能构成三角形的三条边
9.如图，空间四边形中，，分别是边，的中点，，分别在线段，上，且满足，，，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，四边形是矩形
B. 当时，四边形是梯形
C. 当时，四边形是空间四边形
D. 当时，直线，，相交于一点
10.已知函数，则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到
C.
D. 若函数在上至少有个零点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.在斜内，内角，，所对的边分别为，，，若，则 ．
12.在正方体中，为的中点，则与所成角的余弦值为 ．
13.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知复数，且为纯虚数是的共轭复数．
求实数的值；
设复数，求；
复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
求的最小值．
16.本小题分
如图，已知在平面四边形中，，，．
若平分，求的长；
设，，
若，求四边形的面积；
当四边形面积最大时，求证：．
17.本小题分
如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，．
若点为的中点，证明：；
当时，求异面直线与所成角的余弦值；
当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值．
18.本小题分
在三角形中，角，，所对的边分别为，，．
在斜三角形中：
若，，求的值．
(ⅱ)若，求的值．
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以；
，
所以；
因为，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数的取值范围为．
15.解：，，
化为：，
，
，，
，
，．
由可得：，，，
为钝角，，都为锐角，．
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
16.解：因为平分，可得，
由余弦定理，可得，
所以，解得，
所以；
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
在中，可得，
因为，所以，
由四边形面积，
所以
；
证明：在中，可得，
在中，可得，
所以，
整理得，
设四边形的面积为，
则，
即，
由得：，
整理得，
即，
因为，，
所以，则，
当且仅当时，，
此时取最大值，即有最大值，
所以当四边形面积最大时．
17.解：证明：设，取中点，连接，，，
为等边三角形，为中点，
，，
在中，为中点，，
，
在中，，，
，
在中，，
．
设，取中点，连接，，，
取，中点，，连接，，，由得，，
在，中，，，为，，中点，
，且，
故异面直线与所成角为与所成的角，
在中，，，，
，
在中，，
故异面直线与所成角的余弦值为．
设，，
异面直线与所成角的余弦值为
由可知，
，故CD，
在中，，，，
，故．
18.解：因为，，
则两式相除，得，即，
两式相减，得，
即，
整理，故，
在斜三角形中，由可得恒等式，
将代入，
因此；
由正弦定理，得，，，
代入原式得，
化简得，
又因为三角形面积公式，且，
所以，
因为，代入，
整理，
两边同除以，得，
令则，
由均值不等式得，当且仅当时取等号；
又因为，故等号必须同时成立，
即时，
因为，得，所以，
因此；
因为，
所以，
整理得，即，
由，得，
由，得，故，
此时，即，
因，故或，即或，
当时，，由正弦定理，
所以，
当时，，
当时，，
若时，，此时，
若时，，此时，
因此；当时，，同理，
其中，，故，
综上，的取值范围为．
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