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2025-2026学年天津市第一中学滨海学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，在平行四边形中，连结，下列运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知中，，，，则( )
A. B. 或 C. D. 或
4.若是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.下列命题正确的是( )
A. 如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内
B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面
C. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行
D. 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行
7.如图，在直角梯形中，，，，，，用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图为四边形，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
9.已知向量，满足：，，，则，( )
A. B. C. D.
10.在，若，且，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
11.如图，已知正六棱锥的侧棱长为，底面边长为，是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.在中，，，为线段上的动点，且，则的最小值为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.设复数，则的共轭复数 ；的模 ．
14.若向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
15.已知四棱锥底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为 ．
16.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥已知圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则这个木质工艺品的体积为 ，表面积为 ．
17.智能机器人已开启快递代取服务，某机器人现从某点出发开始工作，先沿正北方向前行，然后沿北偏西方向继续前行了，则此时机器人与出发点的距离为
18.欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被称为“数学中的天桥”，若复数满足，则的虚部是 ，实部是 ．
19.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若，，则向量在上的投影向量的模为 ；设，，若，则 ．
20. 如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面为则下列命题正确的是______写出所有正确命题的编号．
当时，为等腰梯形；
当时，与的交点满足；
当时，为六边形；
当时，的面积为．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知向量，，
求与垂直的单位向量，以及与的夹角余弦值；
求满足的实数，；
若，求实数．
22.本小题分
已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，侧棱长为，求此三棱台的体积．
Ⅱ如图，直三棱柱中，是的中点，四边形为正方形．
若为等边三角形，，求直三棱柱的体积；
求证：平面D.
23.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，已知．
求的值；
求的值；
求．
24.本小题分
已知的内角、、的对边分别为、、，且．
求；
设的外接圆圆心为，且，为定值如图，是以为半径，为圆心角的扇形，点为边上的动点，点为边上的动点，满足与相切，设．
当，时，求；
在点、的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
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18.；．
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21.设与垂直的单位向量为，
则有，
解得或；
由，，
可得，又，
则，
即与的夹角余弦值为；
由，得，
即，解得：；
由题意，，，
因为，
所以，
解得．
22.解：因为正三棱台的上、下底面的边长分别为和，侧棱长为，
所以上下底面正三角形的面积分别为，，
所以此三棱台的体积为；
Ⅱ若为等边三角形，，
则底面正三角形的面积为，
所以直三棱柱的体积为；
证明：如图，设，
则为的中点，又为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面D.
23.解：因为，，，
则由正弦定理得：；
因为，，，
则由余弦定理得：，
化简整理可得，，
解得负值舍去；
由知，，
则，
则，
故，
所以．
24.解：根据正弦定理，条件式即为，
也即，
所以，
整理，得，即，
因为为三角形内角，所以，即；
由知，为中点，因为的外接圆圆心为，所以，
由知，由，得，
当时，点与重合，为切点，且，所以；
在中，
，
，
故，
在点、的运动过程中，的值是定值，此定值为．
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