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2025-2026学年云南省昆明市第三中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
4.已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在中，点在边上，点，分别在线段，上，且有，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
7.阿波罗尼斯约公元前年约公元前年，古希腊著名数学家，主要著作有圆锥曲线论、论切触等尤其圆锥曲线论是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线的右支上一点的反射，反射光线为，若反射光线与入射光线垂直，则( )
A. B. C. D.
8.已知点和是图象的两个相邻的对称中心，如图，过原点的直线与的图象在第一象限的一对相邻的交点分别为，其中在的左侧，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，若，且的面积是的面积的倍，则( )
A.
B. 点的坐标为
C.
D. 点的坐标为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆，则( )
A. 的取值范围为 B. 若的焦点在轴上，则
C. 若，则的焦距为 D. 若，则的离心率为
10.下列说法正确的有( )
A. ，
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则
11.已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的周期函数
B.
C. 函数的图象与函数的图象有且仅有个交点
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 ．
13.已知等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前项和是 ．
14.人工智能，英文缩写为是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键次，每次点击随机生成数字或或，点击结束后，生成的个数字之和即为奖券码并规定：如果奖券码为，则获一等奖；如果奖券码为的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知甲、乙、丙三人射中目标的概率是，射中目标的概率是，且每个人是否射中目标或目标互不影响，在一次射击比赛中，甲、乙、丙三人均依次射击目标和目标各一次．
求甲至少射中一个目标的概率；
记三人中两个目标均射中的人数为，求随机变量的概率分布和数学期望．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若函数在上恰有两个零点，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得．
证明：平面；
若，，求二面角的正弦值．
18.本小题分
分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得分，先得分且至少领先分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成：后，每球交换发球权，领先分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立已知第一局目前比分为：．
求再打两个球甲新增的得分的分布列；
求第一局比赛甲获胜的概率；
现用中的估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
19.本小题分
已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．
当时，求；
证明：存在常数，使得；
，，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．
参考答案
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15.解：设“甲射中目标”为事件，“甲射中目标”为事件，
“甲至少射中一个目标”为事件，
则，，
；
由知：甲两个目标均射中的概率为，
依题意知：乙、丙两个目标均射中的概率也为，
所以，
所有可能的取值是，，，，
；
，
的分布列为：
．
16.解：根据函数，得导函数，
那么，，
因此函数在点处的切线方程为，即；
令函数，那么，
记函数，
那么导函数，
令导函数，那么，令导函数，那么，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数，的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为．
17.证明：是边上的高，
，，
，，平面，平面，
平面，，
又，，平面，，
平面；
解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直平面为轴，建立空间直角坐标系，
，，
则，，，，
，
设平面与平面的一个法向量分别为，
故，解得：，令，得：，
则，，解得：，令，则，
故，
设二面角平面角为，显然为锐角，
，
，
即二面角的正弦值为．
18.解：依题意，的所有可能取值为，，，设打成：后甲先发球为事件，
则乙先发球为事件，且，
所以，
，
，
所以的分布列为：
设第一局比赛甲获胜为事件，则，，，
由知，，，，
由全概率公式，得，
解得，即第一局比赛甲获胜的概率；
由知，故估计每局比赛甲获胜的概率均为，
设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，
所以，，
，
故该场比赛甲获胜的概率．
19.解：抛物线的焦点，，
，直线的方程为，代入抛物线的方程，
，解得，
抛物线的准线方程为，可得，
，；
证明：当时，，
设，根据对称性，取，直线的方程：，则，
联立和，可得，
，
，
则存在常数，使得，
由对称性知，时也成立；
，可知为中点，
设，，，则
，
由
，
又
，
则
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