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七年级数学（北师大版）下册期末压轴题专项
第一章 整式的乘除
一、选择题
已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A． B．2 C．1 D．7
表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个；
③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为．
正确的有（ ）个
A． B． C． D．
有下列四个结论，其中正确的是（ ）
①若，则只能是；
②若的运算结果中不含项，则常数项为；
③若，，则的结果有三个；
④一艘轮船从地到地需天，而从地到地只需天，轮船在静水中的速度不变，则一竹排从地漂到地需要天．
A．②③④ B．①③ C．②④ D．①②③④
“铺地锦”是我国古代的一种乘法运算方法，能将多位数乘法转化为一位数乘法与简单的加法运算。淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为
若，则的值是（ ）
A．0 B． C． D．
现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　）
A．10 B． C．11 D．
已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
已知整式，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则
A．0 B．1 C．2 D．3
设 ，，．若，则的值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．6 B．9 C．5 D．3
贾宪三角（如图）最早于11世纪被发现，其中与我们当下学习联系最为紧密的，是二项式乘方展开式的系数规律。在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角的排列规律，下列结论正确的是（ ）
①展开式的第三项的系数是15；
②；
③展开式中含项的系数是2026；
④展开式中各项系数之和为32．
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
定义，以下说法正确的有（ ）个．
①若不含x的二次项，则．
②若为正整数，、、为自然数，，则满足条件的整式共计有9种．
③若（i为自然数），，，则．
④若，，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
计算：________．
对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________．
若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）．
如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______．
如果是完全平方式，那么m的值是_______．
若规定符号的意义是：，则当时，的值为______．
三、解答题
（1）计算：
计算：
【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾言：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示）
根据上面结论，当，时，_____．
【知识应用】
（2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积．
由此得到的等式为_____；（用、、表示）；
根据上面的结论，已知，，则_____．
【知识迁移】
类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示）
现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来：
图1表示：______；图2表示：______；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）请直接写出下列问题答案：
①若，，则______；
②若，则______．
如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________；
（2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________；
探究问题：
（3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________；
（4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________．
通过小学阶段的学习，我们已经知道：在周长固定的长方形中，正方形的面积最大。这一结论可以通过图形的割补方法来直观说明。
(1)【方法理解】
已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是．
①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______；
结论：可得．
②当时，同理可得；
③当时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______．
(2)【方法迁移】
仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）．
参考答案与详解
1．C
【详解】解：原式可化为：，
，
，
，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
时，为负数，不符合自然数条件，
可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1．
2．B
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
，
以此类推，，故①说法错误；
∵，，，，
∴，
∴，
故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误；
∵，，
∴，
即，
∵是大于的整数，
∴，
∵，，
∴满足条件的的最小值为，③说法正确．
3．C
【详解】∵ 结论①∶ 若，则可能为、或，例如时，时，∴ 不只能是，结论错误．
∵ 结论②∶ ∵，
∵不含项，，
∴，常数项为，故②正确，
∵ 结论③∵，得中必有两正一负，
若，原式，
若，原式，
若，原式，
故有两个结果，故③错误，
∵ 结论④∶ 设距离，船速，水速，有和，
解得：，竹排从到顺流时间天，∴ 结论正确．
∴ 正确结论为②④.
4．D
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴D选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意.
5．D
【详解】解：∵，
∴
则．
6．B
【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9，
，
（负值舍去），
，
，
（负值舍去），
由图可得，，，
.
7．A
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
两边除以 ，得，
∴，
又∵，
∴，
∴.
8．C
【详解】解：①将代入得：，解得：，故①错误．
②将展开为：，
若为完全平方式，则：，解得：，故②正确；
③∵，
∴，即
∴
，故③正确．
综上，②③正确，正确个数为2．
9．C
【详解】，，，
，，
，
，
，
，
10．D
【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
则阴影部分的面积的底为，高之和为，
所以阴影部分的面积为，即．
因为大正方形的面积为，
所以，即小正方形的面积为．
11．D
【详解】解：∵的展开式的第三项的系数为1，
的展开式的第三项的系数为，
的展开式的第三项的系数为，
的展开式的第三项的系数为，
的展开式的第三项的系数为，
∴正确；
∵
，
∴正确；
由贾宪三角的排列规律可知从第二行开始，第行的第二项的系数是，
∵展开式中含的项是第二项，展开式在第2027行，
∴展开式中含的项的系数是，
∴正确；
∵的展开式为，
∴其中各项系数之和为，
∴正确．
12．A
【详解】解：由题意可得：，
∴
，
∵不含x的二次项，
∴，即，即①错误；
由题意可得：，
∵为正整数，、、为自然数，
∴当时，，则有，共6种情况；
当时，，则有，共3种情况；
当时，，则有共1种情况；
∴则满足条件的整式共计有10种．即②错误；
∵若（i为自然数），
∴
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故③错误；
设，则，，
∵，
∴，解得：，
，
，
或，
或，
∵，
∴，
∴，
那么当时，；
当时，；故④错误；
综上，正确的个数为0个．
13．2
【详解】解：原式
，
14．26
【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足，
∴，
∴，，
∴，
∵
，
设，
要求的最小值，即需求的最小值，
∵，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
当时，，，取时，的最小值为12；
当时，，，为定值；
当时，，，取时，的最小值为12；
∴的最小值为12，
∴的最小值为.
15．
【详解】解：∵，
，
，
∴，
故．
16．
【详解】解：由题意得，
，
故：．
17．或
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，且常数项，
∴ 该式可表示为 ，
∴ ，
即 或 ，
当 时，
解得 ；
当 时，
解得 ．
综上所述或．
故答案为：或．
18．
【详解】解：由题意得
．
∵，
∴，
∴原式.
19．解：（1）原式
；
（2）原式
．
20．
正方形的边长为，
正方形的面积为，
大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形，
大正方形的面积为，
.
由可知，
，
又，，
.
类比可得：，
由可得：，
，，
.
由可得：，
21．解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和，
即：，
图2中，，
即：，
（2）①由图2可得，
，，
，
②由图1可得：，
，
，
，
（3）由题意可得，
，
，
，
，
22．解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为；
是“完全数”，理由：因为；
（2），
，或，
或，
探究问题：（3），
，，
；
（4），
由题意得：，
；
拓展结论：，
；
当时，最小，最小值为1．
23．（1）解：①当时，如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长为；如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形A、B和阴影部分组成一个边长为3的正方形，
∴，
②当时，同理可得；
③当时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9．
故答案为：；； 9．
（2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴；
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
∴，
当时，该长方形为边长是5的正方形，即
∴边长是 和的长方形的最大面积是25，
∴ 的最大值为25．七年级数学（北师大版）下册期末压轴题专项
第二章 相交线与平行线
一、选择题
如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是（ ）
A． B． C． D．
如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
如图，，点为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（ ）度．
A． B． C． D．
如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④
如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（ ）对同位角．
A．60 B．84 C．112 D．144
如果和互补，且，那么下列式子中一定表示的余角的有（ ）个
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是______．
如图（1），已知，与的角平分线相交于点F，下列结论：①；②若，则；③如图（2）中，若，，，则；④如图（2）中，若，，，则．其中正确的是______（填正确结论的序号）
如图，已知，和分别平分和，若，则_____．
如图，在四边形中，，连接，过点A作，连接平分，且，若，则的值为__________．
一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为____________．
如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论_________（填序号）
三、解答题
如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数；
将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则 ．
将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是
．
以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．
如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____；
如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系；
直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值．
直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）．
(1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示）
(2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点．
（i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系；
（ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等．
如图，，现将一块含的三角板按如图1放置，，，使点、分别在直线、上，设．
(1)求的度数；
(2)如果的角平分线交直线于点，如图2．
①当时，求的度数；
②在①的条件下，如果点是射线上的一点，将三角板绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．当旋转多少时间时，与的一边平行？
已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
(1)如图1，当时，直接写出的度数；
(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______．
参考答案
1．C
【详解】解：如图，
、∵，
∴，原选项不符合题意；
、∵，，
∴，
∴，原选项不符合题意；
、由，不能判定，原选项符合题意；
、∵，
∴，原选项不符合题意.
2．C
【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处.
3．D
【详解】解：如图所示，过点作
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
设
∴
当在和之间时，，即
∴，
当在的上方时，如图所示，
同理可得
当在的下方时，如图所示，
同理可得.
4．C
【详解】解：过点G作，
∵，
∴，
∴，，
在和中， ，，
∴，，
∴，
∵，
∴.
5．C
【详解】如图，过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别为、的角平分线，
∴，，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
解得，
.
6．D
【详解】解：解：如图，过点作，过点作，
∵；
∴，
∴，，
∴，
同理可得：，
∵，
∴
∵的平分线与的平分线交于点N．
，，
∴
∴.
7．A
【详解】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
8．B
【详解】解：当时，如图1所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
由反射定理可知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示，过点C作，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或．
9．D
【详解】解：①过点P作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；①正确；
②点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，②正确；
③过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，③正确；
④过点P作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
过点N作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有4个.
10．B
【详解】解：当点在点右侧时，如图示：
平分，平分，
，，
，
．
，
，
当点在和之间时，如图：
平分，平分，
，，
，
．
，
，则；
综上：①④正确，②③错误.
11．B
【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为，
第1次，作相交，此时有2条被截直线 ，1条截线，产生了对同位角；
第2次，作相交，此时有3条被截直线，1条截线，产生了对同位角；
第3次，作相交，此时有4条被截直线，1条截线，产生了对同位角；
以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数；
当时，代入上述规律公式可得：（对）.
12．C
【详解】解：和互补，
，
的余角为．
①，直接是余角，正确．
②，是余角，正确．
③，不一定等于，错误．
④，是余角，正确．
∴正确的有3个．
13．/
【详解】解：如图，分别过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
14．①②④
【详解】解：分别过、、作，，，
，
，
，，
，即，①正确；
，，
，
与的角平分线相交于点F，
，，
，
，，
，②正确；
，，
，
与的角平分线相交于点F，
，，
，，
，，
，
，，
，③错误；
同理可得：若，，，则，故④正确；
故选：①②④．
15．
【详解】解：如图，过点E作，过点F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
设，，
则，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴.
16．/度
【详解】解：设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
即；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即．
17．
【详解】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为．
根据题意，得方程：
展开并化简：
．
18．①②③
【详解】解：图中小于平角的角有：，共有6个，故①正确；
②图中所有小于平角的角之和为
，故②正确；
③当绕点旋转一周，
如图所示，当在内部时，
∵平分，平分，
∴，
∴
当在内部，在外部时，
∵平分，平分，
∴，
∴
当在外部时
∵平分，平分，
∴，
∴
当在内部，在外部时，
∵平分，平分，
∴，
∴
综上所述，始终等于，故③正确；
④若，，当绕点旋转一周，
如图所示，当在的内部，在外部时，
∵平分，平分，
∴
∴
如图所示，当在的外部，在内部时，
∵平分，平分，
∴
∴
；
如图所示，当、在的外部，
∵平分，平分，
∴
∴
；
始终等于或，故④不正确．
19．（1）解：，
，
恰好平分，
，
；
（2）解：，
，
，
.
（3）解：分三种情况讨论：
如图，当平分时，
，
旋转的角度是；
如图，当平分时，
，
旋转的角度是；
如图，当平分时，
，
旋转的角度是；
综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或.
20．（1）解：∵若直角三角板的一边放在射线上，，，
∴．
故答案为：
（2）解：如图所示，在内部，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，当顺时针旋转时，
∵的速度为3度/秒，的速度为1度/秒，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
如图，当逆时针旋转，在上方时，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
如图，当逆时针旋转，在下方时，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
此时，，不符合题意，舍去，
综上所述：或.
21．（1）解：过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）（i）法一：∵且，
∴，，
过点作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
过B作，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
法二：∵且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
∴，
（ii）法一：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
设三角形的面积为，三角形BFG的面积为，三角形的面积为，
三角形的面积为，
，
点到的距离相等，则，
∴，（或，∴），
即三角形的面积与三角形的面积相等．
法二：∵，，
∴，，
∵，
∴设，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为，
三角形的面积为，
，
点到的距离相等，则，
∴，（或，∴）
即三角形的面积与三角形的面积相等．
22．（1）解：如图1，过点G，作，
，
，
，，
，
；
（2）解：①，
，
平分，
，
又，
，，
，
解得；
②如图2，当时，延长至点Q，
，
，
，
，
由题意知，，
由①得，
，
解得：；
当时，
，
由题意知得，
∴，
解得；
如图4，当时，延长交于点T，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
如图4，当（第二次）时，
则，
∴，
解得：；
综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，与的一边平行．
23．（1）解：如图，延长交于，设，交于点，
设，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
，
即：，
；
（2）解：，
理由如下：如图，延长交于，设，交于点，
设，则，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，，
，
即：，
；
（3）解：，
，
，
，是的平分线，
，
，
转动过程中，，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
在转动过程中，，
设所在直线与射线的夹角为，
，
在转动过程中，，
①当时，
当时，此时，在下方，
，
即，，
解得：，
当时，此时，在上方，
，
即，，
解得：，
②当时，
当时，此时，在上方，
，
即，，
解得：，舍去，
当时，此时，在下方，
，
即，，
解得：，
③当时，
当时，，
即，，
解得：，
当时，，
即，，
解得：，
综上所述，或3或6或12或15．七年级数学（北师大版）下册期末压轴题专项
第四章 三角形
一、选择题
如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，，且，则的度数是（ ）
B． C． D．
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（ ）
A． B． C． D．
下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒
如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，则点的运动速度为（ ），使得A、、三点构成的三角形与B、、三点构成的三角形全等．
A． B． C．或 D．或
如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（ ）
A．5 B．5或10 C．10 D．6或10
一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（ ）．
A．18 B．24 C．45 D．60
如图，是正方形的边上任意一点，且，则的面积是正方形面积的（ ）．
A． B． C． D．
等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　）
A． B． C．或 D．或
如图，在△ABC中，，．为上一点，满足，为△ABC三条角平分线的交点，则的度数为( )
A．30° B． C．50° D．60°
二、填空题
如图，△ABC的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒．
如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为___________秒．
如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______．
如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______．
如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，___________s．
如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________．
三、解答题
19．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ．
【问题应用】
（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】
如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明．
如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设．
(1)若，直接写出的度数；
(2)试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由；
(3)若，，，求与的面积之和的最大值．
如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)如图①，当时，___________；
(2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半；
(3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度．
如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）．
(1)直接写出的面积为_______．
(2)用含的代数式表示的长．
(3)当时，求的值．
(4)当时，求的值．
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：
(1)若，则的度数为______．若，则的度数为________．
(2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】如图：共7个点符合.
2．A
【详解】解：，
，，
的面积，
的面积的面积，
阴影的面积的面积
3．C
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
4．A
【详解】解：在上截取，
∵，
∴，
∴，
A. OABCO的线段表示为：,
B. OACBO的线段表示为：,
C. OBACO的线段表示为：,
D. OBCAO的线段表示为：,
∴
，
∵，
∴，
故B不符合题意；
在上截取，
∵，
∴，
∴，
又
，
∵，
∴，
故C不符合题意；
．
，
∵，
∴，
故D不符合题意.
5．C
【详解】解；说法①：周长相等的两个三角形不一定全等，如三边分别为3、4、5和4、4、4的三角形，周长均为12但不全等，故①错误；
说法②：面积相等的两个三角形不一定全等，如底和高相同但形状不同的三角形，故②错误；
说法③：两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等，可通过构造辅助线证明全等，如延长中线倍长后利用或证明，故③正确；
说法④：两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）对应相等，由两角相等得三角对应相等，再结合角平分线相等，利用或可证明全等，故 ④正确；
说法⑤：两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等，但高可能落在三角形外部导致夹角不同，如两边及一边的高相等时可能形成锐角或钝角三角形而不全等，故⑤错误；
综上所述，正确的说法有③和④，共2个.
6．D
【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，，
∵，，
∴，
解得．
②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，，
∵，，
∴，
解得．
综上，或.
7．D
【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为，
，
A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，，
解得：，
；
②，，
则，，
解得：，.
8．A
【详解】解：由题意得，设米，则米，米，
（1）当时，
则，
即，
解得：；
（2）当时，
则米，
此时所用时间x为10秒，
而米，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，与全等．
9．D
【详解】解：∵等腰三角形两边之比为，
∴设等腰三角形两边长为，（），
若腰为，底边为，
此时三边为、、，
∵，
∴无法构成三角形，三角形不存在．
若腰为，底边为，
此时三边为、、，
∵，
∴可以构成三角形．
当底边时，．
腰长为．
∴此时三角形周长为．
当腰时，，
底边长为，
∴此时周长为．
∴这个等腰三角形的周长最大可以是.
10．A
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，正方形面积为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的面积是正方形面积的．
11．C
【详解】解： 等腰周长为，一边长为，
当为腰长时，底边长为，
和谐比为：；
当为底边长时，腰长为，
和谐比为：．
∴ 和谐比为或．
12．B
【详解】解：如图，连接，，，在上截取，连接，
，
为的三条角平分线交点，
平分，平分，平分，
，，，
，，，
，
，
，，，
，
，
.
13．或
【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，．
∵，
∴，解得．
②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，．
∵，，
∴当时，．
∵，，
∴，解得．
综上，或．
14．或或
【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下：
当点在线段上，时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点的运动速度为个单位/秒，
∴运动时间（秒）；
当点在延长线上，时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点的运动速度为个单位/秒，
∴运动时间（秒）；
当点在延长线上，时，，
∴，
∵，
∴，
∵点的运动速度为个单位/秒，
∴运动时间（秒）
∴的值为或或.
15．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵梯形的面积，
，
，
∴图中实线所围成的图形的面积，
16．/0.5
【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，
此时，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H是的中点，
∴，
∴点P与点H重合，
∴，
∴.
17．1或或
【详解】解：由题意得，
∴，
当点在上，点第一次从上时，
∵与全等，
，
，
，
当点在上，点从上时，
∵与全等，
，
，
当点在上，点从上时，
∵与全等，，
，
，
（舍）；
当点在上，点第二次从上时，
∵与全等，，
，
，
综上所述：t的值为1或或.
18．
【详解】解：如图：
设长方形面积为S，则阴影部分面积为，
∵Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6，
∴ ，
∵Ⅰ的面积为7，
∴，解得：，
∴，即阴影部分面积为．
19．
解：（1）∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：；
（2）线段与的数量关系是：，理由如下：
延长到F，使，连接，如图所示：
则，
同（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下：
过点C作于点H，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，．
20．（1）解：∵点B和点P关于直线对称，
∴，
∴；
（2）解：点P、M、Q在同一条直线上，理由如下：
∵，
∴，
∵点B和点P关于直线对称，
∴，
∴，
∵点A和点Q关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点P、M、Q在同一条直线上；
（3）解：过Q作于点H，连接，设与相交于点，
∵点A和点Q关于直线对称，，
∴，
∵点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，
∴和关于直线对称，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当点H、D与点B重合时，QH最大值是4；
∴，
又∵，
∴，
故和的面积之和的最大值是．
21．（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为，
，
当时，点在线段上，此时，
故答案为：；
（2）解：在中，，，，，
，
的面积等于面积的一半，
当点在上时，如图，此时，
，
解得：；
当点在上时，如图，过点作于点，此时，
，
，
，
，
，
解得：，
综上可知，当或时，的面积等于面积的一半，
故答案为：或；
（3）解：∵，，，，，，，，
∴，
①当点在上，点在上，
当时，
，，
点的运动时间，
点的运动速度为；
②当点在上，点在上，
当时，
，，
点的运动时间，
点的运动速度为；
综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，．
22．（1）解：∵，，，
∴.
（2）∵，点是边的中点，
∴，
∵点速度为每秒2个单位长度，
当时，在上，，
当时，在上，，
∴；
（3）解：∵，
∴，则在上，
∴，
解得：；
（4）解：∵，点是边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当在上时，，
解得：，
∴，
当在上时，∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：.
23．
（1）解：，，
，
，
．
，，
，
．
（2）猜想：．
理由如下：，
又，
，
即；
（3），，，，．
理由：当时，如图1所示：
∴，
∴；
当时，如图2所示：
∴；
当时，如图3所示：
∴
∴；
当时，如图4所示：
∴，
∴；
当时，延长交于F，如图5所示：
∴，
∵，，
∴，
∴．

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