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(共78张PPT)
第七章　立体几何与空间向量
7.5　空间向量与线面位置关系
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的定理,能用向量方法解决一些几何问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷 T18 新课标Ⅰ卷 T17 全国一卷
T9,T17
新课标Ⅱ卷 T20 新课标Ⅱ卷 T17 全国二卷
T17
必备知识　回顾
1.空间向量及其有关概念
1
知识梳理
名称 定义
共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线________或____,那么这些向量叫做共线向量或________
共面向量 ______同一个平面的向量,叫做共面向量
共线向量定理 对于任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使________
互相平行
重合
平行向量
平行于
a=λb
名称 定义
共面向量定理 如果两个向量a,b______,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x,y),使p=_______
空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c______,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组_______,使得p=xa+yb+zc
不共线
唯一
xa+yb
不共面
(x,y,z)
2.空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示:设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=_____________________,a-b=_________________________,
λa=_____________________,λ∈R,a·b=_____________________.
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示:设a=(a1,a2, a3),b=(b1,b2,b3),则当b≠0时,a∥b a=λb ______________________
(λ∈R);当a≠0,b≠0时,a⊥b a·b=0 ___________________;
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
|a|=;当a≠0,b≠0时,cos=
.
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式:设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=_________________,||=.
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
3.用空间向量研究直线、平面的位置关系
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm
α⊥β n⊥m n·m=0
1.确定平面的法向量的方法
(1)直接法:观察是否有垂直于平面的向量,若有可直接确定.
(2)待定系数法:取平面内的两个相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由求得.
2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
3.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,此夹角就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,此夹角的补角才是异面直线所成的角.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a,b共面.(　 　)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反. (　 　)
(3)若A,B,C,D是空间中任意四点,则有=0.(　 　)
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α.(　 　)
基础检测
√
×
√
×
2.(人教A版选择性必修第一册P12例1改编)如图,在四面体P-ABC中,E是AC的中点,,设=a,=b,=c,则= (　 　)
A.a-b+c B.a-b+c
C.a+b+c D.a-b+c
解析:()-a-b+c.故选B.
B
3.(人教A版选择性必修第一册P12练习T1改编)已知空间向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z),若a,b,c共面,则实数z的值为(　 　)
A.0　　　 B.1
C.2　　　 D.3
D
解析:因为a,b,c共面,所以存在实数对(x,y),使得c=xa+yb,即(5,2,z)
=x(1,0,3)+y(2,1,0)=(x+2y,y,3x),所以解得故选D.
4.(人教B版选择性必修第一册P39例1改编)若直线l的一个方向向量为a=(1,0,1),平面β的一个法向量为n=(1,1,-1),则 (　 　)
A.l β B.l⊥β
C.l∥β D.l β或l∥β
解析:因为a·n=1-1=0,所以a⊥n,所以l β或l∥β.故选D.
D
关键能力　提升
考点1 空间向量的线性运算及共线、共面定理
【例1】　(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,,则=(　 　)
A.
B.
C.-
D.-
C
【解析】　如图,因为,所以, 所以=()+()+.故选C.
(2)(多选)下列选项中正确的是 (　 　)
A.若存在实数x,y,使,则点P,M,A,B共面
B.若p与a,b共面,则存在实数x,y,使p=xa+yb
C.若向量a,b所在的直线是异面直线,则向量a,b一定不共线
D.若a,b,c是空间三个向量,则对空间任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc
AC
【解析】　对于A,由共面向量定理可知,若存在实数x,y,使,则点P,M,A,B共面,故A正确;对于B,若a,b共线,p不与a,b共线,则不存在实数x,y,使p=xa+yb,故B错误;对于C,若向量a,b所在的直线是异面直线,则a,b的方向不相同也不相反,所以向量a,b一定不共线,故C正确;对于D,若a,b,c共面,p与a,b,c不共面,则不存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故D错误.故选AC.
规律总结
1.用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)在空间中,向量加法的三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
规律总结
三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面且任意三点不共线
2.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
【对点训练1】　(1)已知非零向量a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,则x+y= (　 　)
A.-13 B.-5
C.8 D.13
解析:∵m,n,p不共面,∴{m,n,p}可构成空间的一个基底,∵a∥b,
∴存在实数λ(λ≠0),使得b=λa,即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp,∴则x+y=-5.故选B.
B
(2)(一题多解)(苏教版选择性必修第二册P17习题6.1 T11改编)已知四面体O-ABC,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若
,则(x,y,z)为.
解析:方法一　如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则E为BC的中点,所以()=(),则(),因为OG=3GG1,所以()=
,所以x=y=z=.
方法二　因为G1是△ABC的重心,所以=0,所以
=0,所以().因为OG=3GG1,所以,所以,所以x=y=z=.
考点2 空间向量的数量积及其应用
【例2】　(1)如图,已知三棱锥A-BCD的每条棱的长度都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,则= (　 　)
A.
D.1
A
【解析】　如图,连接FG,∵E,F,G分别为AB,AD,CD的中点,∴,,由已知得三棱锥A-BCD为正三棱锥,取BD的中点O,连接OA,OC,∵△ABD和△CBD均为正三角形,∴AO⊥BD,CO⊥BD,又AO∩CO=O,AO,CO 平面AOC,∴BD⊥平面AOC,又AC 平面AOC,∴BD⊥AC,∴=0,∴·()=.故选A.
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°, AB=AD=3,AA1=2,M为AA1的中点,N为B1C1上靠近C1的三等分点,则线段MN的长度为 (　 　)
A.2
【解析】　设=a,=b,=c,则=a+b+c,所以=a2+b2+c2+a·b+b·c+c·a=9+=25,所以线段MN的长度为5.故选B.
B
由向量数量积的定义知,要求a与b的数量积,需已知|a|,|b|和,a与b的夹角与方向有关,一定要根据方向正确判定夹角的大小,才能使a·b计算准确.
规律总结
【对点训练2】　(1)(多选)已知空间向量a=(1,2,3),a+2b=
(-3,0,5),c=(2,4,m),且a∥c,则下列结论正确的是 (　 　)
A.|b|= B.m=6
C.(2b+c)⊥a D.cos=-
ABD
解析:对于A,∵a=(1,2,3),a+2b=(-3,0,5),∴b=(-2,-1,1),∴|b|=
,故A正确;对于B,设a=λc,则故B正确;对于C,∵2b+c=(-2,2,8),∴a·(2b+c)=
-2×1+2×2+8×3=26≠0,故C错误;对于D,cos=,故D正确.故选ABD.
(2)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=AB=AA1=,BC=2AE=2,则向量的夹角是(　 　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
C
解析:∵A1A⊥平面ABC,AB 平面ABC,AC 平面ABC,∴A1A⊥AB,A1A⊥
AC.∵AC=AB=,BC=2,∴AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC.∵BC=2AE=2,∴E为BC的中点,AE=BC=1,∴().∵AC=AA1=,∴A1C=2.
∵()·()==1,∴cos<,,又0°≤<,>≤180°,∴<,>=60°.故选C.
考点3 利用向量法解决平行、垂直问题
【例3】　如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,
AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,且PE=PC.请用向量法求证:
(1)AE⊥平面PBC;
【证明】　如图,以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),P(0,0,2),所以=(1,1,-2),=(0,0,2),=(1,-1,0).
因为PE=PC,所以,所以,所以=0,+0=0,所以, ,即AE⊥PC,AE⊥CB.
又因为PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,
所以AE⊥平面PBC.
(2)PA∥平面BDE.
【证明】由(1)可得-(2,0,0)=,
=(0,0,-2),=(-2,1,0).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,得y=2,z=0,
则n=(1,2,0)是平面BDE的一个法向量.
因为·n=(0,0,-2)·(1,2,0)=0,所以⊥n.
因为PA 平面BDE,所以PA∥平面BDE.
1.利用向量法证明平行、垂直关系,关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件,准确写出相关点的坐标,进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
2.向量法的核心是向量的数量积或数乘向量,但向量法仍然离不开立体几何的有关定理.
规律总结
【对点训练3】　如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,E为棱PC的中点.求证:
(1)BE∥平面PAD;
证明:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),
C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以AB⊥PA,
又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以AB⊥平面PAD,
所以向量=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量.
因为=(0,1,1)·(1,0,0)=0,
所以.又BE 平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(2)平面PCD⊥平面PBC.
证明:设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),又=(0,2,-2),=(2,0,0),
则
令y=1,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,z1),又=(1,0,-2),=(1,2,0),
则
令x1=2,可得m=(2,-1,1)为平面PBC的一个法向量.
因为n·m=(0,1,1)·(2,-1,1)=0,所以n⊥m,
所以平面PCD⊥平面PBC.
【例】　(多选)在空间直角坐标系中,有以下两条公认事实:
(1)过点P0(x0,y0,z0)且以u=(a,b,c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为;
(2)过点P(x0,y0,z0)且以v=(m,n,t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x-x0)+n(y-y0)+t(z-z0)=0.
现已知平面α:x+2y+3z=6,直线l1:l2:x=y=2-z,l3:,则(　 　)
A.l1∥α B.l2∥α
C.l3∥α D.l1⊥α
CD
【解析】　对于A,D,平面α:x+2y+3z=6,即x-1+2(y-1)+3(z-1)=0,则平面α的一个法向量为v=(1,2,3).对于l1:则6x-3=3y=2z+1,即,所以l1过点,一个方向向量为u1=,所以v=6u1,所以v∥u1,所以l1⊥α,故A错误,D正确;对于B,因为l2:x=y=2-z,即,所以l2过点(0,0,2),一个方向向量为u2=(1,1,-1),点(0,0,2)满足平面α的方程x+2y+3z=6,所以l2与平面α有公共点,故B错误;对于C,因为l3:,所以l3过点(1,0,0),一个方向向量为u3=(5,-4,1),因为v·u3=(1,2,3)·(5,-4,1)=5-8+3=0,所以v⊥u3,所以l3 α或l3∥α,又点(1,0,0)不满足平面α的方程x+2y+3z=6,故l3 α,所以l3∥α,故C正确.故选CD.
本题属于新定义理解问题,解题过程中需将直线方程和平面方程表示为给出的公式形式,从而找到直线经过的定点和方向向量以及平面的法向量,考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决新定义问题的能力,体现新高考的趋势和变化.
创新解读
课时作业52
1.(5分)已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若3a-b与b垂直,则|a|等于(　 　)
A.
C.
解析:因为3a-b与b垂直,所以(3a-b)·b=3a·b-b2=0 3(-2+n+4)-(4+1+4)=0,解得n=1,故|a|=.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)已知平面α的一个法向量为n=(1,2,-1),=(2,4,-2),则直线AB与平面α的位置关系是 (　 　)
A.AB⊥α
B.AB∥α
C.AB α
D.AB与α相交但不垂直
解析:由题意得,=2n,则∥n,则AB⊥α.故选A.
A
3.(5分)已知空间向量a+b+c=0,且|a|=2,|b|=4,|c|=3,则cos=(　 　)
A.
C.
解析:由a+b+c=0可得-b=a+c,故|-b|=|a+c|=,故cos=.故选B.
B
4.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,若E为DD1的中点,F在BD上,且BF=3FD,则等于 (　 　)
A.a-b-c
B.a-b-c
C.a-b+c
D.a-b+c
解析:()-a-b-c.故选B.
B
5.(5分)已知向量a=(1,x,2),b=(0,1,2),c=(1,0,0),若a,b,c共面,则x等于(　 　)
A.-1 B.1
C.1或-1 D.1或0
解析:因为a,b,c共面,所以存在实数λ,μ,使a=λb+μc,所以(1,x,2)=λ(0,1,2)+μ(1,0,0),所以解得x=λ=μ=1.故选B.
B
6.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠BAC=90°,∠A1AB=∠A1AC=60°, A1A=3, AB=AC=2,则线段AO的长度为(　 　)
A.
C.
A
解析:由题意可知,四边形BCC1B1是平行四边形,∴()=()+,∴()+,∵∠A1AB=∠A1AC=60°, ∠BAC=90°,AA1=3,AB=AC=2,∴=4,=9, =0,
=2×3×cos 60°=3,∴()2=()=×(4
+4+9+2×0+2×3+2×3)=,∴|,则线段AO的长度为.故选A.
7.(6分,多选)(人教A版选择性必修第一册P22练习T2改编)已知空间向量a=(2,-2,1),b=(3,0,4),则下列说法正确的是 (　 　)
A.向量c=(-8,5,6)与a,b均垂直
B.向量d=(1,-4,-2)与a,b共面
C.若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量,则l1与l2所成的角的余弦值为
D.向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)
BC
解析:对于A,a·c=-16-10+6≠0,故c与a不垂直,故A错误;对于B,设d=ma+nb,则m(2,-2,1)+n(3,0,4)=(1,-4,-2),所以
即2a-b=d,故B正确;对于C,因为cos=,所以异面直线l1与l2所成的角的余弦值为,故C正确;对于D,向量a在向量b上的投影向量为|a|cos·(3,0,4)=,故D错误.故选BC.
8.(6分,多选)关于空间向量,以下说法正确的是 (　 　)
A.对于非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.设{a,b,c}是空间的一个基底,则{a-b,b+c,a+c}也是空间的一个基底
D.已知空间四个点P,A,B,C,,则A,B,C三点共线
ABD
解析:对于A,若非零向量a,b满足a·b=0,则a⊥b,故A正确;对于B,若对空间中任意一点O,有,且=1,∴P,A,B,C四点共面,故B正确;对于C,∵a-b=-(b+c)+(a+c),∴a-b,b+c,a+c共面,不可以构成空间的一个基底,故C错误;对于D,若空间四个点P,A,B,C,有,且=1,则A,B,C三点共线,故D正确.故选ABD.
9.(5分)设平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=__.
解析:由题意知平面α的一个法向量为m=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n=(-2,-4,k),∵α∥β,∴m∥n,设n=λm,即(-2,-4,k)=λ(1,2,-2),
∴λ=-2,k=4.
4
10.(5分)如图,已知四面体A-BCD的棱长都是2,M为棱AD的中点,则的值为____.
-1
解析:因为M为棱AD的中点,所以·()=,因为四面体A-BCD的棱长都是2,所以=-2+1=-1.
11.(14分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,Q是CD的中点.
(1)试在侧面BCC1B1内确定一点M,使MQ⊥平面PAQ;
解: 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则D(0,0,0),A(2,0,0),
B(2,2,0),P(0,0,1),Q(0,1,0),D1(0,0,2),
设M(x,2,z),x,z∈[0,2].
因为=(2,0,-1),=(0,1,-1),
=(x,1,z),又,不共线,
所以当时,MQ⊥平面PAQ,所以
所以当点M的坐标为时,MQ⊥平面PAQ.
(2)求证:棱CC1上不存在点N,使平面BND1∥平面PAQ.
解:证明:设N(0,2,c),c∈[0,2],由(1)可得平面PAQ的一个法向量为.
若平面BND1∥平面PAQ,则也是平面BND1的一个法向量.
因为=(-2,0,c),=(0,2,c-2),所以=(-2,0,c)·=0,
即-1+c=0,得c=1,此时=(0,2,-1)·=2×1-1=1≠0,
所以不是平面BND1的一个法向量,即QM与平面BND1不垂直.所以棱CC1上不存在点N,使平面BND1∥平面PAQ.
12. (16分)(苏教版选择性必修第二册P53复习题T13改编)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,且AB=AC=1,AA1=,D是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面AC1D.
解:证明:以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),B1(1,0,),
C(0,1,0),A1(0,0,),C1(0,1,),D,
所以=(1,0,-),,=(0,1,).
设平面AC1D的法向量为n=(x,y,z),则
令x=,则y=-,z=1,所以n=(,-,1).
所以·n=1×+0×(-)+(-)×1=0,
所以⊥n.
因为A1B 平面AC1D,所以A1B∥平面AC1D.
(2)在棱CC1上是否存在一点M,使得B1M⊥平面AC1D 若存在,指出点M的位置并证明;若不存在,请说明理由.
解:假设在棱CC1上存在一点M,使得B1M⊥平面AC1D, 设M(0,1,λ),
λ∈[0,], 则=(-1,1,λ-).
由(1)知,平面AC1D的一个法向量为n=(,-,1), 则∥n,
所以,解得λ=∈[0,],
则M,且,
所以在棱CC1上存在一点M,使得B1M⊥平面AC1D,此时M为CC1上靠近C1的一个三等分点.
13. (6分,多选)(人教A版选择性必修第一册P32例4改编)如图,在棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,,,,则(　 　)
A.=1
B.AC1⊥平面BDD1B1
C.AC1⊥平面B1D1C
D.|
CD
素养提升
解析:对于A,=()·()=()·()+·()==0,故A错误;对于B,=()·≠0,∴AC1⊥DD1不成立,∴AC1⊥平面BDD1B1不成立,故B错误;对于C,由A中的分析知AC1⊥BD,∵B1D1∥BD,∴AC1⊥B1D1,∵=()·()=·()+()·()=+1-1=0,∴AC1⊥CB1,又CB1∩B1D1=B1,CB1,B1D1 平面B1D1C,∴AC1⊥平面B1D1C,故C正确;对于D,
||=
=
==,故D正确.故选CD.
14. (6分,多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=
2,D为B1C1的中点,则 (　 　)
A.A1D⊥B1C
B.B1C⊥平面A1BD
C.AC1∥平面A1BD
D.直线AC1与B1C所成的角为
AC
解析:对于A,以A为原点,AB,AA1,AC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得A(0,0,0),A1(0,2,0),B(2,0,0),
B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(0,2,2),D(1,2,1),则=(1,0,1),
=(-2,-2,2),=(0,2,2),=(2,-2,0),由=1×
(-2)+0×(-2)+1×2=0,则A1D⊥B1C,故A正确;对于B,设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则取x=2,得n=(2,,-2),因为
不存在实数λ,使得=λn,所以与n不平行,所以B1C⊥平面A1BD不成立,故B错误;对于C,·n=0×2+2+2×(-2)=0,则⊥n,因为AC1 平面A1BD,所以AC1∥平面A1BD,故C正确;对于D,|cos<,=,则直线AC1与B1C所成的角不为,故D错误.故选AC.
15.(6分,多选)在空间直角坐标系中,过点P0(x0,y0,z0),且以u=(a,b,c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为;过点P0(x0,y0,z0),且以v=(m,n,t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x-x0)+n(y-y0)+t(z-z0)=0.则下列说法正确的是 (　 　)
A.已知平面α:x+2y+z-2=0,直线l1:则l1⊥α
B.已知平面α:x+2y+z-2=0,直线l2:x-2=y-1=,则l2到α的距离为
ACD
创新训练（理解新定义）
C.已知平面β:3x-5y+z=7,直线l3:x=3y-7=,则l3与β所成角的正弦值为
D.已知平面β:3x-5y+z=7,直线l4:x-a2=y-a=(a为任意实数),则当a≠1且a≠时,l4∥β
解析:对于A,平面α:x+2y+z-2=0,即α:x+2y+(z-2)=0,则平面α的一个法向量为v1=(1,2,1),直线l1:即l1:2x=y=2z-4 ,则直线l1的一个方向向量为u1=,则v1=2u1,即l1⊥α,故A正确;对于B,平面α:x+2y+(z-2)=0过点A(0,0,2),一个法向量为v1=(1,2,1),直线l2:x-2=y-1=,即l2:x-2=y-1=,则l2过点B(2,1,1),一个方向向量为u2=(1,1,-3),则v1·u2=1×1+2×1+1×(-3)=0,即v1⊥u2,又点(2,1,1)不满足方程x+2y+z-2=0,则l2∥平面α,又=(2,1,-1),则直线l2到平面α的距离
d==,故B错误;对于C,平面β:3x-5y+z=7的一个法向量为v2=(3,-5,1),直线l3:x=3y-7=,即l3:,直线l3的一个方向向量为u3=,则cos=
=,所以l3与β所成角的正弦值为,故C正确;对于D,平面β:3x-5y+z=7的一个
法向量为v2=(3,-5,1),直线l4:x-a2=y-a=过点(a2,a,9),一个方向向量为u4=(1,1,2),则v2·u4=3×1+(-5)×1+1×2=0,又当a≠1且a≠时,点(a2,a,9)不在平面β上,所以l4∥β,故D正确.故选ACD.
本课结束

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