资源简介

(共62张PPT)
第八章　平面解析几何
8.1　直线的方程
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
段数列的单调性时,需要注意连接处
考试要求 三年考情 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线(不与y轴平行)斜率的计算公式. 2.根据确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T6

必备知识　回顾
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴____与直线l____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)规定:当直线l与x轴__________时,我们规定它的倾斜角为0°.
(3)范围:直线倾斜角α的取值范围是________________.
1
知识梳理
正向
向上
平行或重合
0°≤α<180°
2.直线的斜率
(1)定义:当直线的倾斜角不等于90°时,我们把这条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=__________.倾斜角等于90°的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式:过P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线
的斜率公式为k=.
(3)直线的方向向量坐标:若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2-x1,y2-y1).若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=,特别地,(1,k)是l的一个方向向量.
正切值
tan α
3.直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 ________ _______ (x0,y0)是直线上一点,k为斜率 不垂直于x轴的直线(k存在)
斜截式 ____________ k为斜率,b为纵截距,是______的特例 不垂直于x轴的直线(k存在)
两 点 式 = (x1,y1),(x2,y2)是直线上两个点 ________________________(x1≠x2,
y1≠y2)
y-y0=
k(x-x0)
y=kx+b
点斜式
不垂直于x轴和y轴的
直线
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
截 距 式 =1 a为横截距,b为纵截距,是______的特例 不垂直于x轴和y轴,且不过原点的直线(ab≠0)
一 般 式 Ax+By+ C=0(A2+ B2≠0) A,B,C为系数 任意直线
两点式
1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”.
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
3.当直线的斜率存在时,可设直线的方程为y=kx+b;当直线的倾斜角不为0时,可设直线的方程为x=ty+b.
4.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B,A).
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角.(　 　)
(2)直线的斜率越大,倾斜角就越大. (　 　)
(3)若直线的倾斜角为α,则斜率为tan α. (　 　)
(4)经过点P0(x0,y0)的任意直线的方程可表示为y-y0=k(x-x0).(　 　)
基础检测
√
×
×
×
2.(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)经过P(0,-3),Q(-,0)两点的直线的倾斜角为 (　 　)
A.30°　 　 B.60°
C.120°　　 D.150°
解析:由题意知,经过P,Q两点的直线的斜率k=,设该直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),则k=tan θ=-,所以θ=120°,即直线的倾斜角为120°.故选C.
C
3.(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)经过点(1,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为 (　 　)
A.x+y=4 B.y=x+2
C.y=3x或x+y=4 D.y=3x或y=x+2
解析:当直线过原点时,方程为y=3x,符合题意;当直线不过原点时,设直线方程为=1,将(1,3)代入,得=1,解得a=-2,所以直线方程为y=x+2.综上,所求直线的方程为y=3x或y=x+2.故选D.
D
4.(人教A版选择性必修第一册P80习题2.3T16改编)直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)所过的定点坐标为___________.
解析:直线方程x+(m+1)y+m=0(m∈R)可以化为m(y+1)+y+x=0,令故直线所过的定点坐标为(1,-1).
(1,-1)
关键能力　提升
考点1 直线的倾斜角和斜率
【例1】　(1)设直线l的方程为2x-2ycos θ+3=0,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　 　)
A.[0,π] B.
C.
C
【解析】　由题意知,当cos θ=0时,直线l的斜率不存在,其倾斜角α=;当cos θ≠0时,直线l的斜率k=∈(-∞,-1]∪[1,+∞),所以倾斜角α∈.综上,α∈.故选C.
(2)已知点A(-3,2),B(2,1),过点P(0,-1)且斜率存在的直线l与线段AB(含端点)有交点,则直线l的斜率的取值范围为(　 　)
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)
B.[-1,1]
C.∪[1,+∞)
D.
A
【解析】如图所示,直线l从直线PB的位置绕点P按逆时针方向旋转到PA的位置,才能保证过点P(0,-1)的直线l与线段AB(含端点)有交点,从PB的位置旋转到PF的位置的过程中,l的倾斜角逐渐变大到,斜率由kPB==1变大到正无穷;从PF的位置旋转到PA的位置的过程中,l的倾斜角从开始变大,斜率从负无穷开始变大到kPA==-1.综上可得,直线l的斜率的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).故选A.
1.直线斜率的三种求法:定义法、斜率公式法、方向向量法.
2.求直线的倾斜角和斜率取值范围的关键
(1)数形结合.
(2)充分利用函数k=tan α的单调性和图象.
规律总结
【对点训练1】(1)已知点A(1,2),B(m,4),直线AB的倾斜角为α,若sin α=,则m的值为(　 　)
A.3 B.-1
C.3或-1 D.3或1
解析:由sin α=,α∈[0,π),得α=时,kAB==1,解得m=3;当α=时,kAB==-1,解得m=-1.综上,m的值为3或-1.故选C.
C
(2)如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　 　)
A.k1B.k3C.k3D.k1解析:因为直线l2,l3的倾斜角为锐角,且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角,所以0D
考点2 直线的方程
【例2】　求符合下列条件的直线方程:
(1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-;
【解】∵所求直线过点A(-1,-3),且斜率为-,∴直线方程为y+3=-(x+1),即x+4y+13=0.
(2)斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6;
【解】设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b,令y=0,得x=-b,
∴=6,解得b=±3,∴直线方程为y=x±3,即3x-4y±12=0.
(3)直线过点(2,1),且横截距为纵截距的2倍.
【解】当横截距与纵截距都为0时,可设直线方程为y=kx,又直线过点(2,1),∴1=2k,解得k=,∴直线方程为y=x,即x-2y=0;
当横截距与纵截距都不为0时,可设直线方程为=1(a≠0,b≠0),
由题意可得
∴直线方程为=1,即x+2y-4=0.
综上,所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0.
求直线方程的两种方法
(1)直接法:由题意确定出直线方程的形式,并直接写出直线方程.
(2)待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,再由题设条件求出待定系数,进而得出直线方程.
注意:直线斜率不存在、斜率为0及过原点等特殊情况.
规律总结
【对点训练2】　(1)(人教B版选择性必修第一册P90练习BT5改编)过点A(1,4)的直线的方向向量为m=(1,2),则该直线方程为 (　 　)
A.2x-y+2=0 B.2x+y-6=0
C.x-2y+7=0 D.x+2y-10=0
解析:由于直线的方向向量为m=(1,2),故直线的斜率为=2,故直线的方程为y-4=2(x-1),即2x-y+2=0.故选A.
A
(2)(一题多解)(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为 (　 　)
A.x-y+3=0
B.x+y-5=0
C.4x-y=0或x+y-5=0
D.4x-y=0或x-y+3=0
D
解析:方法一　当直线过原点时,满足题意,此时直线方程为y=4x,即4x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为=1(a≠0),因为直线过点A(1,4),所以=1,解得a=-3,此时直线方程为x-y+3=0.故选D.
方法二　易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为y-4=k(x-1)(k≠0),则x=0时,y=4-k,y=0时,x=1-,由题意知1-+4-k=0,解得k=4或k=1,即直线方程为4x-y=0或x-y+3=0.故选D.
(3)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为________________.
解析:由题知M(2,4),N(3,2),故中位线MN所在直线的方程为,整理得2x+y-8=0.
2x+y-8=0
考点3 直线方程的综合应用
【例3】　已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1.
(1)求证:直线l过定点;
【解】证明:由l:(a-1)y=(2a-3)x+1,得a(2x-y)-3x+y+1=0,令
.
所以直线l过定点(1,2).
(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围;
【解】如图所示,结合图象可知,
当a=1时,直线斜率不存在,方程为x=1,不经过第二象限,成立;
当a≠1时,直线斜率存在,方程为y=,
又直线不经过第二象限,
则解得a<1.
综上所述,a≤1.
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求l的方程.
【解】已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1,且由题意知a≠1,
令x=0,得y=, 令y=0,得x=,
由题意得>0,解得1则围成的三角形的面积S=,
所以当a=时,S取得最小值,
此时直线l的方程为x+1,即2x+y-4=0.
直线方程综合应用问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题:一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
规律总结
【对点训练3】　如图,过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点.
(1)求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程;
解:设A(a,0),B(0,b),a,b>0,
则直线l的方程为=1,将P(2,1)代入得=1,所以,则ab≥8,当且仅当,即a=4,b=2时取等号,
从而S△ABO=ab≥4,所以(S△ABO)min=4,
此时直线l的方程为=1, 即x+2y-4=0.
(2)当|PA|·|PB|取得最小值时,求直线l的方程.
解:设直线l:y-1=k(x-2),k<0,
令y=0,解得x=2-,令x=0,解得y=1-2k,所以A,B(0,1-2k),
则|PA|·|PB|==
=4,当且仅当k2=,即k2=1,即k=-1时,等号成立,|PA|·|PB|取最小值,此时直线l的方程为x+y-3=0.
课时作业55
1.(5分)已知直线过点A(1,0),B(0,-),则直线的倾斜角为(　 　)
A.
解析:直线过点A(1,0),B(0,-),则直线的斜率k=,设直线的倾斜角为θ,则tan θ=,θ∈[0,π),所以θ=.故选B.
基础巩固
B
2.(5分)过点(1,-2)且方向向量为a=(2,-3)的直线l的方程为(　 　)
A.3x+2y+1=0 B.3x-2y-7=0
C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-4=0
解析:因为直线l的方向向量为a=(2,-3),所以直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-(-2)=-(x-1),即3x+2y+1=0.故选A.
A
3.(5分)若△ABC的三个顶点为A(1,3),B(3,0),C(1,-2),则BC边上的高所在直线的方程为(　 　)
A.x+y-4=0 B.x-y+2=0
C.x+y+4=0 D.x-y-2=0
解析:kBC==1,所以BC边上的高所在直线的斜率为-1,所以BC边上的高所在直线的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.故选A.
A
4.(5分)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　 　)
A.0B.0C.2≤m<4
D.0B
解析:当m=2时,直线的倾斜角为,满足题意;当m≠2时,直线AB的斜率为=1(注意:运用过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率公式的前提条件是“x1≠x2”),或=-1,所以<0,解得25.(5分)若直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,则 (　 　)
A.AB>0且BC>0 B.AB>0且BC<0
C.AB<0且BC>0 D.AB<0且BC<0
解析:因为直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,所以直线的斜率为负值,纵截距为正值,直线方程化为斜截式得y=-,所以->0,所以AB>0且BC<0.故选B.
B
6.(5分)(2026·安徽马鞍山一模)设点A(2,1),B(-2,3),若直线ax+y+1=0与线段AB没有公共点,则实数a的取值范围为 (　 　)
A.(-∞,-1) B.(-2,1)
C.(-1,2) D.(1,+∞)
解析:由ax+y+1=0可知直线的斜率为-a,且经过定点P(0,-1),由点A(2,1),
B(-2,3)可得直线PA,PB的斜率分别为kPA==1,kPB==-2,如图,要使直线ax+y+1=0与线段AB没有公共点,需使kPB<-a解得-1C
7.(6分,多选)已知直线l:x-my+m-1=0,则下列说法正确的是(　 　)
A.直线l的斜率可能为0
B.直线l的斜率可能不存在
C.直线l过定点(1,1)
D.直线l在x轴、y轴上的截距不可能相等
BC
解析:对于A,B,当m=0时,直线l:x=1,其斜率不存在,当m≠0时,直线l:x-my+m-1=0的斜率k=≠0,故A错误,B正确;对于C,由x-my+m-1=0,得x-1=m(y-1),令所以直线l过定点(1,1),故C正确;对于D,当m=1时,直线l:x-y=0,其在x轴、y轴上的截距均为0,故D错误.故选BC.
8.(6分,多选)下列说法中正确的是 (　 　)
A.直线2x+1=0的一个方向向量为(0,1)
B.A(3,1),B(5,2),C(-3,-2)三点共线
C.直线2(m+1)x+(3-m)y-9-5m=0(其中m∈R)必过定点(3,1)
D.经过点P(0,1),倾斜角为θ的直线方程为y=xtan θ+1
ABC
解析:对于A,因为直线2x+1=0的斜率不存在,所以直线2x+1=0的一个方向向量为(0,1),故A正确;对于B,因为kAB=,kAC=,即kAB=kAC,所以A(3,1),B(5,2),C(-3,-2)三点共线,故B正确;对于C,直线2(m+1)x
+(3-m)y-9-5m=0即为(2x-y-5)m+(2x+3y-9)=0,令
所以直线2(m+1)x+(3-m)y-9-5m=0(其中m∈R)必过定点(3,1),故C正确;对于D,当θ=时,tan θ不存在,故D错误.故选ABC.
9.(5分)在△ABC中,若A(2,3),B(-2,0),C(2,0),则∠BAC的平分线所在直线l的方程是________________.
解析:如图所示,设∠BAC的平分线所在直线l与x轴的交点为D(a,0),由角平分线的性质可知,所以∠BAC的平分线所在直线l的方程是,即2x-y-1=0.
2x-y-1=0
10.(5分)已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则实数k的取值范围为
.
解析:易知该直线过定点(0,-6)且斜率存在,因为该直线不经过第一象限,所以其斜率满足3-2k≤0,解得k≥.
11.(18分)根据下列条件,写出直线的一般式方程:
(1)经过点(0,2),且倾斜角为;
解:因为直线经过点(0,2),且倾斜角为,
所以直线的斜率k=tan ,则直线方程为y=x+2,所以直线的一般式方程为x-y+2=0.
(2)经过点(-2,3)和点(-1,0);
解:因为直线经过点(-2,3)和点(-1,0),
所以直线斜率为k==-3,直线方程为y=-3(x+1),所以直线的一般式方程为3x+y+3=0.
(3)经过点(2,1),在x轴、y轴上有相等的截距.
解:当直线在x轴、y轴上的截距都为0时,设直线方程为y=kx,则1=2k,解得k=,则直线方程为y=x,即x-2y=0;当直线在x轴、y轴上的截距都不为0时,设直线方程为=1(a≠0),因为直线过点(2,1),所以=1,解得a=3,所以直线的一般式方程为x+y-3=0.
综上所述,所求直线的一般式方程为x-2y=0或x+y-3=0.
12.(20分)已知直线l:mx-y-m+4=0.
(1)求证:直线l恒过定点.
解:证明:由mx-y-m+4=0,得(x-1)m+(-y+4)=0.令故直线l恒过定点(1,4).
(2)是否存在实数m,使得直线与x轴和y轴的正半轴都相交 若存在,求出m的取值范围,并求出直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值;若不存在,请说明理由.
解:存在实数m.如图,由(1)知,直线l恒过第一象限的点(1,4).
因为直线与x轴和y轴的正半轴都相交,所以l与x轴和y轴的交点分别为A,B(0,4-m)(m≠0),
由题意得所以m<0.
S△OAB=.
因为m<0,所以S△OAB=+4=8.
当且仅当-m=,即m=-4时,△OAB的面积取得最小值8.
13.(5分)已知直线=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中正确的是(　 　)
A.|a|<|b|
B.
C.(b-a)(b+a)>0
D.
D
素养提升
解析:对于A,已知直线=1经过第一、二、三象限,则直线在x轴上的截距a<0,在y轴上的截距b>0,由直线的斜率小于1,可知0<-<1,结合a<0可得a<0|b|,故A错误;对于B,由幂函数的单调性可知,故B错误;对于C,由不等式的性质,可知b-a>0,b+a<0,则(b-a)(b+a)<0,故C错误;对于D,<0,>0,则,故D正确.故选D.
14. (5分)如图,8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切),设L为八个圆形区域的并集,斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域,则直线l的方程为___________.
3x-y-5=0
解析:由题意知,满足条件的直线有且只有一条.如图,当过A(2,1)的直线将圆1与圆2确定的区域平分,过B(3,4)的直线将圆3与圆4确定的区域平分时,L被划分为面积相等的两个区域,又kAB==3,所以直线AB的方程为y-1=3(x-2),即直线l:3x-y-5=0.
本课结束

展开更多......

收起↑