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第11章《二次根式》章节复习题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
2．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值（ ）
A．4 B．8 C．6 D．
6．已知： ，比较m、 n 的大小（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆点测量鱼塘另一边木杆点的长度，点为存放鱼饵的小屋，现测得，则可求出两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．小康和小英玩摸卡片游戏．如图，有三张完全相同的卡片A，B，C，卡片正面分别写有一个算式．现将背面朝上打乱，小康随机抽取两张．若小康抽取的两张卡片中算式的结果都是无理数，则它们的和为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，平行四边形的周长为12，对角线，相交于点O，点E在上，．，，则长度为（ ）

A． B． C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．________．
12．若，则“”是______．
13．比较大小：______（填，或）．
14．已知，，则的值为______．
15．化简的结果为__________．
16．若长方形的长为宽为则它的周长为________，面积为______．
17．若一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积是_____．
18．从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
（1）； （2）．
20．（8分）已知：，，求：的值．
21．（10分）已知有实数p，q，m，n，其中（m，n为非负整数）．
（1）若，求证： ；
（2）若，求证：一定是奇数．
22．（10分）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题．
（1）在 ABC中，已知，，，求 ABC的边上的高；
（2）一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积．
23．（10分）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”．
（1）下列各式中是“完全平方根式”的有_____；
①②③
（2）利用“完全平方根式”化简：；
（3）已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值．
24．（12分）【操作发现】
（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为；
②连接，此时______°；
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（2）如图2，在等边 ABC中，点在内部，且，，，求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】
（3）如图3，在等腰直角 ABC中，，为 ABC内一点，且，，，求；
【思维拓展】
（4）如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数．
参考答案
一、单选题
1．A
解：∵式子在实数范围内有意义
∴需同时满足二次根式和分式的有意义条件，可得
，
解不等式，得.
解不等式，得.
∴的取值范围是且．
2．D
解：最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式.对选项逐一判断：
∵ 选项A中，==，被开方数含能开得尽方的因式，∴A不是最简二次根式；
∵ 选项B中，==，被开方数含能开得尽方的因数，∴B不是最简二次根式；
∵ 选项C中，=，分母中含根号，∴C不是最简二次根式；
∵ 选项D中，的被开方数101是质数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴D是最简二次根式．
3．B
解：A．，故该选项计算错误，不符合题意，
B．，故该选项计算正确，符合题意，
C．，故该选项计算错误，不符合题意，
D．，故该选项计算错误，不符合题意
4．A
解：原式
．
5．B
解：∵，，
∴，
∴．
6．B
解：，
∵，
∴，
∴.
7．B
解：连接，过点作于点
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
8．A
解：，
，
，
卡片A，C上的数是无理数，卡片B上的数是有理数，
．
故选：A．
9．C
解：，
∵ ，，且
∴ ，
∵ ，且n为整数，
∴ n的最大值为6．
10．B
解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∵
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
；
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
，
∴，
∵平行四边形的周长为，
∴，即，
∴，
解得，
∴．
二、填空题
11．
解：
12．2
解：∵，，
∴，则．
13．
解：
，，
，
，
，
，
．
14．3
解：根据题意，，
∴，整理得，，
∴，化简得，
∴．
15．】
解：原式
．
故答案为
16．
解：长方形周长公式为 （长+宽） ，面积公式为 长×宽．
，
，
计算周长：．
计算面积：．
17．
解：直角三角形的面积公式为，其中和为两条直角边的长，
已知，，
则，
化简，
所以，
故答案为：．
18．（或或，写出一种结果即可）
解：①选择和，
则
．
②选择和，
则
．
③选择和，
则
．
故答案为：（或或，写出一种结果即可）．
三、解答题
19．（1）解：原式；
（2）解：原式．
20．
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴
．
21．（1）证明：，
移项可得．
∴
，
，
，
∵m，n为非负整数，
∴ ，
则 ，即
（2）证明：∵，
∴ ，
将代入，得
，
∵m为非负整数，
∴，，
∴，
∵m为非负整数，
∴一定是偶数，偶数加1一定是奇数，
∴一定是奇数，即q一定是奇数．
22．
解：（1）解：由题意得，，
∴，
∴边上的高；
（2）解：如图，连接，
∵米，米，，
∴
（平方米），
∴
（米），
∵米，米，米，
∴
，
∴是直角三角形，
∴，
∴
（平方米），
∴（平方米）．
23．（1）解：；
；
；
故满足要求的是①③；
（2）解：原式
；
（3）解：①
是“完全平方根式”，
，
又，且为正整数
或或，
当的值最小时，有最小值，
，
，
②，
为正整数，是整数，
，即，
，
，
，
，
当时，，原式；
当时，，原式．
24．．
解：（1）①如图所示，即为所求；
②，，
；
（2）如图，
∵将绕点按逆时针方向旋转，得到，
∴， ，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
（3）∵ ABC是等腰直角三角形，
∴，，
将绕点顺时针旋转得到，连接，如图：
则，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
∴，
∴．
（4）将绕点逆时针旋转，得到，连接，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．

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