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(共67张PPT)
第八章　平面解析几何
8.2　两条直线的位置关系
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 2023 2024 2025


必备知识　回顾
1.两条直线的特殊位置关系
(1)平行:若两条不重合的直线l1,l2的斜率都存在,且分别为k1,k2,则l1∥l2 ______.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2的位置关系为______________.
(2)垂直:若两条直线l1,l2的斜率都存在,且分别为k1,k2,则l1⊥l2
______.特别地,若直线l1:x=a,直线l2:y=b,则l1与l2的位置关系为_________.
1
知识梳理
k1=k2
l1∥l2
k1k2=-1
l1⊥l2
2.两条直线的交点坐标
一般地,将两条直线的方程联立,得方程组(≠0,≠0).若方程组有唯一解,则两条直线____,此解就是__________;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线____.
3.三种距离公式
(1)两点间的距离公式:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为
|P1P2|=.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离为|OP|=.
相交
交点的坐标
平行
(2)点到直线的距离公式:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
的距离d=.
(3)两条平行直线间的距离公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与
l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离d=.
1.两条直线平行、垂直的充要条件
设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(≠0),
A2x+B2y+C2=0(≠0),则
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
知识拓展
2.对称常用结论
(1)点(x,y)关于直线y=x+t的对称点为(y-t,x+t),关于直线y=-x+t的对称点为(-y+t,-x+t).
(2)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(3)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2 l1∥l2. ( 　 　)
(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1. ( 　 　)
(3)直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离. ( 　 　)
(4)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上. ( 　 　)
基础检测
×
×
√
√
2.(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T2改编)已知直线l1:(m+2)x+2y-1=0与直线l2:3x+(m+1)y+1=0平行,则实数m的值为(　 　)
A.-4 B.1
C.-4或1 D.-
解析:已知直线l1:(m+2)x+2y-1=0与直线l2:3x+(m+1)y+1=0平行,则解得m=-4或m=1.故选C.
C
3.(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两条平行直线l1:3x+4y-2=0,l2:6x+8y-5=0间的距离等于 (　 　)
A.3 B.
C. D.7
解析:l1:3x+4y-2=0即为6x+8y-4=0,则两条平行直线间的距离为.故选B.
B
4.(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T4改编)若直线l过点(1,3)且与斜率为4的直线垂直,则直线l的方程为 (　 　)
A.x+4y-13=0 B.4x-y-1=0
C.x+4y-8=0 D.4x-y-15=0
解析:因为直线l与斜率为4的直线垂直,所以直线l的斜率为-,又直线l过点(1,3),所以直线l的方程为y-3=-(x-1),即x+4y-13=0.故选A.
A
关键能力　提升
考点1 两条直线的平行与垂直
【例1】　(1)(2026·山东济南一模)若直线l1:(m-2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m-1)y+2=0平行,则m的值为 (　 　)
A.4 B.-4
C.1或-4 D.-1或4
【解析】　若直线l1:(m-2)x+3y+3=0与直线l2:2x+(m-1)y+2=0平行,则(m-2)(m-1)=3×2=6,解得m=4或m=-1.若m=4,则直线l1:2x+3y+3=0与直线l2:2x+3y+2=0平行,符合题意;若m=-1,则直线l1:x-y-1=0与直线l2:x-y+1=0平行,符合题意.综上所述,m=4或m=-1.故选D.
D
(2)已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,-2),C(5,1),D(2,3),则四边形ABCD是(　 　)
A.平行四边形 B.正方形
C.菱形 D.矩形
【解析】　依题意得,直线AB的斜率kAB=-,直线AD的斜率kAD=,即kABkAD=-1,则AB⊥AD,同理AB⊥BC,BC⊥CD,因此四边形ABCD是矩形,又|AB|=|AD|=,所以矩形ABCD是正方形.故选B.
B
判断两直线位置关系的注意点
(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的倾斜程度,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
规律总结
【对点训练1】　(1)已知直线ax+y-2=0与直线x+(a-1)y-2=0垂直,则实数a的值为(　 　)
A.
C.
解析:因为直线ax+y-2=0与直线x+(a-1)y-2=0垂直,所以a×1+1×(a-1)=0,解得a=.故选B.
B
(2)(多选)(人教B版选择性必修第一册P94例2改编)已知直线l:x+y+c=0(c≠0),点P(1,-),则 (　 　)
A.直线l的倾斜角为120°
B.若P到直线l的距离为1,则c=2
C.过P且与直线l平行的直线方程为x+y=0
D.过P且与直线l垂直的直线方程为x-y+4=0
AC
解析:对于A,直线l的斜率k=-,故其倾斜角为120°,故A正确;对于B,点P到直线l的距离d==1,得c=±2,故B错误;对于C,设过P且与直线l平行的直线方程为x+y+n=0,代入(1,-),得+n=0,解得n=0,即过P且与直线l平行的直线方程为x+y=0,故C正确;对于D,设过P且与直线l垂直的直线方程为x-y+m=0,代入(1,-),得1-×(-)+m=0,解得m=-4,即过P且与直线l垂直的直线方程为x-y-4=0,故D错误.故选AC.
考点2 两条直线的交点坐标与距离公式
【例2】　(1)直线的交点到直线y=x+2的距离为 ( 　 　)
A. B.2
C.
A
【解析】　联立,所以交点到直线y=x+2的距离d=.故选A.
(2)(苏教版选择性必修第一册P42习题1.5T14改编)若直线m被两平行直线l1:x-y+1=0,l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则直线m的倾斜角为______________.
30°或90°
【解析】　设直线m与两平行直线l1,l2的交点分别为C,A,过点A作l1的垂线,垂足为B,如图.两平行直线间的距离d==1,则|AB|=1,又|AC|=2,所以直线m与两平行直线所成的角θ满足sin θ=,又0°<θ≤90°,所以θ=30°.因为两平行直线的斜率为,所以倾斜角为60°,所以直线m的倾斜角为30°或90°.
两种距离的求解思路
(1)点到直线的距离:可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.
(2)两平行直线间的距离:①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x,y的系数化为分别对应相等的形式).
注意:点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|.
规律总结
【对点训练2】　(1)若直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 (　 　)
A.
B.
C.
D.
A
解析:由题意得k≠-,联立
即直线l1:x+2y-4=0与直线l2:kx-y+2k+1=0的交点为,由题意可得,即实数k的取值范围是.故选A.
(2)已知直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行,则它们之间的距离是( 　 　)
A.
C.2 D.2
解析:直线x+y-a=0与直线3x-ay+3=0平行,则1×(-a)-3=0,解得a=-3,直线3x+3y+3=0,即x+y+1=0,x+y+3=0与x+y+1=0之间的距离为.故选B.
B
考点3 对称问题
命题角度1　中心对称
【例3】　直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为(　 　)
A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0
C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0
【解析】　设直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x,y),则P(x,y)关于A(1,1)的对称点为(2-x,2-y),又因为点(2-x,2-y)在直线4x+3y-2=0上,所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0.故选B.
B
命题角度2　轴对称
【例4】　已知光线从点A(-2,1)射出,经直线x-y+10=0反射,且反射光线所在直线过点B(-8,-3),则反射光线所在直线的方程是 (　 　)
A.x+11y+41=0 B.x-11y-25=0
C.11x-y+85=0 D.11x+y+91=0
D
【解析】　设点A(-2,1)关于直线x-y+10=0的对称点为A'(a,b),
则故反射光线所在直线过点A'(-9,8)与点B(-8,-3),则反射光线所在直线的方程为y+3=(x+8),即11x+y+91=0.故选D.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题,两点轴对称问题可以利用垂直和中点这两个条件列方程组解题,两直线轴对称问题应关注两条直线平行与相交条件列相应方程组解题.
规律总结
【对点训练3】　(1)直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( 　 　)
A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0
解析:设对称直线上一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,即2x+3y-2=0.故选D.
D
(2)直线y=2x+1关于直线y=2x+3对称的直线方程为____________.
解析:设所求直线方程为y=2x+b,且b≠1,直线y=2x+1与直线y=2x+3间的距离为,则直线y=2x+b与直线y=2x+3间的距离为,又b≠1,所以b=5,所以所求直线方程为y=2x+5.
y=2x+5
直线系方程
1.链接教材:(人教A版选择性必修第一册P80习题2.3T16)已知λ为任意实数,当λ变化时,方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形 图形有何特点
2.由上述题目推广得到的常见的直线系方程的结论
(1)过定点(x1,y1)的直线系方程:y-y1=k(x-x1)和x=x1.
(2)平行于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线系方
t程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
教材深研
(3)垂直于直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0(≠0)与A2x+B2y+C2=0(≠0)的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0和A2x+B2y+C2=0.
【典例】(1)过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为( 　 　)
A.3x-19y=0 B.19x-3y=0
C.19x+3y=0 D.3x+19y=0
【解析】　设过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,将原点坐标代入,得4+5λ=0,解得λ=-,故所求直线方程为x-3y+4-(2x+y+5)=0,即3x+19y=0.故选D.
D
(2)正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,那么正方形ABCD的边长为.
【解析】　设直线CD的方程为x+y+m=0,联立
,联立得D,
2.
∴由两点间的距离公式可得|CD|=|m+11|,又直线AB与CD的距离d=,∴,解得m=-8或m=-32,即|CD|=2.
高考真题 教材典题
考教衔接
D
解析:由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)2+ (y +3)2=10,则其圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为.故选D.
课时作业56
1.(5分)若点A(4,3),B(3,5)到直线l:2x+ay+1=0的距离相等,则a=(　 　)
A.1 B.-1
C.1或-2 D.-1或2
解析:若A,B在直线l的同侧,则,解得a=1.若A,B分别在直线l的两侧,则直线l经过AB的中点,则7+4a+1=0,解得a=-2.故选C.
基础巩固
C
2.(5分)已知点A(-3,4),B(2,2),直线y=kx-2与直线AB平行,则实数k等于(　 　)
A.
C.
解析:kAB=,则k=-.故选B.
B
3.(5分)已知直线l1:y=kx+1(k∈R),直线l2:x-y+1=0,则直线l1与l2的位置关系是 (　 　)
A.平行 B.相交
C.重合 D.相交或重合
解析:直线方程x-y+1=0可化为y=x+1,所以当k=1时,两直线重合,当k≠1时,两直线相交.故选D.
D
4.(5分)若直线l经过点(2,0)且与直线y=x垂直,则直线l的方程为 (　 　)
A.2x+y-4=0 B.2x-y-4=0
C.x-2y-2=0 D.x+2y-2=0
解析:因为直线l与直线y=x垂直,所以直线l的斜率为-2,所以直线l的方程为y=-2(x-2),即2x+y-4=0.故选A.
A
5.(5分)(人教B版选择性必修第一册P102习题2-2CT3改编)点A(1,2)关于直线l:x+y-2=0的对称点B的坐标是 (　 　)
A.(1,0) B.(0,1)
C.(0,-1) D.(2,1)
解析:设点A(1,2)关于直线x+y-2=0的对称点B(a,b),则有即B(0,1).故选B.
B
6.(5分)经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　 　)
A.x+y+1=0
B.x-y+1=0
C.x+y+1=0或3x+4y=0
D.x-y+1=0或x+y+1=0
C
解析:设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0,则(3+2λ)(2+5λ)≠0,令x=0,得y=,令y=0,得x=,得λ=.所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.故选C.
7.(5分)已知点P(-1,3),Q(3,6),若P,Q到直线l的距离都等于,则满足条件的直线l共有(　 　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:若P,Q位于直线同侧,则当PQ∥l,且两平行线之间的距离为时,满足条件,这样的直线l有2条;若P,Q位于直线两侧,因为|PQ|==5,所以当直线l恰为线段PQ的中垂线时,满足条件,此时的直线l有1条.综上所述,满足条件的直线l共有3条.故选C.
C
8.(5分)与两平行线l1:3x+2y-6=0,l2:6x+4y-3=0等距离的直线的方程为(　 　)
A.12x+8y-15=0
B.9x+6y-5=0
C.12x+8y-15=0或9x+6y-5=0
D.6x+4y-15=0
A
解析:设与两直线平行的直线方程为6x+4y+m=0,又l1:6x+4y-12=0,
l2:6x+4y-3=0,故,即|m+12|=|m+3|,故m+12=m+3或m+12+m+3=0,故m=-,所求直线方程为6x+4y-=0,即12x+8y-15=0.故选A.
9.(8分,多选)已知直线l:y=ax-a+1,下列说法正确的是 ( 　)
A.直线l过定点(-1,1)
B.当a=1时,l关于x轴的对称直线为x+y=0
C.直线l一定经过第四象限
D.点P(3,-1)到直线l距离的最大值为2
BD
解析:对于A,直线l:y=ax-a+1=a(x-1)+1,所以直线l过定点Q(1,1),故A错误;对于B,当a=1时,直线l的方程为y=x,l关于x轴的对称直线为y=-x,即x+y=0,故B正确;对于C,当a=1时,直线l的方程为y=x,直线l不经过第四象限,故C错误;对于D,如图所示,过P作PH⊥l于H,由图可知|PQ|≥|PH|,则点P(3,-1)到直线l距离的最大值为|PQ|=,故D正确.故选BD.
10.(8分,多选)已知直线l1:x+ay+1=0,l2:(a-1)x+y+a=0,则下列说法正确的是(　 　)
A.当a=1时,直线l1的倾斜角为135°
B.当l1⊥l2时,a=
C.若l1∥l2,则a=-1
D.直线l1始终过定点(-1,0)
ABD
解析:对于A,当a=1时,直线l1:x+y+1=0,斜率k=-1,则倾斜角为135°,故A正确;对于B,l1⊥l2等价于a-1+a=0,解得a=,故B正确;对于C,若l1∥l2,则a(a-1)-1=0且a≠a-1,故a=,故C错误;对于D,l1:x+ay+1=0,当y=0时,x=-1,所以直线l1恒过定点(-1,0),故D正确.故选ABD.
11.(8分,多选)定义点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为d=.已知点P1,P2到直线l的有向距离分别是d1,d2.以下命题正确的是(　 　)
A.若d1=d2=1,则直线P1P2与直线l平行
B.若d1=1,d2=-1,则直线P1P2与直线l垂直
C.若d1+d2=0,则直线P1P2与直线l垂直
D.若d1·d2<0,则直线P1P2与直线l相交
AD
解析:设P1(x1,y1),P2(x2,y2).对于A,若d1=d2=1,则ax1+by1+c=ax2+by2+c=
,所以直线P1P2的方程为ax+by+c=,所以直线P1P2与直线l平行,故A正确;对于B,点P1,P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等,直线P1P2不一定与l垂直,故B错误;对于C,若d1=d2=0,满足d1+d2=0,即ax1+by1+c=ax2+by2+c=0,则点P1,P2都在直线l上,所以此时直线P1P2与直线l重合,故C错误;对于D,若d1·d2<0,即(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)<0,则点P1,P2分别位于直线l的两侧,所以直线P1P2与直线l相交,故D正确.故选AD.
12.(5分)已知直线l1:y=kx-2k+1与直线l2关于点(1,0)对称,则l2恒过的定点为______.
解析:直线l1的方程可化为k(x-2)+1-y=0,由所以直线l1过定点A(2,1),点A(2,1)关于点(1,0)的对称点为B(0,-1),因此,直线l2恒过定点(0,-1).
(0,-1)
13.(5分)(苏教版选择性必修第一册P48复习题T18改编)已知△ABC的一个顶点A(4,-1),两条角平分线所在直线的方程为l1:x-y-1=0和l2:x-1=0,则BC边所在直线的方程为________________.
2x-y+3=0
解析:由题知,A(4,-1)不在这两条角平分线上,所以不妨令l1,l2是∠B,∠C的平分线所在直线.设点A关于直线l1的对称点为A1(x1,y1),关于直线l2的对称点为A2(x2,y2),则A1,A2均在BC边所在直线上.由
所以A1(0,3).因为l2:x=1,所以易得y2=-1,由=1,得x2=-2,所以A2(-2,-1).所以BC边所在直线的方程为,即2x-y+3=0.
14.(5分)设a∈R,则直线l1:ax+y+1=0,l2:x-ay+a-2=0与l3:x-y-1=0围成的三角形的面积的最大值为__.
解析:由题知直线l1⊥l2,直线l1过定点A(0,-1),直线l2过定点B(2,1),且点A,B在直线l3上.设直线l1,l2交于点P,则三条直线围成的三角形为△PAB,且PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(2-0)2+(1+1)2=8.因为8=|PA|2+|PB|2≥2|PA|·|PB|,所以|PA|·|PB|≤4,当且仅当|PA|=|PB|=2时,等号成立,所以S△PAB=|PA|·|PB|≤2,所以(S△PAB)max=2.
2
15.(5分)已知A(0,-3),B(4,1),点P是直线l:x-y-2=0上的一点,则当|PA|+|PB|取得最小值时,点P的坐标为 (　 　)
A.
C.
B
素养提升
解析:易知A,B在直线l的同侧,设点A(0,-3)关于直线l的对称点为A'(a,b),则AA'的中点C在直线l:x-y-2=0上,即-2=0①,直线AA'与直线l垂直,即kAA'·kl=×1=-1②,由①②解得a=-1,b=-2,即点A(0,-3)关于直线l的对称点为A'(-1,-2),又B(4,1),所以kA'B=,所以直线A'B的方程为y-1=(x-4),即3x-5y-7=0,由所以当|PA|+|PB|取得最小值时,点P的坐标为.故选B.
16.(6分)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质,
F(x,y)=++的最小值为(　 　)
A.4 B.2+2
C.3+2
B
解析:由题意得,F(x,y)的几何意义为点E(x,y)到点A(2,0),B(-1,1-),C(0,2)的距离之和(注意:数形结合思想的应用).
因为|AB|=,|CB|=,|AC|==4,所以|AB|2+|CB|2=|AC|2,故△ABC为等腰直角三角形.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,取线段AC的中点D,连接BD,与AO交于点E,连接CE,
如图所示,故|BD|=|AC|=2,|AE|=|CE|.因为,所以∠CAO=30°,
故∠AEC=120°,则∠BEC=∠AEB=120°(注意:确定E为费马点),故点E到三角形三个顶点距离之和最小,此时F(x,y)取得最小值.因为|AE|=,所以|AE|=|CE|=,|DE|=|AE|sin 30°=,|BE|=|BD|-|DE|=2-,故F(x,y)的最小值为|AE|+|CE|+|BE|=.故选B.
本课结束

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