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第八章　平面解析几何
8.5　椭圆
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、轴长、离心率). 3.了解椭圆的简单应用. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T5 新课标Ⅰ卷T16
新课标Ⅱ卷T5 新课标Ⅱ卷T5 全国二卷T16
必备知识　回顾
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的________等于常数(大于________)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的____,两焦点间的距离叫做椭圆的____,焦距的一半称为半焦距.
1
知识梳理
距离的和
|F1F2|
焦点
焦距
2.椭圆的标准方程和简单几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __________ (a>b>0)
图形
=1
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
a,b,c 的关系 __________ 焦点 ______________ F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c a2=b2+c2
F1(-c,0),F2(c,0)
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为____ 顶点 A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b) _______________ _______________ 轴长 短轴长|B1B2|=2b, 长轴长|A1A2|=2a 离心率 e=____,且e∈______,e越接近1,椭圆越____ 原点
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
(0,1)
扁平
3.在椭圆定义中,若|F1F2|=2a,则动点的轨迹不是椭圆,而是连接两定点的线段(包括端点);若|F1F2|>2a,则轨迹不存在.
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,∠F1PF2=θ.
知识拓展
(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.
(2)|PF1|·|PF2|≤=a2.
(3)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.
(4)焦点三角形的周长为2(a+c),面积为=c|y0|.
(5)焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)设F1(-4,0),F2(4,0)为定点,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是椭圆. ( 　 　)
(2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. ( 　 　)
(3)=1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆. ( 　 　)
(4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(　 　)
基础检测
×
√
×
×
2.(人教A版选择性必修第一册P109练习T1改编)若椭圆=1上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5,则点M到另外一个焦点的距离为(　 　)
A.6　　　 B.7
C.8　　　 D.9
解析:由椭圆方程可知a2=36,解得长半轴长a=6.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为2a=12,所以M到另一个焦点的距离为12-5=7.故选B.
B
3.(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)若椭圆的方程为=1,则该椭圆的(　 　)
A.长轴长为2 B.短轴长为
C.焦距为1 D.离心率为
解析:由椭圆的方程=1可知焦点在x轴上,即a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,则a=2,b=,c=1.所以长轴长为2a=4,短轴长为2b=2,焦距为2c=2,离心率为e=.故选D.
D
4.(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1T12改编)若椭圆C:=1,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为 (　 　)
A.3 B.2+
C.2 D.+1
解析:由题意知长半轴长a=2,短半轴长b=,所以半焦距c=1,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3.故选A.
A
关键能力　提升
考点1 椭圆的定义及应用
【例1】　(1)纸上画有一圆O,在圆内任取一定点A(异于点O),将纸片折叠,使折叠上去的圆弧经过A,然后展开纸片,得到一条折痕l.继续上述过程,绕圆心一周,得到若干不同的折痕,则这些折痕围成的轮廓是 (　 　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
B
【解析】　如图,设圆O的半径为r,l是一条折痕,点A关于l的对称点M在圆O上,连接OM交直线l于P,则|PM|=|PA|,所以|PO|+|PA|=|PO|+|PM|=|OM|
=r>|OA|,所以点P的轨迹是以O,A为焦点的椭圆,椭圆的长轴长为r.故选B.
(2)若F为椭圆C:=1的右焦点,A,B为C上两动点,则△ABF周长的最大值为____.
【解析】　椭圆C:=1中,长半轴长a=5.如图,设F1为椭圆C的左焦点, 则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF1|+2a-|BF1|+|AB|=4a+|AB|-|AF1|-|BF1|=20+|AB|-|AF1|-|BF1|,当A,B,F1共线时,|AB|-|AF1|-|BF1|=0,当A,B,F1不共线时,|AB|-|AF1|-|BF1|<0,所以△ABF周长的最大值为20.
20
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积,及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题以及|PF1|,|PF2|的相关问题.
规律总结
【对点训练1】　(1)已知点P(x,y),满足条件(t>0),则点P的轨迹是 (　 　)
A.椭圆 B.线段
C.射线 D.椭圆或线段
D
解析:因为t>0,所以t+=4,当且仅当t=2时等号成立,又由(t>0),得(t>0),令F1(-2,0),F2(2,0),则
=|PF2|,=|PF1|,即|PF1|+|PF2|=t+(t>0),当t=2时,
|PF1|+|PF2|=4,而|F1F2|=4,此时点P的轨迹是线段F1F2;当t>0且t≠2时,
|PF1|+|PF2|>4=|F1F2|,此时点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.综上所述,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆或线段F1F2.故选D.
(2)设M是椭圆=1上的一点,F1,F2为该椭圆的焦点,∠F1MF2=,则△MF1F2的面积为(　 　)
A.
C.32-16 D.16
C
解析:由椭圆=1,得a2=25,b2=16,可得c2=a2-b2=9,即a=5,c=3,则|F1F2|=6,设|MF1|=m,|MF2|=n,则有m+n=10,∵∠F1MF2=,∴36=m2+n2-2mn·cos =(m+n)2-(2+)mn=100-(2+)mn,∴mn=,
∴|MF1|·|MF2|=.故选C.
考点2 椭圆的标准方程
【例2】(1)已知椭圆C的一个焦点F(0,-),P为C上一点,满足|OP|=|OF|,|PF|=4,则椭圆C的标准方程为 (　 　)
A.=1
C.=1
B
【解析】　依题意知,椭圆C的焦点在y轴上,设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),P(m,n),则即
=1,所以
=1.故选B.
(2)已知椭圆C的焦点为F1(0,-1),F2(0,1),过F2的直线与C交于P,Q两点,若|PF2|=3|F2Q|,|PQ|=|QF1|,则椭圆C的标准方程为 (　 　)
A.=1
C.=1
B
【解析】设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),|F2Q|=m,则|PF2|=3m,
|PQ|=4m,∵|PQ|=|QF1|,∴|QF1|=5m,根据椭圆的定义得|QF2|+|QF1|=2a,
∴6m=2a,∴a=3m,∴|PF1|=2a-|PF2|=3m,在△PF1Q中,由余弦定理的推论得cos ∠F1PQ===0,∴∠F1PQ=90°,
∴|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2 9m2+9m2=4,∴m=,a=3m=
+x2=1.故选B.
求椭圆标准方程的常用方法
(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法:
(3)应用相关点代入法求解.
规律总结
【对点训练2】　(1)过点A(3,-2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆的方程为(　 　)
A.=1
C.=1
解析:因为椭圆3x2+8y2=24,即=1,焦点坐标为(±,0),所以设所求的椭圆方程为=1(a2>5),将A(3,-2)代入,得=1,解得a2=15,所以所求的椭圆方程为=1.故选C.
C
(2)(人教B版选择性必修第一册P133例2改编)已知椭圆C的焦点F1,F2在x轴上,P为椭圆C上一点,△PF1F2的周长为6,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数
列,则椭圆C的标准方程为__________.
解析:设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,依题意,
,所以椭圆C的标准方程为=1.
=1
考点3 椭圆的几何性质
命题角度1　离心率
【例3】　(1)(2025·湖南岳阳三模)已知F是椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点,A,B分别是椭圆E的长轴与短轴的一个端点,若以AF为直径的圆经
过BF的中点,则椭圆E的离心率为.
【解析】　由题意得A,F在y轴两侧,不妨取A(a,0),B(0,b),F(-c,0),则AF的中点为,且|AF|=a+c,所以以AF为直径的圆的方程为,又BF的中点M在以AF为直径的圆上,可得,整理得a2+b2=(a+c)2,因为b2=a2-c2,所以2a2-c2=a2+c2+2ac,即2c2+2ac-a2=0,等式两边同除以a2,可得2e2+2e-1=0,解得e=,又因为0(2)(一题多解)(苏教版选择性必修第一册P93习题3.1(2)T12改编)若椭圆=1(a>b>0)上存在一点M,使得∠F1MF2=90°(F1,F2分别为椭圆的
左、右焦点),则椭圆的离心率e的取值范围为.
【解析】方法一　设点M的坐标是(x0,y0),则|x0|∴=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0).∵∠F1MF2=90°,
∴=-(c+x0)(c-x0)+=0,即=c2,又点M在椭圆上,即,∴∈[b2,a2),即c2∈[b2,a2),
∴c2≥b2=a2-c2,即,又0方法二　设椭圆与y轴的一个交点为P,∵椭圆上存在一点M,使得∠F1MF2=90°,∴∠F1PF2≥90°,则c≥b,∴c2≥b2=a2-c2,即,又0求椭圆离心率的三种方法
(1)直接法:若已知a,c可直接利用公式e=求解;若已知a,b或b,c可以借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解,其中若已知a,b也可利用变形公式e=求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,可以借助a2=b2+c2构造a,c的方程或不等式,不用求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e的值或取值范围.
(3)几何关系法:利用椭圆中的几何图形(如焦点三角形、垂直、角平分线等)建立关于a,c的方程求解.
规律总结
命题角度2　与椭圆有关的最值(范围)问题
【例4】　(多选)(2025·山东青岛三模)已知椭圆C:=1的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,△AF1F2为正三角形,过F1的直线l与C交于M,N两点,则( 　 　)
A.椭圆C的离心率为
B.||的最大值为3
C.的取值范围是[2,3]
D.当l的倾斜角为时,△AMN的周长为8
ACD
【解析】　对于A,根据题意,得a=2c,所以椭圆C的离心率e=,又b2=a2-c2=3,所以c=1,a=2,所以椭圆C:=1,故A正确;对于B,根据椭圆的定义,可知||=2a=4,所以|
=4,当且仅当||=2时取等号,所以||的最大值为4,故B错误;对于C,设M(x,y),因为F1(-1,0),F2(1,0),所以=(-1-x,
-y),=(1-x,-y),则x2+2,因为-2≤x≤2,所以
的取值范围是[2,3],故C正确;对于D,如图,当l的倾斜角为时,直线l垂直平分AF2,所以△AMN的周长为|AN|+|AM|+|MN|=|AN|+|AM|+|NF1|+|MF1|
=|NF2|+|MF2|+|NF1|+|MF1|=(|NF1|+|NF2|)+(|MF1|+|MF2|)=4a=8,故D正确.故选ACD.
与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略
规律总结
【对点训练3】(1)(多选)(苏教版选择性必修第一册P93习题3.1(2)T13改编)如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截,截面是一个椭圆,则(　 　)
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为=1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-
ACD
解析:圆柱的底面半径是,直径是2,所以椭圆的长轴长2a==4,
a=2,短轴长2b=2,b=,则半焦距c=,离心率e=.以椭圆中心为原点,长轴与短轴所在直线分别为y轴、x轴建立平面直角坐标系(图略),可得椭圆的方程为
.故选ACD.
(2)(2025·山东泰安二模)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥F1Q,,则椭圆的离心率为( 　 　)
A.
C.
D
解析:如图,由=2,可得|QF2|=2|PF2|,设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,|PF2|=m,则|QF2|=2m,|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-2m,由PQ⊥F1Q,得|PF1|2=|PQ|2+,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2,解得m=,所以|QF1|=2a-2×,|QF2|=a,又,所以4c2=,解得,所以椭圆的离心率e=.故选D.
【例】　已知由椭圆C1:=1(a>b>1)与椭圆C2:x2+=1的交点连线可构成矩形ABCD(点A,B在x轴下方),且|BC|=3|CD|,则b2+的最小值为(　 　)
A.2
.
D
【解析】　如图所示,根据椭圆的对称性及|BC|=3|CD|可得直线AC的方程为y=3x,由-1,则,所以b2+,当且仅当b2=,即b=时等号成立,则b2+.故选D.
本题将解析几何与基本不等式结合,题目新颖,需要充分挖掘几何关系并转化为直线方程才能顺利做出题目,充分体现了解析几何“先用几何眼光观察,再用代数方法解决”的学科思想,与新高考倡导的“鼓励学生多角度主动思考、深入探究”的思想不谋而合.
创新解读
高考真题 教材典题
考教衔接
解:因为长轴长为4,所以a=2,又离心率为,所以半焦距c=,故b=,故椭圆C的方程为=1.
高考真题 教材典题
解:由题意得,化简得=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右顶点.
课时作业59
1.(5分)已知方程=1表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是(　 　)
A.(2,3) B.(3,4)
C.(2,4) D.(2,3)∪(3,4)
解析:因为方程=1表示的曲线是椭圆,所以解得2基础巩固
D
2.(5分)(2025·湖南郴州三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若|PF1|+|PF2|=4,椭圆C的离心率为,则椭圆C的焦距为(　 　)
A.1 B.2
C.
解析:依题意得所以焦距2c=2.故选B.
B
3.(5分)(2025·山西晋城二模)已知F1,F2分别为椭圆C:=1的左、右焦点,点P为C上一点,若|PF1|-|PF2|=2,则 (　 　)
A.|PF2|=2|F1F2|
B.|PF1|=2|F1F2|
C.|PF2|=|F1F2|
D.|PF1|=|F1F2|
解析:由题意可知,F1(-2,0),F2(2,0),所以|F1F2|=4,由椭圆的定义可知,
|PF1|+|PF2|=6,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1|=|F1F2|.故选D.
D
4.(5分)(2025·湖北十堰三模)设双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为,实轴长为6,若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26,则曲线C2的标准方程为 (　 　)
A.=1
C.=1
D
解析:因为双曲线C1的实轴长为6,所以a=3,因为双曲线C1的离心率为,所以半焦距c=5,因为曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26,所以由椭圆的定义可知,曲线C2是以双曲线C1的两个焦点为焦点,长轴长为26的椭圆,设椭圆C2的方程为=1(m>n>0),则m=13,所以n==12,因此,椭圆C2的方程为=1.故选D.
5.(5分)(2025·山东济南三模)已知焦点在x轴上的椭圆C:=1,以原点为圆心,椭圆短轴为直径的圆与直线y=x+4相交,则C的离心率的取值范围是(　 　)
A.
C.
B
解析:依题意得b>=2,又椭圆的焦点在x轴上,所以长半轴长a=3,b<3,则26.(5分)(2025·湖南岳阳二模)设椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,cos ∠F1PF2=,∠F1PF2的平分线与x轴交于点A,则|PA|=(　 　)
A.
C.
D
解析:椭圆C:=1的焦点F1(-1,0),F2(1,0),|PF1|+|PF2|=4,不妨令点P在第一象限,如图,在△F1PF2中,4=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2=16-|PF1|·|PF2|,则|PF1|·|PF2|=,所以|PF1|=,|PF2|=,故|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,则PF2⊥F1F2,由PA平分∠F1PF2,得,而|AF2|+|AF1|=2,则|AF2|=,所以|PA|=.故选D.
7.(5分)已知圆C:x2+y2=1,F1,F2分别为C与x轴的左、右两个交点,点P在直线l:x-y+4=0上,若以F1,F2为焦点的椭圆过点P,则该椭圆长轴长的最小值为(　 　)
A.2
C. D.4(+1)
B
解析:如图,由题意知F1(-1,0),F2(1,0),以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点的椭圆的半焦距c=1,点P是直线l与椭圆的交点,设点F2(1,0)关于直线l:x-y+4=0对称的点为F'(m,n),则即F'(-4,5),则椭圆的长轴长2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PF'|≥|F1F'|=,所以该椭圆长轴长(注意:椭圆的长轴长为2a,而不是a)的最小值为.故选B.
8.(5分)(一题多解)已知椭圆M:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且PF2⊥F1F2,tan∠PF1F2=,则椭圆M的离心率为 (　 　)
A.
C.
D
解析:方法一　设椭圆的半焦距为c,离心率为e.由题意,|PF1|+|PF2|=2a,在Rt△PF1F2中,tan∠PF1F2=,∴|PF2|=c,∴|PF1|=2a-c,
∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即(2a-c)2=c2+4c2,得a2-ac-c2=0,
∴.故选D.
方法二　设椭圆的半焦距为c,离心率为e.∵PF2⊥F1F2,tan∠PF1F2=,
∴sin∠PF1F2=,sin∠F1PF2=sin,∴e=(注意:分子、分母同时除以|PF1|即可得到)=.故选D.
方法三　设椭圆的半焦距为c,离心率为e.∵PF2⊥F1F2,tan∠PF1F2=,∴不妨取|PF2|=1,|F1F2|=2,则|PF1|=,∴e=.故选D.
9.(8分,多选)已知椭圆C:=1,则(　 　)
A.a的取值范围为(-14,8)
B.若椭圆C与双曲线=1有相同的焦点,则该双曲线的虚轴长为2
C.若a=,则C的焦距为6
D.若a=2,则C的离心率为
BCD
解析:对于A,由题意知可得a∈(-14,-3)∪(-3,8),故A错误;对于B,由14+a-(8-a)=7+a,得a=1,该双曲线的虚轴长为2,故B正确;对于C,若a=,则C的焦距为2×=6,故C正确;对于D,若a=2,则C的离心率为,故D正确.故选BCD.
10.(8分,多选)(2025·山西临汾二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A,B为椭圆C上关于原点对称的两点,且|AB|=|F1F2|,设椭圆C的半焦距为c,则(　 　)
A.AF1⊥AF2
B.c≥b
C.四边形AF1BF2的面积为b2
D.四边形AF1BF2的周长为4a
ABD
解析:对于A,不妨设点A在第一象限,如图,依题意得AB,F1F2互相平分,且|AB|=|F1F2|,则四边形AF1BF2是矩形,故AF1⊥AF2,故A正确;对于B,由题意知,以原点为圆心,c为半径的圆与椭圆C有公共点,则c≥b,故B正确;对于C,四边形AF1BF2的面积为|AF1||AF2|==2a2-2c2=2b2,故C错误;对于D,四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|
=4a,故D正确.故选ABD.
11.(8分,多选)(2025·河北保定三模)已知点M(3,0),N(-3,0),P,Q是坐标平面上的两个动点,设满足|PM|·|PN|=t(t>0)的点P的轨迹为曲线C1,满足|QM|+|QN|=8的点Q的轨迹为曲线C2,则 (　 )
A.C1,C2均关于x轴对称
B.△QMN面积的最大值为3
C.当t=10时,点P的纵坐标的最大值大于1
D.当C1,C2有公共点时,7≤t≤16
ACD
解析:对于A,设P(x,y),由|PM|·|PN|=t,得
=t(t>0),将(x,-y)代入得=t(t>0),所以C1关于x轴对称,由|QM|+|QN|=8>|MN|=6,知C2为椭圆,易得其方程为=1,所以C2关于x轴对称,故A正确;对于B,当Q为C2的上或下顶点时,△QMN的面积最大,故(S△QMN)max=,故B错误;对于C,当t=10时,
=10,令x=-3,得y4+36y2-100=0,解得y2=2-18>2×10-18=2,即y>1,故当t=10时,点P的纵坐标的最大值大于1,故C正确;对于D,由椭圆C2的方程=1,得y2=7,代入·
=t(t>0),得t=·
,所以,因为0≤≤1,所以0≤≤1,解得7≤t≤16或-16≤t≤-7(舍去),故D正确.故选ACD.
12.(4分)(人教A版选择性必修第一册P115习题3.1T10改编)与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方
程为__________.
解析:由题意知,圆C1的半径为1,圆心C1(-3,0),圆C2的半径为9,圆心C2(3,0),设动圆的半径为r,圆心P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r,所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|=6,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,设椭圆方程为=1(a>b>0),则a=5,半焦距c=3,所以b=4,所以动圆圆心P的轨迹方程为=1.
=1.
13.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为,P,Q为C上的两个动点,且直线OP与OQ斜率之积为-(O为坐标原点),则椭圆C的短轴长为__,|OP|2+|OQ|2=__.
解析:∵椭圆C的长轴长2a=4,∴a=2.又离心率e=,∴半焦距c=,∴b==1,∴椭圆C的短轴长2b=2,∴椭圆C:+y2=1.设P(2cos α,sin α),Q(2cos β,sin β) ( ),
2
5
α,β≠+kπ,k∈Z,令直线OP,OQ的斜率分别为kOP,kOQ,∴kOP·kOQ=,
∴cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=0,∴α-β=+kπ,k∈Z,∴|OP|2+|OQ|2=4cos2α+sin2α+4cos2β+sin2β=
4cos2+4cos2β+sin2β=4sin2β+cos2β+4cos2β+
sin2β=5,k∈Z.
14.(8分,多选)椭圆有一条光学性质:从椭圆一个焦点出发的光线,经过椭圆反射后,一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减,椭圆的方程为=1,则光线从椭圆一个焦点出发,到首次回到该焦点所经过的路程可能为 (　 　)
A.2 B.8
C.10 D.12
ACD
素养提升
解析:如图1,设椭圆左焦点为F1,右焦点为F2,左顶点为A1,右顶点为A2.由已知可得,长半轴长a=3,短半轴长b=,c2=a2-b2=4,所以半焦距c=2.
①当光线从F1出发,沿F1A1方向传播,到达A1后,根据椭圆的光学性质可知,光线沿A1F1方向传播,第一次经过F1,此时所经过的路程为2|A1F1|=2(a-c)=2,故A正确;②当光线从F1出发,沿F1A2方向传播,到达A2后,根据椭圆的光学性质可知,光线沿A2F2方向传播,过点F2后继续传播,第一次经过F1,此时所经过的路程为2|A2F1|=2(a+c)=10,故C正确;③当光线从F1出发后,不沿x轴传播,如图2,光线开始沿F1P传播,到达点P后,根据椭圆的光学性质可知,光线沿PF2方向传播,过点F2后,继续传播到达点Q后,根据椭圆的光学性质可知,光线沿QF1方向传播,第一次经过F1,此时所经过的路程为|PF1|+|PF2|+|QF2|+|QF1|,根据椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=6,
|QF1|+|QF2|=2a=6,所以|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=12,故D正确.故选ACD.
15.(4分)(2025·广东广州三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上存在一点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且
∠PF2F1为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围为.
解析:设椭圆=1(a>b>0)的半焦距为c,则F1(-c,0),F2(c,0),因为△PF1F2为等腰三角形,且∠PF2F1为钝角,所以|PF2|=|F1F2|=2c,设点P(x,y),则=(x-c,y),=(-2c,0),则=-2c(x-c)<0,可得x>c,又因为-a=
,所以a-c<2c<,所以椭圆的离心率e的取值范围为-1.
16.(5分)已知曲线M:+=4,圆N:(x-5)2+y2=1,若A,B分别是M,N上的动点,则|AB|的最小值是 (　 　)
A.2 B.2
C.3 D.2+
C
创新训练（知识交汇）
解析:根据题意,曲线M:=4,则曲线M上的点到点(0,)和(0,-)距离之和为4>2,根据椭圆定义知曲线M是以(0,)和(0,-)为焦点的椭圆,其中半焦距c=,长半轴长a=2,则短半轴长b==1,所以曲线M的方程为+x2=1.设点A(x0,y0),则
=1且x0∈[-1,1],可得=4(1-),圆N:(x-5)2+y2=1的圆心为N(5,0),半径为1,则|AN|=,又函数y=
在[-1,1]上单调递减,所以|AN|≥=4,所以|AB|的最小值是|AN|min-1=3.故选C.
本课结束

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