资源简介

(共97张PPT)
第八章　平面解析几何
8.6　双曲线
高三一轮数学
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、轴长、渐近线、离心率). 3.了解双曲线的简单应用. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T16 新课标Ⅰ卷T12 全国一卷T3
新课标Ⅱ卷T21 新课标Ⅱ卷T19 全国二卷T11
必备知识　回顾
1.双曲线的定义
(1)定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的__________等于非零常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的____,两焦点间的距离叫做双曲线的____.
(2)等轴双曲线:__________等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线方程为________,离心率e=______.
1
知识梳理
差的绝对值
|F1F2|
焦点
焦距
实轴和虚轴
y=±x
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 =1 (a>0,b>0) =1
(a>0,b>0)
图形
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点 _____________________ F1(0,-c),
F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c a,b,c 的关系 ___________________ F1(-c,0),F2(c,0)
c2=a2+b2
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
简 单 几 何 性 质 范围 x≤-a或x≥a, y∈R y≤-a或y≥a, x∈R
对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) ________
______
轴长 实轴长|A1A2|=____,虚轴长|B1B2|=____ 渐近线 ________ ________
离心率 e=_____,且e∈______ A1(0,-a),
A2(0,a)
2a
2b
y=±x
y=±x
(1,+∞)
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为,异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
4.与双曲线=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系方程可表示为=t(t≠0).
5.等轴双曲线的渐近线互相垂直,等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　 　)
(2)方程=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线. (　 　)
(3)双曲线=1(m>0,n>0)的渐近线方程是=0. (　 　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率为.(　 　)
基础检测
×
×
√
√
2.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知曲线C的方程为=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是(　 　)
A.-15
C.k<-1 D.k≠-1且k≠5
解析:若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得k<-1.故选C.
C
3.(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T3改编)双曲线9y2-16x2=144的渐近线方程是________.
解析:依题意知,双曲线9y2-16x2=144即=1,焦点在y轴上,实半轴长a=4,虚半轴长b=3,所以双曲线9y2-16x2=144的渐近线方程是y=±x.
y=±x
4.(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)设P是双曲线=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=____.
解析:根据题意及双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,因为|PF1|=9,所以|PF2|=1或|PF2|=17.又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17.
17
关键能力　提升
考点1 双曲线的定义及应用
【例1】　(1)(2025·四川宜宾三模)复数z满足|z-1|-|z+1|=1,则在复平面内z对应的点的轨迹为 ( 　 　)
A.圆 B.双曲线的一支
C.椭圆 D.抛物线
【解析】　设z=x+yi(x,y∈R),根据复数的几何意义知,|z-1|表示复平面内点P(x,y)与点A(1,0)的距离,|z+1|表示复平面内点P(x,y)与点B(-1,0)的距离,则|PA|-|PB|=1<|AB|,则由双曲线的定义可知,点P的轨迹为双曲线的左支,故复平面内z对应的点的轨迹为双曲线的一支.故选B.
B
(2)(2025·浙江绍兴二模)已知双曲线Γ:x2-=1的左焦点为F,点A,B在Γ的右支上,且|AB|=6,则|FA|+|FB|的最小值为( 　 　)
A.4 B.6
C.10 D.14
C
【解析】如图,对于双曲线x2-=1,a2=1,b2=3,则a=1.设双曲线的右焦点为F2,由双曲线的定义可知,点A在双曲线的右支上,则|FA|-|F2A|=2a=2,即|FA|=|F2A|+2;同理,|FB|=|F2B|+2.所以|FA|+|FB|=(|F2A|+2)+(|F2B|+2)
=|F2A|+|F2B|+4.根据三角形三边关系,得|F2A|+|F2B|≥|AB|,当且仅当A,B,F2三点共线时,等号成立.又|AB|=6,则|F2A|+|F2B|+4≥|AB|+4=6+4
=10, 即|FA|+|FB|≥10.所以|FA|+|FB|的最小值为10.故选C.
双曲线定义的应用策略
(1)利用双曲线的定义可判断平面内动点的轨迹是否为双曲线.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立所求与|PF1|·|PF2|的联系.
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:①距离之差是否要取绝对值;②2a<|F1F2|;③焦点所在的坐标轴.
规律总结
【对点训练1】　(1)已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C的右支上,且|PF1|=1+,则△PF1F2的面积为 (　 　)
A.-1 B.6
C.3 D.+1
解析:由双曲线C的方程得a=1,b=,c=2,点P在双曲线右支上,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=1+,所以|PF2|=-1.又|F1F2|=4,所以=16,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|·|PF2|=3.故选C.
C
(2)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若|F1F2|=|AF2|,则此双曲线的标准方程可能为(　 　)
A.=1
C.=1
C
解析:由双曲线的定义可知|AF1|-|AF2|=2a,因为|AF2|=|F2F1|=2c,所以|AF1|=2a+2c,因为直线AF2的斜率为,所以在等腰三角形AF1F2中,
tan ∠AF2F1=-,则cos ∠AF2F1=-,由余弦定理的推论得cos ∠AF2F1=
-,化简得39c2-50ac-25a2=0,可得3c=5a,即a=c,则b=c,可得a∶b=3∶4,即a2∶b2=9∶16,所以此双曲线的标准方程可能为=1.故选C.
考点2 双曲线的标准方程
【例2】　(1)(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T2改编)若双曲线的焦点在x轴上,焦距为2,且双曲线过点(-5,2),则双曲线的标准方程为________.
【解析】　因为双曲线的焦点在x轴上,且双曲线的半焦距为,所以设双曲线的标准方程为=1,0-y2=1
(2)若双曲线过点(2,0),且与双曲线=1的离心率相等,则双曲线的标准方程为________.
【解析】　由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程,得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
-y2=1
(3)与双曲线=1有相同的焦点,且经过点(3,2)的双曲线的标准方
程为______________.
【解析】　因为所求双曲线与双曲线=1有相同的焦点,所以可设所求双曲线的方程为=1(-4<λ<16),又所求双曲线过点(3,2),所以=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),故所求双曲线的标准方程为=1.
=1
(4)若双曲线过点P1,则双曲线的标准方程为__________.
【解析】　因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).因为点P1,P2在双曲线上,所以=1.
=1
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2.
(2)待定系数法:“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为=λ(λ≠0);与双曲线=1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为=1(-a2<λ0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
规律总结
【对点训练2】　(1)(人教A版选择性必修第一册P124例4改编)青花瓷是我国瓷器文化的重要组成部分.已知某青花瓷花瓶的外形上下对称,可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面,如图所示.若该花瓶的瓶口直径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是 (　 　)
A.=1
C.-y2=1
B
解析:由题意可知该双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,点A(4,3)在双曲线上.设该双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则
=1.故选B.
(2)已知A(-3,0),B(3,0),O为坐标原点,点N是圆O:x2+y2=4上任意一点,点M是圆O外一点,若∠AMN=∠BMN,MN⊥BN,则点M的轨迹方程为 (　 　)
A.=1(x≠0)
B.=1(y≠0)
C.=1(y≠0)
D.=1(x≠0)
B
解析:由题意知,圆O的半径r=2,如图,延长BN交直线AM于点C,连接ON,MB,因为∠AMN=∠BMN,且MN⊥BN,所以|MB|=|MC|,N为BC的中点,所以ON∥AC,且|ON|=|AC|,因此,||MA|-|MB||=||MA|-|MC||=|AC|=2|ON|=4<|AB|,所以点M在以A,B为焦点的双曲线Ω上,设Ω的方程为=1(a>0,b>0),可知2a=4,所以a=2,又c=3,则b2=c2-a2=5,所以Ω的方程为=1,则|x|≥2,又点M是圆O外一点,所以|x|>2,则y≠0,故所求轨迹方程为=1(y≠0).故选B.
考点3 双曲线的几何性质
命题角度1　渐近线
【例3】　(1)(2025·辽宁鞍山一模)与双曲线=1有相同渐近线的双曲线方程为( 　 　)
A.x2-y2=1 B.x2-2y2=2
C.=1
C
【解析】　双曲线x,双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x,故A错误;双曲线x2-2y2=2的渐近线方程为y=±x,故B错误;双曲线x,故C正确;双曲线x,故D错误.故选C.
(2)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F,直线y=kx(k≠0)与C的左、右两支分别交于点A,B,若=0,|FA|=,则C的渐近线方程为(　 　)
A.y=±x
C.y=±x
A
【解析】　如图,设C的右焦点为F',连接BF',AF',由题意知四边形FAF'B为平行四边形.因为=0,所以FA⊥FB,故四边形FAF'B为矩形,由双曲线的定义得,在Rt△AFF'中,|AF'|=|AF|+2a=,由|AF'|2+|AF|2=|FF'|2,得=(2c)2,解得,所以,所以C的渐近线方程为y=±x.故选A.
1.求双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令=0,即得两渐近线方程为.
2.在双曲线的几何性质中,重点是渐近线方程和离心率,在双曲线=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2.
规律总结
命题角度2　离心率
【例4】　(1)(2025·四川巴中二模)双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=12x有一个公共焦点F,双曲线上过点F且垂直于实轴的弦长为3,则双曲线的离心率等于( 　 　)
A.
C.
C
【解析】　抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0),即双曲线的一个焦点为(3,0),c=3.将x=c代入双曲线方程得=1,得y=±,∵过点F且垂直于实轴的弦长为3,∴,即,则a=,∴e=.故选C.
(2)(2025·河北秦皇岛二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F(c,0),过点A且斜率为k的直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,与C交于第一象限的一点B.若≤k≤1,则C的离心率的取值范围是 (　 　)
A.[3,3+2] B.[3,3+4]
C.[3+2,7+4] D.[3+4,7+4]
A
【解析】　依题意得,点A(-a,0),直线l的方程为y=k(x+a),圆(x-c)2+y2=(c-a)2的圆心为(c,0),半径为c-a,由直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,得=c-a,设双曲线C的离心率为e,则,因为≤k≤1,所以1+∈[,2],即≤1,解得3≤e≤3+2,所以C的离心率的取值范围是[3,3+2].故选A.
求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程(或不等式),利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或取值范围).
规律总结
【对点训练3】(1)(多选)(人教B版选择性必修第一册P156练习BT5改编)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,一条渐近线过点(2,),则下列结论正确的是(　 　)
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线C与双曲线=1有相同的渐近线
C.若F到双曲线C的渐近线的距离为2,则双曲线C的方程为=1
D.若直线l:x=,则双曲线C的焦距为6
BCD
解析:对于A,由题意知,直线y=x过点(2,),则,得a=b,所以双曲线C的离心率e=,故A错误;对于B,双曲线x,双曲线C的渐近线方程为y=±x,故B正确;对于C,不妨取双曲线C的一条渐近线方程为x+y=0,由F(c,0)到渐近线的距离为2,可得=2,得c=2,可得
=1,故C正确;对于D,
在y=±x中,令x=,得y=±,则直线l与渐近线围成的三角形的面积S=,得,结合a2+b2=c2,a=b,得c=3,所以双曲线C的焦距为2c=6,故D正确.故选BCD.
(2)(2025·福建厦门三模)已知双曲线C的顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,若△A1A2B为直角三角形,则C的离心率为( 　 　)
A.
解析:不妨设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),
A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),因为△A1A2B为直角三角形,且|BA1|=|BA2|,所以△A1A2B为等腰直角三角形,∠A1BA2=,所以∠OBA2=,则|OB|=|OA2|,所以a=b,所以双曲线C的离心率e=.故选A.
A
【例】　(2025·广东汕头模拟)已知点M(x0,y0)为双曲线-y2=1上的动点.
(1)判断直线-y0y=1与双曲线的公共点个数,并说明理由.
【解】直线与双曲线只有1个公共点.理由:∵点M(x0,y0)在双曲线-y2=1上, ∴=1(*),
由x2+x0x-(1+)=0,
将(*)式代入,整理得x2-2x0x+=0,
∵Δ=4=0,∴该直线与双曲线有且只有1个公共点.
(2)①如果把(1)的结论推广到一般双曲线,你能得到什么相应的结论 请写出你的结论,不必证明.
②将双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”,其方程为=0,请利用该方程证明如下命题:若T(m,n)为双曲线C上一点,直线l:=1与C的两条渐近线分别交于点P,Q,则T为线段PQ的中点.
【解】①过双曲线=1(a>0,b>0)上一点(x0,y0)的切线方程为=1.
②证明:当n=0时,直线l的斜率不存在,此时T为双曲线与x轴的交点,
由对称性知,点T为线段PQ的中点.
当n≠0时,设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为N(t,s),
由x2+2mx-a2=0,
由=1将上式整理得x2-2mx+a2=0,∴t==m,
又=1,
∴s==n,则N(m,n),
∴点T与点N重合,
∴T为线段PQ的中点.
综上,T为线段PQ的中点.
本题考法新颖,不同于以往解析几何大题先求曲线方程的常规套路,而是要求证明一个二级结论,教学过程中师生都易关注常见结论,而忽视结论的由来和证明,导致学生出现“知其然,不知其所以然”的现象,本题提示我们在学习过程中要注重数学推导过程的学习.
创新解读
圆锥曲线的第三定义
1.链接教材:(1)(人教A版选择性必修第一册P108例3)
如图,设A,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-,求点M的轨迹方程.
教材深研
(2)(人教A版选择性必修第一册P121探究)如图,点A,B的坐标分别是
(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,比较(1)和(2)的轨迹方程,你有什么发现
2.圆锥曲线的第三定义
平面内的动点到两定点A1(-a,0),A2(a,0)的斜率之积等于常数e2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点.若e2-1∈(0,+∞),则轨迹为双曲线,若e2-1∈(-1,0),则轨迹为椭圆.
3.圆锥曲线的第三定义的有关结论
(1)椭圆方程中有关-的经典结论
①AB是椭圆=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M(x0,y0)为AB的中点,O为坐标原点,则有kOM·kAB=-,即kAB=-.
②椭圆的方程为=1(a>b>0),A1,A2为椭圆的长轴端点,点P是椭圆上异于长轴端点的任一点,则有.
③椭圆的方程为=1(a>b>0),B1,B2为椭圆的短轴端点,点P是椭圆上异于短轴端点的任一点,则有.
④椭圆的方程为=1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于A,B两点,点P是椭圆上异于A,B两点的任一点,则有kPA·kPB=-.
(2)双曲线方程中有关的经典结论
①AB是双曲线=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M(x0,y0)为AB的中点,O为坐标原点,则有kOM·kAB=,即kAB=.
②双曲线的方程为=1(a>0,b>0),A1,A2为双曲线的实轴端点,点P是双曲线上异于实轴端点的任一点,则有.
③双曲线的方程为=1(a>0,b>0),B1,B2为双曲线的虚轴端点,点P是双曲线上的任一点,则有.
　
④双曲线的方程为=1(a>0,b>0),过原点的直线交双曲线于A,B两点,点P是双曲线上异于A,B两点的任一点,则有kPA·kPB=.
【典例】　(1)已知A,B分别是双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 (　 　)
A. B.2
C.
D
【解析】　设双曲线E:=1(a>0,b>0),不妨令点M在双曲线右支上,则∠ABM=120°,∠BAM=∠BMA=30°,如图,过点M作MH⊥x轴于点H,则∠MBH=180°-∠ABM=60°,所以直线AM和直线BM的斜率分别为,由双曲线的第三定义,得kMA·kMB==1=e2-1,所以离心率e=.故选D.
(2)椭圆C:=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是 (　 　)
A.
C.
B
【解析】　设点P的坐标为(x0,y0),则=1,,,于是,故∈
[-2,-1],所以.故选B.
高考真题 教材典题
(2022·全国甲卷文)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件 “直线y=2x与C无公共点”的e的一个值___________________. (人教A版选择性必修第一册P128习题3.2 T12)设椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1的离心率分别为e1,e2,双曲线的渐近线的斜率小于,求e1和e2的取值范围.
考教衔接
解析:因为双曲线C:=1(a>0,b>0),所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,结合渐近线的特点,只需0<≤2,即0<≤4,可满足条件“直线y=2x与双曲线C无公共点”,所以e=.又e>1,所以12(满足1课时作业60
1.(5分)(2025·北京海淀区二模)已知A(-2,0),B(2,0).若动点P满足|PA|-|PB|=2,则P的轨迹方程为 (　 　)
A.x2-=1
B.x2-=1(x≤-1)
C.-x2=1
D.x2-=1(x≥1)
基础巩固
D
解析:∵A(-2,0),B(2,0),动点P满足|PA|-|PB|=2<|AB|=4,∴动点P的轨迹为双曲线的右支,|PA|-|PB|=2=2a 实半轴长a=1,又半焦距c=2,∴虚半轴长b=,∴P的轨迹方程为x2-=1(x≥1).故选D.
2.(5分)(2026·浙江衢州模拟)“a<=1表示双曲线”的(　 　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
解析:要使方程=1表示双曲线,需使3a(4a-1)<0
,解不等式3a(4a-1)<0,得03.(5分)(2026·山东潍坊一模)若双曲线E:=1(a>0,b>0)的焦距是实轴长的2倍,则E的渐近线方程为 (　 　)
A.y=±x
C.y=±x
解析:由题意可得2c=2×2a,所以=2,则,所以E的渐近线方程为y=±x.故选B.
B
4.(5分)(2026·T8联考)已知双曲线C:x2-=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆O:x2+y2=1的切线,交双曲线C的右支于点M,若∠F1MF2=,则实数m=(　 　)
A.2+
C.2 D.1+
D
解析:如图,设点M在第一象限,过点F2作F2G⊥MF1于点G,设N为圆O的切点,连接ON,∴|F1N|=|NG|=m,|F2G|=2|ON|=2.在Rt△MGF2中,|MG|=,|MF2|=,由双曲线定义得|MF1|-|MF2|=2,∴2m+=2,∴m=1+.故选D.
5.(5分)(一题多解)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积为 (　 　)
A.48 B.24
C.64 D.96
A
解析:方法一　由题意知,a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=6,且|PF2|=|F1F2|
=2c=10,所以|PF1|=16.在等腰三角形PF1F2中,过F2作PF1的垂线,交PF1于Q(图略),则|F2Q|==6,所以|PF1|·|F2Q|=48.故选A.
方法二　由题意知,a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c
=10,所以|PF1|=16.在△PF1F2中,由余弦定理的推论得cos∠PF1F2=
.因为0<∠PF1F2<π,所以sin∠PF1F2=,所以|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2=48.故选A.
方法三　由题意知,a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c
=10,所以|PF1|=16.在△PF1F2中,根据海伦公式()
,得=48.故选A.
6.(5分)(2025·天津和平区三模)已知双曲线C的上、下焦点分别为F1,F2,若C的实轴长为1,且C上的一点P满足PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4,则双曲线C的方程为(　 　)
A.y2-=1
C.4y2-=1
D
解析:设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),由题意可知
,故双曲线C的方程为4y2-=1.故选D.
7.(5分)(2025·安徽蚌埠三模)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为H,若=a2(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为(　 　)
A.
C.
D
解析:如图,由双曲线C:=1,得渐近线方程为y=±x,右焦点F(c,0),
c=,易知tan∠HOF=,sin∠HOF=,在Rt△HOF中,|HF|=|OF|·
sin∠HOF=b,,>=b·csin∠HOF=b2=a2,
∴c2=2a2,∴离心率e=.故选D.
8.(5分)(2025·河北石家庄一模)设点P为双曲线=1右支上的动点,F为该双曲线的右焦点,已知点Q(7,2),则|PF|+|PQ|的最小值为 (　 　)
A.2
C.4
B
解析:如图,设双曲线的左焦点为F1,则F1(-4,0),连接QF1,交双曲线的右支于点P',由双曲线的定义得|PF|+|PQ|=|PF1|+|PQ|-2a≥|QF1|-2,当且仅当P在P'处时等号成立.所以|PF|+|PQ|的最小值为3.故选B.
9.(8分,多选)(2026·河北邢台一模)已知双曲线C:=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若|F1F2|=2e(e为C的离心率),则 (　 )
A.a=1
B.C的虚轴长为2
C.e=
D.C的一条渐近线的斜率为
AB
解析:对于A,B,C,由C:=1(a>0),知F1(-2a,0),F2(2a,0),e==2,由|F1F2|=2e,得4a=4,即a=1,则3a2=3,所以C的虚轴长为2,故A,B正确,C错误;对于D,由C的渐近线方程为y=±x,得两条渐近线的斜率分别为,-,故D错误.故选AB.
10.(8分,多选)(2025·湖南长沙二模)已知双曲线C1:=1和C2:=1,其中a>0,b>0,且a≠b,则 (　 　)
A.C1与C2有相同的实轴
B.C1与C2有相同的焦距
C.C1与C2有相同的渐近线
D.C1与C2有相同的离心率
BC
解析:对于A,双曲线C1:=1的实轴在x轴上,双曲线C2:=1的实轴在y轴上,故A错误;对于B,双曲线C1:=1和C2:
,故B正确;
对于C,双曲线C1:x,
双曲线C2:x,故C正确;
对于D,双曲线C1:,双曲线C2:,故D错误.故选BC.
11.(8分,多选)(2025·安徽合肥三模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=x,左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与双曲线C的右支交于P,Q两点,则(　 　)
A.双曲线C的离心率为
B.若PQ⊥F1F2,则|PQ|=|F1F2|
C.若|PQ|=|PF1|,则tan∠QPF1=-3
D.若a=,直线l的倾斜角为60°,则|PQ|=4
ACD
解析:对于A,依题意可知a=b,则离心率e=,故A正确;对于B,若PQ⊥F1F2,则|PQ|=,故,故B错误;对于C,不妨设a=1,当|PQ|=|PF1|=|PF2|+|F2Q|时,|PF1|-|PF2|=|F2Q|=2,则|QF1|=4,又|F1F2|=2,由余弦定理的推论得cos∠F1QF2==cos∠PQF1,则cos∠QPF1=cos(π-2∠PQF1)=1-2cos2∠PQF1=-,则tan∠QPF1=-3,故C正确;对于D,设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),联立可得x2-6x+7=0,所以xP+xQ=6,xP·xQ=7,|xP-xQ|=2,则|PQ|=,故D正确.故选ACD.
12.(4分)(人教B版选择性必修第一册P156练习BT4改编)已知以双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为8,且双曲线C的两条渐近线将坐标平面四等分,则双曲线C的标准方程为
_____________.
=1
解析:如图,由双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线将坐标平面四等分,知其渐近线方程为y=±x,因此a=b,则双曲线C的实轴与虚轴相等,所以×2a×2a=8,即a2=4,因此双曲线C的标准方程为=1.
13.(4分)(2025·湖南郴州三模)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线C右支上一点,且直线PF2的斜率为,△PF1F2是面积为2的直角三角形,则双曲线C的实半轴长为________.
-1
解析:由题可知,点P在第四象限,∠F1PF2=90°.设∠PF2F1=θ1,∠PF1F2
=θ2. 由,求得sin θ1=.因为∠F1PF2=90°,所以=-1,求得,即tan θ2=,则sin θ2=
.设|PF2|=m,得|PF1|=m,|F1F2|=2c=,得m=2,则|PF2|=2,|PF1|=2,所以|PF1|-|PF2|=2a=2-2,解得a=-1.
14.(8分,多选)(2025·全国二卷)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　 　)
A.∠A1MA2=
B.|MA1|=2|MA2|
C.C的离心率为
D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8
ACD
素养提升
解析:不妨设M,N所在的渐近线方程为y=x,M在第一象限,N在第三象限,如图.对于A,由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形,故∠A1MA2=π-,故A正确;对于B,因为M在以F1F2为直径的圆上,所以|MO|=c,因为tan∠MOA2=,c2=a2+b2,所以cos∠MOA2=,由余弦定理知-2|OM||OA2|·cos∠MOA2,即=b2,|OM|2=|OA2|2+|MA2|2,则△A1A2M为直角三角形,又∠A1MA2=,则2|MA2|=|MA1|,故B错误;对于C,因为(),所以
4,由B可知||=b,|b,故4c2=b2+(c2-a2),即c2=13a2,故离心率e=,故C正确;对于D,当a=时,由C可知e=,故c=,故b=2,故四边形NA1MA2的面积为2,故D正确.故选ACD.
15.(5分)已知椭圆与双曲线有公共焦点,F1,F2分别为其左、右焦点,点M为它们在第一象限的交点,满足sin∠F1MF2=2sin∠MF1F2,椭圆与双曲线的离
心率分别为e1,e2,则e1+e2的取值范围是.
解析:设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,|F1F2|=2c,如图,由正弦定理得=.∵sin∠F1MF2
=2sin ∠MF1F2,∴|F1F2|=2|MF2|,∴|MF2|=c,∵|MF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|=2a2,∴|MF1|=2a1-c=2a2+c,∴a1-a2=c,∴=1,即e1=1-,
∴e1+e2=1-+e2=(e2+1)-,由函数f(x)=x-的性质知g(e2)=(e2+1)-在(1,+∞)上单调递增,∴g(e2)>g(1)=,即e1+e2∈.
16.(5分)已知双曲线=1与直线l:y=kx+m(k≠±2)有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运
动时,求点P(x,y)的轨迹方程为________________.
=1(y≠0)
创新训练（创新考法）
解析:联立方程可得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0,因为双曲线与直线有唯一公共点且k≠±2,所以Δ=4k2m2-4(4-k2)·(-m2-16)=0,整理得m2=4(k2-4),可解得点M坐标为,即,其中km≠0,于是,过点M且与l垂直的直线方程为y+,可得A,B,P,即x=-,y=-,则x2==100+4y2,即=1,其中y≠0,所以点P(x,y)的轨迹方程是=1(y≠0).
本课结束

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