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(共67张PPT)
第八章　平面解析几何
8.7　抛物线
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握抛物线的简单应用. 2023 2024 2025
全国一卷T10
新课标Ⅱ卷T10 新课标Ⅱ卷T10 全国二卷T6
必备知识　回顾
1.抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的____,直线l叫做抛物线的____.
1
知识梳理
相等
焦点
准线
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
图形
开口 ____ 向左 向上 ____
焦点
向右
向下
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
准线 ____ ____
简 单 几 何 性 质 范围 x≥0, y∈R ____, y∈R ____, x∈R y≤0,
x∈R
对称轴 x轴 y轴 顶点 原点O(0,0) 离心率 e=1 x=
y=
x≤0
y≥0
1.通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2.抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F,也称为抛物线的焦半径.
3.设抛物线方程为y2=2px(p>0),过焦点F的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线l的斜率为k,倾斜角为α,则有如下的焦点弦长公式:|AB|=|x1-x2|,|AB|=|y1-y2|(k≠0),|AB|=x1+x2+p,
|AB|=.
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线. ( 　 　)
(2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线,焦点坐标是(1,0). ( 　 　)
(3)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离. ( 　　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),也可以写成y=ax2(a≠0),这与以前学习的二次函数的解析式是一致的. ( 　 　)
基础检测
×
×
√
√
2.(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)已知抛物线C:y=6x2,则C的准线方程为(　 　)
A.y=-
C.y=-
解析:抛物线C:y=6x2的标准方程为x2=y,所以其准线方程为y=-.故选C.
C
3.(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)已知抛物线y2=2px上的点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,则抛物线的方程是(　 　)
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-2x D.y2=-4x
解析:由题意知p>0,则准线方程为x=-,点M(2,y0)到焦点的距离等于其到准线的距离,即=3,∴p=2,则y2=4x.故选B.
B
4.(人教A版选择性必修第一册P138练习T3改编)P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则p= (　 　)
A.2　　　　 B.4
C.4或9　　 D.2或18
解析:由题意可得抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,设点P(x,y),又点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,所以有即p的值为18或2.故选D.
D
关键能力　提升
考点1 抛物线的定义及应用
【例1】　(1)(苏教版选择性必修第一册P113练习T6改编)若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为 (　 　)
A.y2=4x B.x2=4y
C.y2=8x D.x2=8y
【解析】　由题意,知点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离,由抛物线的定义可知,点P的轨迹是以点(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,所以点P的轨迹方程为x2=8y.故选D.
D
(2)(2025·陕西商洛三模)已知A为抛物线C:y2=8x上一点,F为C的焦点,点A到y轴的距离为6,则|AF|= ( 　 　)
A.6 B.8
C.10 D.12
【解析】　对于抛物线C:y2=8x,2p=8,可得p=4,设点A(m,n),则m>0,因为点A到y轴的距离为6,即m=6,由抛物线的定义可得|AF|=m+=8.故选B.
B
1.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义简捷、直观地求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向.在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,因此只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
规律总结
【对点训练1】　(1)(2025·全国二卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|= ( 　 　)
A.3 B.4
C.5 D.6
C
解析:如图,对于直线BF:y=-2x+2,令y=0,则x=1,所以F(1,0),则p=2,故抛物线C的方程为y2=4x,准线方程为x=-1,故B(-1,4),则yA=4,代入y2=4x,得xA=4.所以|AF|=|AB|=xA+=4+1=5.故选C.
(2)(2026·辽宁沈阳一模)已知平面直角坐标系中不同的三点A(0,5),B(x,0),C(0,y),圆心在y轴上的圆E经过A,B,C三点,设M点的坐标为(x,y),则点M的轨迹方程为( 　 　)
A.x2=5y(y≠0) B.y2=5x(x≠0)
C.y2=-5x(x≠0) D.x2=-5y(y≠0)
解析:由圆心在y轴上的圆E经过点A(0,5),B(x,0),C(0,y),得线段AC为圆E的直径,则AB⊥BC,又=(x,-5),=(x,-y),所以=x2+5y=0,又B,C不重合,即y≠0,所以点M的轨迹方程为x2=-5y(y≠0).故选D.
D
考点2 抛物线的几何性质
命题角度1　焦点弦和焦半径
【例2】　(多选)设O为坐标原点,直线y=(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　 　)
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN的面积为
ACD
【解析】　对于A,在直线y=(x-1)中,令y=0,可得x=1,所以抛物线C的焦点为(1,0),则=1,p=2,故A正确;对于B,设M(x1,y1),N(x2,y2),联立
得3x2-10x+3=0,则x1+x2=,|MN|=x1+x2+p=,故B错误;对于C,y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2,如图,设MN的中点为D,则D,又l:x=-1,所以D到直线l的距离d=,以
MN为直径的圆的半径r=,因为d=r,所以以MN为直径的圆与l相切,故C正确;对于D,O到MN的距离h=,则△OMN的面积为,故D正确.故选ACD.
与焦点弦有关的常用结论
如图,倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,F为抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
(1)y1y2=-p2,x1x2=.
(2)焦点弦长:|AB|=x1+x2+p=.
通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长:2p.
(3)焦半径:|AF|=,|BF|=,.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切;以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
规律总结
命题角度2　与抛物线有关的最值(范围)问题
【例3】　(2025·辽宁葫芦岛一模)已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 (　 　)
A.2
.
C
【解析】　如图,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为Q,设A(0,2),抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,AF,|PQ|=|PF|,故|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|≥
|AF|=,当且仅当点P为AF与抛物线的交点时等号成立.所以点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.故选C.
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决.
转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
规律总结
【对点训练2】　(1)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与l和C分别交于A,B两点,且∠AFB=60°,则|AB|=(　 　)
A. B.2
C.2 D.4
D
解析:如图,由抛物线定义可知|BF|=|AB|,因为∠AFB=60°,所以△ABF为等边三角形,故|AF|=|AB|=|BF|,∠BAF=60°,所以∠AFO=60°,设准线l与x轴的交点为P,则|PF|=2,故|AF|==4,所以|AB|=4.故选D.
(2)已知x轴上一定点A(a,0)(a>0)和抛物线y2=2px(p>0)上一动点M,若|AM|≥a恒成立,则实数a的取值范围为 (　 　)
A. B.(0,p]
C. D.(0,2p]
B
解析:设M(x0,y0)(x0≥0),则=2px0,所以|AM|=
==.因为|AM|≥a恒成立,所以
-(2a-2p)x0+a2≥a2恒成立,所以-(2a-2p)x0≥0恒成立,当x0=0时,显然恒成立,当x0>0时,x0≥2a-2p恒成立,所以2a-2p≤0,则a≤p,又a>0,所以0考点3 抛物线的综合问题
【例4】　已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(3,m)在抛物线上,且|MF|=5.
(1)求抛物线的方程;
【解】　根据抛物线的定义可知,|MF|=xM+=5,即3+=5,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,求直线l的方程.
【解】由(1)知,抛物线的焦点为F(2,0), 若直线l的斜率不存在,则A(2,4),B(2,-4),则|AB|=8,不满足题意,所以直线l的斜率存在且不为零,如图,设l:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y可得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1+x2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1++4=16,解得k=±1,所以直线l的方程为y=±(x-2).
1.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,则可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则可以选用一般弦长公式.
2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系,采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
规律总结
【对点训练3】　如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l与抛物线y2=2x分别交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.求证:
(1)x1x2为定值;
证明:由题可得直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0),
与抛物线方程联立得消去y可得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0,
其中Δ=4-4·k2·4k2=16k2+4>0,由根与系数的关系得x1x2==4,即x1x2为定值.
(2)OM⊥ON.
证明:因为=2x1,=2x2,所以=4x1x2=16.
又因为y1y2<0,所以y1y2=-4.
设OM,ON的斜率分别为k1,k2,则k1=,k2=,所以k1k2==-1,则OM⊥ON.
高考真题 教材典题
考教衔接
解析:由题意可得()2=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为x=-,点A到C的准线的距离为1-.
课时作业61
1.(5分)(2025·北京朝阳区二模)若抛物线C:x2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,-1),则抛物线C的准线方程为 (　 　)
A.x=2 B.x=1
C.y=2 D.y=1
解析:因为抛物线C:x2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,-1),所以抛物线的方程为x2=-4y,准线方程为y=1.故选D.
基础巩固
D
2.(5分)(2025·河南焦作二模)如图,曲线AOB是抛物线C:x2=4y的一部分,且曲线AOB关于y轴对称,|AB|=4,则点B到C的焦点的距离为 (　 　)
A.4 B.3
C.2 D.1
解析:由抛物线的标准方程可知,焦点为(0,1),因为|AB|=4,A,B关于y轴对称,所以点B的横坐标为2,则点B(2,1),所以点B(2,1)到C的焦点(0,1)的距离为2.故选C.
C
3.(5分)(2025·陕西汉中二模)如图1,这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10 cm,口径26 cm,底径10 cm,该碗的轴截面(不含碗底部分)是抛物线的一部分,如图2,则该抛物线的焦点到准线的距离为 (　 　)
A. cm
C. cm
B
解析:以该碗轴截面的对称轴为y轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图,设该抛物线的方程为x2=2py(p>0)(x,y的单位均为cm),点A纵坐标为h,则A(5,h),B(13,h+10),于是
cm.故选B.
4.(5分)(2025·安徽蚌埠三模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过C上一点A作其准线的垂线,垂足为B,若cos∠BAF=,|AF|=10,则p= (　 　)
A.2 B.3
C.4 D.5
C
解析:由题意可知,抛物线C的焦点F,准线方程为x=-,且|AF|=|AB|=10,如图,连接BF,设E为准线与x轴的交点,A(xA,yA),则|EF|=p,由余弦定理得2|AF|2-2|AF|2cos∠BAF=200×=80=|BF|2,即|BF|=4=10,所以xA=10-,所以=2pxA=20p-p2,则|EF|2+=p2+20p-p2=|BF|2=80,则p=4.故选C.
5.(5分)已知抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为 (　 　)
A.64
D.80
A
解析:如图,因为线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,所以结合抛物线的对称性可得AB与OP互相平分,则四边形OAPB为菱形.设点P(2t,0)且t>0,则线段OP的垂直平分线l的方程为x=t,令l与x轴交于点H,因为∠OAP=120°,所以∠OAH=∠OAP=60°,所以|AH|=,所以点A的坐标为,代入y2=8x,可得=8t,解得t=24,所以|OA|=2|AH|=2×,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=64.故选A.
6. (5分)如图,设抛物线y2=8x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在该抛物线上,点C在y轴上,若|FA|=9,|FB|=4,则= ( 　 　)
A.
D.4
A
解析:如图所示,设A(xA,yA),B(xB,yB),由y2=8x可知准线方程为x=-2,根据抛物线定义可得xA+2=9,xB+2=4,故xA=7,xB=2,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为G,M,过B作AG的垂线,垂足为E,易得△ABE∽△BCM,所以.故选A.
7.(6分,多选)(2026·广东惠州一模)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线对称轴的光线,经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面)反射后,集中于它的焦点.若抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,一条平行于x轴的光线l1从点M射入,经过C上的点A(x1,y1)反射,再经过C上另—点B(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则 (　 　)
A.C的准线方程为x=-1
B.y1y2=-4
C.若点M(2,1),则|AB|=
D.设直线OA与C的准线的交点为N,则点N在直线l2上
ABD
解析:对于A,抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故A正确;对于B,设直线AB的方程为x=my+1,与抛物线的方程y2=4x联立,可得y2-4my-4=0,则y1y2=-4,故B正确;对于C,若点M(2,1),则y1=1,y2=-4,所以A,B(4,-4),所以|AB|=,故C错误;对于D,直线OA的方程为y=x,又=4x1,所以y=x,令x=-1,可得y=-=y2,即
N(-1,y2),而直线l2的方程为y=y2,则点N在直线l2上,故D正确.故选ABD.
8.(6分,多选)(2025·广东广州三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线l与x轴交于点A,O为坐标原点,过F的直线与C交于B,D两点,过B,D作l的垂线,垂足分别为E,G,则(　 　)
A.若直线BD的斜率为1,则|BD|=8
B.以BD为直径的圆与y轴相切
C.EF⊥GF
D.B,O,G三点共线
ACD
解析:如图,抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1,点A(-1,0),设B(x1,y1),D(x2,y2).对于A,直线BD:y=x-1,由消去y得x2-6x+1=0,所以x1+x2=6,所以|BD|=x1+x2+2=8,故A正确;对于B,|BD|=x1+x2+2,线段BD的中点的横坐标x0=,则弦BD的中点到准线的距离为|BD|,因此以BD为直径的圆与准线相切,故B错误;对于C,由
|BF|=|BE|,BE∥AF,得∠AFE=∠BEF=∠BFE,同理∠AFG=∠DFG,则∠EFG=∠AFE+∠AFG=(∠AFB+∠AFD)=90°,故C正确;对于D,设直线BD:x=ty+1,联立得y2-4ty-4=0,则y1y2=-4,直线OB:y=x,设直线OB与准线l交于H(xH,yH),联立,又y2=-,所以yH=y2,即H与G重合,所以B,O,G三点共线,故D正确.故选ACD.
9.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上,过M作y轴的垂线,垂足为N.若|MF|=5,则△MNF的面积为__.
解析:不妨设M位于第一象限,则|MF|=+1=5,所以y0=4,故M(4,4),N(0,4),所以△MNF的面积为×4×4=8.
8
10.(5分)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点Q是圆(x-4)2+y2=1上的动点,则P,Q两点间的最短距离为____.
解析:由圆(x-4)2+y2=1,知圆心C(4,0),半径r=1,设P(x0,y0),
则|PC|==
,所以当x0=3时,|PC|min=,所以|PQ|min=|PC|min-r=-1.
-1
11.(18分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M到其焦点的距离为3,到y轴的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
解:由题意知,点M到准线的距离为3,所以3=+2,解得p=2.
故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)若不过原点O的直线l:y=x+m与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB,求实数m的值.
解:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4y+4m=0,所以Δ=16-16m>0,即m<1,则y1+y2=4,y1y2=4m.
因为OA⊥OB,所以=0,
即x1x2+y1y2=+y1y2=m2+4m=0,解得m=-4或m=0.
又直线l不过原点O,所以m≠0.
所以m=-4.
12.(19分)已知直线l:x=my+n(n≠0)与抛物线y2=4x交于M,N两点,且∠MON=.
(1)求M,N两点的横坐标之积与纵坐标之积;
解:设M(x1,y1),N(x2,y2),
∵∠MON=90°,
∴,∴x1x2+y1y2=0.
∵=4x1,=4x2,∴+y1y2=0,∴y1y2=-16,∴x1x2=16.
(2)求△MON面积的最小值,并求此时直线l的方程.
解:如图,令直线l的方程x=my+n(n≠0)中y=0,
可得直线与x轴的交点P(n,0),联立
得y2-4my-4n=0,由(1)知,y1y2=-4n=-16,∴n=4,即点P的坐标为(4,0),
则S△MON=S△MOP+S△NOP=
|OP|(|y1|+|y2|)=2(|y1|+|y2|)≥2×2×=16,
当且仅当|y1|=|y2|=4时,等号成立.∴△MON面积的最小值为16,此时直线l的方程为x=4.
13.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F在直线x+2y-4=0上,过F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AB|·|AF|的最小值为 (　 　)
A.36 B.54
C.82 D.108
D
素养提升
解析:如图,抛物线焦点为F,因为点F在直线x+2y-4=0上,所以-4=0,解得p=8,所以抛物线的方程为y2=16x,设直线l的方程为x=my+4,
A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-16my-64=0,所以y1+y2=16m,
y1y2=-64,x1x2==16,因为|AF|=x1+=x1+4,|BF|=x2+4,所以|AB|=|AF|
+|BF|=x1+x2+8,所以|AB|·|AF|=(x1+x2+8)(x1+4)=+x1x2+12x1+4x2+32,
由x1x2=16,得x2=,所以|AB|·|AF|= +48(x1>0),
令f(x)=x2+12x++48,求导得f'(x)=2x+12-,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)≥f(2)=108,所以|AB|·|AF|的最小值为108.故选D.
14.(6分,多选)(2025·山东威海三模)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与C交于A,B两点,则 (　 　)
A.过A作l的垂线,垂足为Q,若∠AQF=60°,则|AQ|=8
B.若直线BO与l交于点P,则直线AP平行于x轴
C.以线段BF为直径的圆上的点到l的最小距离为1
D.以线段AB为直径的圆截y轴所得弦长的最小值为2
BCD
解析:由题可得抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.对于A,如图,设准线与x轴交于L,由抛物线的定义可得|AQ|=|AF|,结合∠AQF=60°,可知△AQF为等边三角形,∠FQL=30°,又|FL|=2,则|AQ|=|QF|==4,故A错误;对于B,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+1,将直线与抛物线的方程联立,消去x,可得y2-4my-4=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4,则y1=,又
kOB= lOB:y=x,令x=-1,则P,由=my2+1,因为y2≠0,所以,所以y1=,则A,P两点纵坐标相同,则直线AP平行于x轴,故B正确;对于C,取BF的中点为O1,过B,O1分别作准线的垂线,垂足分别为J,K,则以线段BF为直径的圆上的点到l的最小距离为|KO1|-|BF|,因为O1K∥BJ∥FL,O1为BF的中点,所以K为LJ的中点,则|KO1|=,又|FL|=2,|BJ|=|BF|,所以|KO1|-|BF|=1,故C正确;对于D,设以线段AB为直径的圆与y轴交于M(0,y3),N(0,y4),注意到
kMA·kMB=kNA·kNB==-1,整理,
得
则y3,y4为方程x2-(y1+y2)x+y1y2+x1x2=0的两根,
则y3+y4=y1+y2=4m,y3y4=y1y2+x1x2=-4=-3,
则|y3-y4|==,
当且仅当m=0,即AB垂直于x轴时取等号,故D正确.故选BCD.
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