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(共69张PPT)
第八章　平面解析几何
8.8　直线与圆锥曲线的位置关系
2027高考数学一轮总复习
内容索引
必备知识　回顾
课时作业
关键能力　提升
考试要求 三年考情 1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.能解决直线与圆锥曲线相交的综合问题. 2023 2024 2025
新课标Ⅰ卷T16 全国一卷T10
新课标Ⅱ卷T10 新课标Ⅱ卷T10 全国二卷T16
必备知识　回顾
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线可能的位置关系包括____、____、____;相交时有一个或两个交点,相切时有一个交点,相离时无交点.
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+D=0(A,B不同时为0)与圆锥曲线C的方程组成方程组,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
①当a≠0时,可考虑一元二次方程的判别式Δ,Δ>0时,直线l与曲线C____;Δ=0时,直线l与曲线C____;Δ<0时,直线l与曲线C____.
②当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为双曲线,则直线l与双曲线的______平行;若曲线C为抛物线,则直线l与抛物线的______平行或重合.
1
知识梳理
相交
相切
相离
相交
相切
相离
渐近线
对称轴
2.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
= ,k为直线斜率且
k≠0.
|y1-y2|
3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解
(1)利用根与系数的关系:将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),直线AB的斜率k,将点A,B的坐标代入圆锥曲线的方程,两式相减并整理,可以得到直线的斜率的表达式.分别以=1,=1,y2=2px为例,椭圆中k=-;双曲线中k=;抛物线中k=.
1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径,椭圆、双曲线中通径的长为,抛物线中通径的长为2p.
2.过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-;同理,双曲线中kPA·kPB=.(以上焦点在x轴上)
3.若点P(x0,y0)在椭圆上,则过点P的切线方程为=1;同理,双曲线中为=1,抛物线中为y0y=p(x+x0).(以上焦点在x轴上)
知识拓展
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)直线与圆锥曲线有三种位置关系:相离、相切、相交. (　 　)
(2)直线y=x与椭圆+y2=1相交.(　 　)
(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.(　 　)
(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(　 　)
基础检测
√
√
×
×
2.(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y=x+2与椭圆=1有两个公共点,则m的取值范围是 (　 　)
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(0,3)∪(3,+∞)
C.(1,3)∪(3,+∞)
D.(1,+∞)
解析:联立直线方程和椭圆方程得消去y,整理得(3+m)x2+4mx+m=0,所以Δ=16m2-4m(m+3)>0,所以m>1或m<0,因为m>0,m≠3,所以m>1且m≠3.故选C.
C
3.(人教A版选择性必修第一册P136练习T3改编)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是 (　 　)
A.2 B.4
C.8 D.16
解析:联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|=×=8.故选C.
C
4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0),过原点的直线l的倾斜角为α,且
cos α=,若l与C没有交点,则C的离心率e的取值范围是 (　 　)
A.
C.
C
解析:易知渐近线方程为y=±x,因为cos α=,所以tan α=.又l与C没有交点,所以,则e2=,所以1关键能力　提升
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】　(2026·江苏南京一模)若直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:=1有两个交点,则k的取值范围是 (　 　)
A.
C.
B
【解析】　双曲线C:x,因为直线l:y
=kx(k>0)与双曲线C:=1有两个交点,直线l过原点,所以k>,则k的取值范围是.故选B.
在判断直线与圆锥曲线的位置关系时,先联立得出方程组,再消去x(或y),得到关于y(或x)的方程,若是直线与椭圆,则所得方程一定为一元二次方程;若是直线与双曲线或抛物线,则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况,只有二次方程才有判别式,另外还应注意斜率不存在的情形.
规律总结
【对点训练1】　过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(　 　)
A.1条　　 B.2条
C.3条　　 D.4条
解析:当直线的斜率不存在时,直线x=0符合题意.当直线的斜率存在时,设直线的方程为y=kx+1,由得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,符合题意;当k≠0时,由Δ=(2k-4)2-4k2=0,可得k=1,即当k=1时,符合题意.综上,满足条件的直线有3条.故选C.
C
考点2 弦的有关问题
命题角度1　中点弦
【例2】　(2025·湖南邵阳三模)已知直线l:y=3x+1与双曲线E:=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,且弦AB的中点是M,则双曲线E的渐近线方程为 (　 　)
A.y=±x
C.y=±2x D.y=±x
C
【解析】　设A(x1,y1),B(x2,y2),则
=0,因为x1≠x2,所以=0,即=0,即,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x.故选C.
弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系法:直线与圆锥曲线方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点.
(2)点差法:利用弦两端点适合圆锥曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,则可求弦所在直线的斜率.
规律总结
命题角度2　一般弦
【例3】　已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,长轴长为4,△PF1F2为正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
【解】由题意得2a=4 a=2,又△PF1F2为正三角形,则|F1F2|=2c=a=2 c=1,
所以b2=a2-c2=3,则椭圆C的标准方程为=1.
(2)过点F1,斜率为的直线与椭圆相交于M,N两点,求线段MN的长.
【解】由(1)知,F1(-1,0),故该直线的方程为y=(x+1),
由消去y可得5x2+8x=0,解得x1=-,x2=0,
所以|MN|=.
弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当弦所在直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则利用弦长公式求解.
(3)当弦过焦点时,求弦长可结合焦点弦公式求解.
规律总结
【对点训练2】　(1)(2025·广东湛江二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:x-y-3=0交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为7,则p= (　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,因为线段AB中点的横坐标为7,所以线段AB中点的纵坐标为4,则y1+y2=8,所以p=4.故选D.
D
(2)(2025·湖南邵阳一模)经过椭圆+y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则|AB|= ( 　 　)
A.
C.
A
解析:∵a2=2,b2=1,∴c==1,即F(1,0),又∵kl=tan 60°=,
∴l:y=(x-1),联立消去y并整理得7x2-12x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=·.故选A.
考点3 直线与圆锥曲线的综合问题
【例4】　(2025·浙江金华三模)双曲线C':=1(a>0,b>0)的离心率为,过左焦点F的直线l与双曲线的左支、右支分别交于点A,B,当直线l与y轴垂直时,|AB|=2.
(1)求双曲线C'的方程;
【解】由题意得,当直线l与y轴垂直时,|AB|=2a=2,故a=,
又离心率为,所以c=a=3,所以b2=c2-a2=6,所以双曲线C'的方程为=1.
(2)点C(12,0)满足CB∥OA,其中O是坐标原点,求四边形OABC的面积.
【解】设直线l的方程是x=ty-3(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(2t2-1)y2-12ty+12=0,由题意得2t2-1≠0,且Δ=144t2-48(2t2-1)=48t2+48>0,则y1+y2=,y1y2=.
如图,因为CB∥OA,所以=5,所以y2=5y1,所以6y1=,5,消去y1得,解得t2=3,
它满足2t2-1≠0,Δ>0,
所以|AB|=|y1-y2|=2=2
=8,连接OB,又O到直线AB的距离d=,
所以S△AOB=,因为=5,所以
S△AOF=,所以S四边形OABC=24S△AOF=.
解决直线与圆锥曲线的综合问题的策略与方法
(1)策略是“直曲联立、根与系数的关系”.
(2)常用方法是“设而不求法”,即联立直线和圆锥曲线的方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解.
规律总结
注意:①涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形.
②直曲联立后得到一元二次方程,一定要考虑根的判别式Δ.
③在直曲联立时,设直线方程的两种常用方法有a.若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b,便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式能帮大忙”.b.若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a,可以减小运算量,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.
【对点训练3】　已知椭圆C:=1(a>b>0),a=2,且C的离心率为.
(1)求C的标准方程;
解:由题意得a=2,e=,即c=,则b2=a2-c2=2,所以C的标准方程为=1.
(2)若A(-3,0),直线l:x=ty+1(t>0)交椭圆C于E,F两点,且△AEF的面积为,求t的值.
解:设E(x1,y1),F(x2,y2),联立消去x,得(t2+2)y2+2ty-3=0,
则Δ=4t2+12(t2+2)=16t2+24>0,则y1+y2=-,y1y2=-,
可得|y1-y2|==,
如图,设直线l与x轴的交点为D(1,0),又A(-3,0),所以|AD|=1-(-3)=4,
故S△AEF=,解得t=.
高考真题 教材典题
(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是 (　 　) A.(1,1)　　　　B.(-1,2)　　　　 C.(1,3)　　　　D.(-1,-4) (人教A版选择性必修第一册P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
考教衔接
D
高考真题 教材典题
　(人教A版选择性必修第一册P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解析:结合选项可知,直线AB的斜率存在且不为零,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得两式作差,得,即(x1-x2)(x1+x2)=,化简得=9,即=9,因此kAB=9·.
高考真题 教材典题
(人教A版选择性必修第一册P135例4)斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图,由图易得选项中的四个点均在双曲线外.对于A,因为kAB=9×=9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意,故A错误;对于B,因为kAB=9×<-3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意,故B错误;对于C,kAB=9×=3,此时直线AB与渐近线y=3x平行,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意,故C错误;对于D,因为kAB=9×<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,符合题意,故D正确.故选D.
课时作业62
1.(5分)若双曲线E:=1与直线y=2x不相交,则m的取值范围是(　 　)
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.[1,2] D.[2,+∞)
解析:双曲线E:x,因为双曲线E:=1与直线y=2x不相交,所以≤2,解得m≥1,所以m的取值范围是[1,+∞).故选B.
基础巩固
B
2.(5分)若直线y=x+m与椭圆=1相切,则实数m的值为 (　 　)
A.±6 B.±
C.± D.±4
解析:联立 3x2+4mx+2m2-4=0,由题意可知Δ=16m2-12(2m2-4)=0 m=±.故选B.
B
3.(5分)(2025·内蒙古包头二模)直线l与双曲线-y2=1交于P,Q两点,线段PQ的中点为M(4,1),则直线l的方程为 (　 　)
A.y=x-3 B.y=-x-3
C.y=x+5 D.y=-x+5
A
解析:如图,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1≠x2,则
,即=(y1+y2)(y1-y2),所以,因为线段PQ的中点为M(4,1),所以x1+x2=8,y1+y2=2,所以=1,所以直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y-1=x-4,即y=x-3,经检验符合题意.故选A.
4.(5分)已知直线y=x+1与曲线mx2+ny2=0(m>0,n<0)交于A,B两点,若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为,则双曲线=1的离心率为(　 　)
A.
C.
D
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则m=0①,m=0②,由得线段AB的中点坐标为(2,3),所以=1.①-②可得m()+n()=0,则-,所以离心率e=.故选D.
5.(5分)(2026·辽宁辽阳一模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F的直线与C交于A,B两点,记点A到直线l的距离为d,且|AB|=pd.若点A的横坐标为2,则p= (　 　)
A.　　　 D.2
C
解析:如图,抛物线C的准线方程为x=-,由抛物线的定义可得|AF|=d=+2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=ty+,联立可得y2-2tpy-p2=0,则Δ=4t2p2+4p2>0,则y1y2=-p2,所以x1x2=2x2=,故x2=,所以|AB|=x1+x2+p=2+,整理可得3p2+8p-16=0,即(3p-4)(p+4)=0,因为p>0,所以p=.故选C.
6.(5分)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,设O为坐标原点,A为C上一点,若△AF1F2的面积为,则|OA|= (　 　)
A.
C.
A
解析:∵c2=a2-b2=4-3=1,∴F1(-1,0),F2(1,0),|F1F2|=2,设A(m,n),则,∴|n|=,∵=1,
∴m2=×4=1,∴|OA|=.故选A.
7.(6分,多选)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过F的直线l交x轴的负半轴于点M,交抛物线C于A,B两点,|AF|<|BF|,|BF|=|MF|,过B作抛物线C的切线交x轴于点N,则 (　 　)
A.p=2
B.直线l的斜率为
C.|AB|=9
D.△MBN的面积为3
ABD
解析:对于A,如图,由题意得=1,所以p=2,故A正确;对于B,设
M(-m,0)(m>0),由题意得M,B关于F对称,所以B(m,2),代入抛物线C的方程,得m2=4×2,所以m=2,所以直线l的斜率为,故B正确;对于C,直线l的方程为y=x+1,由因为|AF|<|BF|,所以A,
B(2,2),可得|AB|=,
故C错误;对于D,由y=x2,得y'=x,当x=2时,y'=,所以直线BN的方程为y=x-2,因此N(,0),所以△MBN的面积为,故D正确.故选ABD.
8.(6分,多选)已知双曲线C:=1(m>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,F1,F2分别是C的左、右焦点,A1,A2分别是C的左、右顶点,过点F2的直线l与C相交于P,Q两点,其中点P在第一象限内,记直线PA1的斜率为k1,直线PA2的斜率为k2,则 (　 　)
A.双曲线C的焦距为2
B.|PF1|-|PF2|=4
C.|PQ|>4
D.k1k2=
ABD
解析:对于A,双曲线C:=1(m>0)的渐近线方程为y=±x,又知一条渐近线方程为x-2y=0,所以,解得m=8,故c2=8+2=10,解得c=,故双曲线C的焦距为2,故A正确;对于B,由A知,a=,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,故B正确;对于C,F2(,0),当直线l与x轴垂直时,在=1中,令x=,得y=±,故|PQ|=,故C错误;对于D,A1(-2,0),A2(2,0),
如图,设P(t,n),则=1,即n2=-2,所以k1k2=,故D正确.故选ABD.
9.(5分)椭圆.
解析:设与直线x+2y-5=0平行且与椭圆相切的直线方程为x+2y+m=0(m≠
-5),联立方程消去x得3(2y+m)2+4y2=12,整理得16y2+12my+3m2-12=0,所以Δ=144m2-64(3m2-12)=0,解得m=±4,当m=-4时,两平行直线间的距离为,当m=4时,两平行直线间的距离为.
10.(5分)已知直线l交双曲线Γ:=1于点A,B,点C(0,4),若△ABC的重心恰好落在双曲线Γ的左焦点F处,则直线l的斜率为.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,因为C(0,4),F(-6,0),所以由重心坐标公式得=-6,=0,所以=-9,=-2,即弦AB的中点坐标为(-9,-2).因为A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以作差得4(x1+x2)·(x1-x2)=5(y1+y2)(y1-y2),所以直线l的斜率k=.
11.(18分)已知双曲线C:-y2=1(a>0)的焦距为2,且左、右顶点分别为A1,A2,过点T(4,0)的直线l与双曲线C的右支交于M,N两点.
(1)求双曲线C的方程;
解:因为双曲线C的焦距为2,所以2c=2,即c=,
又b=1,所以a2+1=5,解得a=2,
则双曲线C的方程为-y2=1.
(2)若直线MN的斜率为,求弦长|MN|.
解:如图,由题意得,直线MN的方程为y=(x-4),
联立消去y并整理得x2-12x+26=0,
此时Δ=(-12)2-4×26=40>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=12,x1x2=26, 所以|MN|==.
12.(19分)已知抛物线C:y=ax2的准线方程为y=-,直线y=x+m与C交于A,B两点.
(1)求抛物线C的标准方程;
解:抛物线C的标准方程为x2=y,
由抛物线C的准线方程为y=-,解得a=,故抛物线C的标准方程为x2=6y.
(2)若m=6,O为坐标原点,求证:OA⊥OB;
解:证明:将y=x+6代入x2=6y,得x2-6x-36=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-36,则y1y2==36,
所以=x1x2+y1y2=0,所以,即OA⊥OB.
(3)若F为C的焦点,且△ABF的周长为11+2,求m的值.
解:联立得y2-(2m+6)y+m2=0,
如图,则y1+y2=2m+6,y1y2=m2,Δ=24m+36>0,所以m>-,所以|FA|+|FB|=y1+=y1+y2+3=2m+9,又|AB|==2,
所以△ABF的周长为2m+9+2,
因为函数f(x)=2x+9+2为增函数,且f(1)=11+2,
所以方程2x+9+2的解为x=1,所以m=1.
13.(6分,多选)已知椭圆+y2=1,斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A,B两点,P为椭圆的左顶点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是(　 　)
A.若直线OM的斜率为k0,则k0·k=-1
B.若点M的坐标为,则直线l的方程为x+2y-2=0
C.若直线l的方程为y=x-,则|AB|=
D.若直线l过椭圆的右焦点,则|AB|的最小值为1
BC
素养提升
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).对于A,由题意可得k0=,k=,所以k0·k=,因为点A,B在椭圆上,所以k0·k=,故A错误;对于B,由A可得,由点斜式可得y-(x-1),化简可得直线l的方程为x+2y-2=0,故B正确;对于C,联立x+8=0,
Δ=(-8)2-4×5×8=32>0,则x1+x2=,x1x2=,由弦长公式可得|AB|=,故C正确;对于D,椭圆的右焦点为(,0),设直线l的方程为x=my+,联立消去x可得(m2+4)y2+2my-1=0,Δ=12m2+4(m2+4)=
16m2+16>0,y1+y2=-,y1y2=-,由弦长公式可得|AB|==,由函数的单调性可得,当m2=0,即m=0时取得最小值1,但此时斜率不存在,不符合题意,故D错误.故选BC.
14.(5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(3,0)的直线l与抛物线相交于A,B两点,直线l与抛物线的准线相交于点N,若|BF|=3,则△BNF与△ANF的
面积的比值为.
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B两点分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,∵|BF|=3,∴|BB1|=x2-(-1)=3,∴x2=2,不妨取点B(2,2),如图,又M(3,0),∴直线l的斜率k=-2,∴直线AB的方程为y=-2(x-3).
由得2x2-13x+18=0,解得x=2或x=,∴x1=,
∴|AA1|=-(-1)=,∵△B1BN∽△A1AN,
∴,∴.
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