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第23章《一次函数》复习题--一次函数与定点定值问题
一、选择题
1．已知函数，则此函数图像过定点（ ）
A． B． C． D．
2．在一次函数的研究过程中，甲、乙同学得到如下结论：甲认为当时，随的增大而增大；乙认为无论取何值，函数必定经过定点则下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
3.如图，一次函数与的图象，下列说法正确的有几个（ ）
①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．关于直线l： ，下列说法不正确的是（ ）
A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限
C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小
5．关于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．y的值随x值的增大而减小
B．图象过定点
C．函数图象经过第二、三、四象限
D．当时，
6.直线与直线（是常数，且）交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，小红利用人工智能设计了一个小游戏：计算机屏幕上会随机地出现一些图形，过定点沿直线向图形射去，如果某时刻屏幕上出现的图形为矩形，其中，，，那么为了击中矩形，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9.一次函数 图象过定点，定点坐标为_________．
10．（1）无论为何值，一次函数的图象必过一定点，此定点坐标为：______；
（2）函数的图象如图所示，若一次函数的图象和它有两个交点，则的取值范围是：______．
11．直线．无论k取除1外的任何数，都经过一个定点，定点坐标为____________．
12．已知一次函数（为常数，）
（1）（为常数，）的图像恒经过一个定点，这个定点坐标是______；
（2）平面直角坐标系中有三个点，，，若该直线将分成左右面积之比为的两部分，则的值为______．
13．已知一次函数，当系数k取不同的值时，会得到不同的直线，这些直线都经过一个定点C，此定点C的坐标为 __________；若坐标系中两点，，一次函数的图象与线段有交点，则k的取值范围是 ____________________．
14．无论 m 取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为____ ；线段 AB 的端点分别为 A（1，3），B（3，0），一次函数图像与线段 AB 相交，则m 的取值范围是____．
15．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______．
16．在平面直角坐标系中，线段的端点是，，直线．
（1）直线恒过一定点，该点的坐标为________．
（2）若直线与线段有交点，则k的取值范围为________．
三、解答题
17．已知一次函数．
（1）为何值时，函数图象经过点？
（2）若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围；
（3）直接写出一次函数的图象经过定点坐标．
18．已知一次函数，其系数满足；
（1）若该函数的图像经过点，请求出函数的表达式；
（2）已知这个函数图像经过一个定点，请求出这个定点的坐标．
19．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值．
（1）特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值；
（2）一般证明：
①时，直接写出______；，时，直接写出______；
②求出的值；
（3）类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
20．给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知平面内一定点，若对于一点，有点与点关于点对称，即为线段的中点，则称点为点关于点的完美对称点．例如：若已知定点，则对于点，有，因为点与点关于点对称，则可得关于的完美对称点．
（1）若定点，点，则关于点的完美对称点的坐标为______；
（2）在（）的条件下，若点，在直线上有一点使得，求点的坐标；
（3）已知定点，对任意的点关于定点的完美对称点为．
①的坐标为______，
②连接，若的最小值为，则的值为______．
参考答案
一、选择题
1．B
解：当时，，
∴函数图像过定点．
故选：B．
2．B
解：当，，即y随x的增大而减小，故甲的说法错误；
在中，当时，，
即无论k取何值，函数必定经过定点，故乙的说法正确．
故选：B．
3．D
解：由图象可知：，故①正确；
由可知的图象，随自变量的增大而减少，故②正确；
∵，
∴当，即时，，
∴不论为何值，一次函数的图象总过定点，故③正确；
∵一次函数与的图象交于，
∴方程组的解是，故④正确；
综上，正确的有4个．
4．B
解：A、当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意；
B、当时，经过第一、二、三象限，故B不正确，符合题意；
C、当时，，即经过定点，故C正确，不符合题意；
D、当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意．
故选：B．
5．D
解：A、∵，
∴，
∴，
∴y随x的增大而减小；
故A正确，不符合题意；
B、当时，，
∴该一次函数图象过定点，
故B正确，不符合题意；
C、∵，，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，
故C正确，不符合题意；
D、∵当时，，y随x的增大而减小，
∴当时，，
故D不正确，符合题意；
故选：D．
6．C
解：直线与直线（是常数，且）交于点，
解析式联立解得，，
解得，
，
，，
，
点在直线上，
点到直线的距离总是一个定值，
直线与直线平行，
，
．
故选：C．
7．B
解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图：

，，
，此时周长最小为，
由得，，
， AOB是等腰直角三角形，
、关于对称，
，
，
设，则
在中，
即
解得：（负值舍去）
即
故选：B．
8．D
解：∵四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴轴，，
∴点，
当直线过点时，，
解得：；
当直线过点时，，
解得：；
∴k的取值范围是．
二、填空题
9．（1, 0）
解：由 ，得 ，
当 时，，
故函数图象恒过定点 ．
故答案为：．
10．
解：由题意可知，
当时，一次函数的图象必过一定点，
故答案为：；
如图所示，当时，直线过二、三、四象限，此时直线的图象与函数图象的交点不多于个，
时，一次函数的图象和它有两个交点，
直线的图象不能与函数的图象平行，
，
．
故答案为：．
11．
解：将两边同乘以得：，
整理得：，
令，解得： ，
∴直线必经过定点 ．
故答案为：．
12． 3
解：（1）∵，
∴当时，，
∴直线恒过点；
（2）设直线与轴交于点，如下图，
∵直线将 ABC分成左右面积之比为的两部分，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
可得，解得．
故答案为：（1）；（2）3．
13． 且
解：，
当，
∴无论k取何值，该函数的图象总经过定点C的坐标为；
把代入得，解得，
把代入得，解得，
∵的图象总经过定点C的坐标为，
∴一次函数的图象与线段有交点时，k的取值范围为且．
故答案为：；且．
14．
解：将代入得：，
∴此定点坐标为；
把A（1，3）代入得：，解得：，
把B（3，0）代入得：，解得：，
∴m 的取值范围是．
15．
解：函数可化为，
∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点，
∴，
解得，
∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点．
故答案为：．
16． 或
解：（1）直线方程可化为，
当时，，与无关，
故恒过定点；
（2）如下图，设直线恒过定点，
由（1）可知，，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析为，
结合一次函数的图像与性质，可知若直线与线段有交点，则k的取值范围为或．
故答案为：（1）；（2）或．
三、解答题
17．（1）解：将点代入一次函数，
可得，
解得，
∴当时，函数图象经过点；
（2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小，
则有，
解得，
∴的取值范围为；
（3）解：，
当时，，
∴一次函数的图象经过定点．
18．（1）解：将点代入函数中，且，可得：
，
解得，
函数表达式为：
（2）解：由，可得：，并代入函数表达式得：
则当时，，所以定点为
19．（1）解：直线分别交轴和轴于点和，则点、的坐标分别为：、，
则，，
则；
（2）解：①将点的坐标代入一次函数表达式得：，
则点、的坐标分别为：，、，
当时，即，则，
则，，则；
当，时，同理可得：，
故答案为：，1；
②由①知，，，，
则；
（3）解：由点、的坐标得，直线的表达式为：，设直线的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，则点，，
由点、的坐标得，，则，
由直线的表达式知，点，，则，
，即，
解得：，
则，
当时，，
即直线过定点．
20．（1）解：∵点，点，
∴，即，
设，
∵是线段中点，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：设直线的函数解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
设，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，解得；
当时，解得；
∴或；
（3）解：①∵点，点，
∴，
设，
∵点是线段中点，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
②设，
∵点是线段中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴点P在直线上，
∵，
∴点T在直线上，
∴这两条直线平行，
∴平行线间的距离即为的最小值，设直线与x轴交于点D，与y轴交于点A，设直线与与y轴交于点B，过点B作于点C，如图，
对于，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴ ABC是等腰直角三角形，
∵的最小值为，
∴，
∴，
∵对于，当时，，
∴或，
解得：或，
故答案为：2或．

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