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第23章《一次函数》复习题——一次函数与最值综合
一、选择题
1．已知一次函数，当时，的最大值是（ ）
A．2 B．7 C． D．
2．一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．6 D．0或3
4．已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，则周长的最小值是（　　）
A．5 B．8 C．9 D．
6．如图，已知点，，点在直线上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
8．已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或或1
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，且，则y的最大值为_____．
12．已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为_______．
13．已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______．
14．已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____．
15．如图，在边长为12的等边 ABC中，点在边上，且，长度为2的线段在边上运动，则四边形面积的最大值为________．
16．对于三个一次函数，，，若无论x取何值，y总取，，中的最大值，则y的最小值为________________．
17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值_________．
18．新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即．
（1）当时，________；
（2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________．
三、解答题
19．已知关于x的函数是一次函数．
（1）求m的值；
（2）在该一次函数中，当时，求y的最大值．
20．如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
21．某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件．
（1）写出与之间的函数表达式；
（2）若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案．
22．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，．
（1）求点C坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）若一次函数与 ABC的边有交点，求b可取的最大值和最小值．
23．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值．
24．已知，如图1，点在一次函数：的图象上，该一次函数图象与x轴相交于点A．
（1）请求出一次函数表达式；
（2）过点P作直线轴，将点P左侧的函数图象沿着直线向上翻折，与x轴相交于点B，右侧图象不变，得到如图2的“”型函数图象，请求出的面积；
（3）将（2）中得到的函数图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵，
∴当时，一次函数在有最大值，
即，
故选：C．
2．A
解：∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∵，函数的最大值为，
∴当时，取得最大值，
将代入函数得
，
整理得，
解得．
3．D
解：当，即时，函数y随x的增大而增大，
∴当时，y有最大值为3，
即，
解得；
当，即时，函数y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值为3，
即，
解得；
所以k的值为0或3．
故选：D．
4．D
解：①时，y随x的增大而增大，
则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得，
解得；
②时，y随x的增大而减小，
则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得，
解得，
所以或，
故选：D．
5．C
解：连接，
将代入得，，
所以点B的坐标为．
将代入得，，
解得，
所以点A的坐标为，
则．
因为点C，D分别为线段的中点，
所以是的中位线，
所以，，则．
因为，
所以当取得最小值时，最小．
作点D关于x轴的对称点E，连接，则当点P在与x轴的交点处时，取得最小值．
因为点D的坐标为，
所以点E的坐标为，
则．
在中，，
即的最小值为5，则此时，
所以周长的最小值是9．
故选：C．
6．C
解：直线在第一象限的图形与横轴正方向的夹角为，与纵轴正方向的夹角为，
∴点关于直线的对称点，在轴正方向上，如图所示，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故选：C ．
7．A
解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论：
①当时：
函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处．
代入得：．
由最大值为，得，解得．
②当时：
函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处．
代入得：．
由最大值为，得，解得，但不满足，舍去．
③当时：
函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去．
综上所述，．
故选：A．
8．C
解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，
由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值，
∴的最小值是和交点的纵坐标值，
联立直线和解析式得：，
∴，
解得：，
∴，
∴的最小值是．
故选：C．
9．A
解：∵函数，当时，函数有最大值为，
∴当时，，此时时，取得最大值，即，得（不合题意，舍去）；
当时，时，取得最大值，此时，得（不合题意，舍去）；
当时，，此时时，取得最大值，即，得；
由上可得，的值为1，
故选：A．
10．D
解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
∴，，
∴，，
∴，
如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，

∴，
∴，
又∵，
∴AB/=AB=2，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，
此时，是等边三角形，
∵，
∴
∴，
∴有最小值为，
∴的最小值为，
故选：D．
二、填空题
11．5
解：函数的，
故y随x的增大而减小，
因为，
所以当时，y取得最大值，
y的最大值．
故答案为：5．
12．1或
解：当时，函数为增函数，最大值在处，
代入得，
即，
解得；
当时，函数为减函数，最大值在处，
代入得，
即，
解得．
故答案为：1或．
13．1或
解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大，
当时，的最大值是，
，
此时，即
当时，一次函数有最小值，最小值为；
当时，一次函数中，y随x的增大而减小，
当时，的最大值是，
，
此时，即
当时，一次函数有最小值，最小值为；
综上所述，的最小值是1或；
故答案为：1或．
14．（
随着的增大而减小，
在（为任意实数）时，
当时，有最大值，
当时，有最小值，
，
解得：，
函数表达式为．
故答案为：．
15．
解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F，
∵ ABC为等边三角形，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
设，则
∴四边形的面积
∵，
∴四边形的面积随x的增大而增大，
根据题意得，当点Q运动到点C时，取得最大值，此时
∴此时四边形的面积最大，最大值．
16．
解：解方程组：
得：
此时 ，
故此时的值为 ﹒
当 时， 最大且 随增大而减小；
当 时， 最大且 随增大而增大，
因此 的最小值为﹒
故答案为：﹒
17．4
解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．
，，
直线的解析式为：．
联立解得
．
，
．
．
当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4．
故答案为：4．
18． 3
解：（1）解：当时，，，因为，所以，
（2）解：联立，解得，
即两直线交点为．
当 时，，故；
当时，，故；
当时，；
直线整理为，可知其过定点．
① 联立，得，
当时，，要求，
解不等式，
解得或．
② 联立，得，
当时，，
要求，解不等式，通分变形得，
解得．
要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得．
即k的取值范围是．
三、解答题
19．（1）函数是一次函数，
，解得，
，
；
（2）将代入得一次函数解析式为，
∴随的增大而增大，
∴当时，当时，y有最大值，最大值为．
20．（1）解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
21．（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得：，且，为整数；
（2）解：由题意得：，
解得：，
∵中，
∴随的增大而增大，
∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元），
∴（件），
∴生产A产品60件，B产品20件，获利总额最大，最大总额为元．
22．（1）解：如图，过点作轴于点，
，，
，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ABC是等腰直角三角形，
∴，
在 AOB和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：设直线的函数表达式为，
将点和点代入得，
解得，
所以直线的函数表达式为；
（3）解：当一次函数与点相交时，
，
解得，
当一次函数与点相交时，
，
解得，
所以可取的最大值为36，最小值为6．
23．（1）解：当时，，
∴点C的坐标为．
将点，代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：存在．
当时，，解得，
∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得；
（3）解：由题意得图象的解析式为，
当时，，
当时，；当时，，
∴；
当时，，
当时，；当时，，
∴；
综上，当，图象所表示的函数的最大值为4，最小值为1．
24．（1）解：点在一次函数：的图象上，
，
解得，
则一次函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作，交轴于点，则，
根据折叠可得，
，
直线轴，
，
，
，
，
，
令，解得，
，
，
，
的面积为；
（3）解：由（2）得，
设“”型函数图象的左边部分为，
把，代入可得
，
解得，
所以“”型函数图象的左边部分为，
即“”型函数图象的表达式为，
函数图像向右平移n个单位长度后表达式为，
当图象对应的函数最大值与最小值都在“”型函数图象的右边时，
可得，不可能等于，不符合题意，
同理图象对应的函数最大值与最小值都在“”型函数图象的左边时，不符合题意，
∴图象对应的函数最小值为，
①当图象对应的函数在“”型函数图象左边部分取到最大值，即时，
可得，
解得；
②当图象对应的函数在“”型函数图象右边部分取到最大值时，即时，
可得，
解得；
综上，或．

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