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2026年崇左市宁明县初中学业水平模拟考试
数学科
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。
3．不能使用计算器。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分）
1．深圳铁岗水库的正常水位为28.7米，水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米应记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
5．将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．3 D．
8．有10个人去排队买电影票，已知电影票5元钱一张，这10个人中有5人拿了5元纸币，5人拿了10元纸币，且售票员开始手中没有钱，问能使得售票员能顺利找开钱的不同方法数是（ ）（每个人看成相同的，如果第一个拿了10元纸币，那么就找不开钱了）（ ）
A．12 B．28 C．36 D．42
9．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（ ）
A． B．2 C． D．4
11．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
12．如图，已知等边边长为，点D、E分别为边、上的两动点，且，连接、交于点H，过点B、A分别作、的垂线，垂足分别为G、F，连接，则的长是（ ）
A． B． C． D．1
填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）
13．若，则_____________．
14．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P．若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线的函数解析式为______．
16．如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______．
解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。
17．（8分）计算：
(1)； (2)解方程组：．
（3）．化简求值：，其中．
18．（10分）某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．
(1)为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
19．（10分）【知识回顾】
如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”．
【方法迁移】
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？
小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点……
(1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由．
【理解内化】
(2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________．
20．（10分）如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
21．（10分）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求半径的长．
22．（12分）某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息：
信息1 蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满；
信息2 超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表：
型号 甲 乙
单个容量（千克） 2 3
单价（元） 13 18
超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元．
(1)当时，的值为________；
(2)求关于的函数关系式；
(3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案．
23．（12分）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上．
【理解与运用】
(1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______；
【思考与探究】
(2)设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值；
②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标．2026年崇左市宁明县初中学业水平模拟考试
数学科（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C A D B B B A
题号 11 12
答案 B A
13．15
14．
解：由题意可得，，
∵，
∴，
∴．
15．
解：由图可知，右边两个圆关于点P中心对称，
过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和；
若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心，
由题意知，点P的坐标为，左边圆的圆心坐标为，
设该直线的函数解析式为，
将和代入，得：，
解得，
该直线的函数解析式为．
16．
解：，
，，
，
是直角三角形，且，
设旋转后点落在上的点为，如图，
由旋转的性质可知，与关于点中心对称，
∴点与点关于点对称，
为线段的中点，
，
要使最小，则需最小，
∵点在边上 ，
∴当 时，的值最小，此时，
即，
解得 ，
的最小值为．
17．(1)
(2)
（1）解：原式
；
（2）解：
由得，解得，
将代入①得 ，
故方程组的解为：．
（3）．，
解：
当时，
原式；
18．(1)该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条
(2)还需投入1175万元资金更新生产线的设备
（1）解：设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线．
，
解得，
答：该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条．
（2）解：设更新1条乙类生产线的设备需投入万元，则更新1条甲类生产线的设备需投入万元．
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意
，
答：还需投入1175万元资金更新生产线的设备．
19．(1)；，理由见解析
(2)
（1）解：，．
证明：连接并延长，交的延长线于点G，
∵，
∴，，
∵就是梯形的中位线，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，，即，
∵
∴．
（2）解：梯形的面积为，高为，
∴
∴
则梯形的中位线．
20．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)3
（1）解：，，
．
（2）解：如图，连接，
．
，
，
．
与相切于点，
，
，
．
，
，
半径的长为3．
22．(1)
(2)
(3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元
（1）解：由题意可知，，当时，；
（2）解：由（1）可知，，为3的倍数，
当时，
，
当时，
综上， ；
（3）解：当时，，随的增大而增大，
∴当时，；
当时，，随的增大而减小，
∴当时，．
综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元．
23．(1)，
(2)①，；②或
（1）解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点和 在抛物线上，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：①∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得，，
∴，；
②由①得，函数的图象为抛物线，
令，即，
解得或，
∴，，
把代入，得，
∴，
当时，，
解得或，
∵轴，
∴，
设，
如图，过点作于点，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴ 或，
解得或，
∴或．

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