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广东省2026年初中学业水平考试数学押题卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（30分，每小题3分）
1．2026 的相反数是(　　)
A．- 2026 B．2026 C．2026 D．
2． 下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
3．我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为10900米，用科学记数法表示10900正确的是（　　）
A． B． C． D．
4． 下列运算正确的是（ )
A． B．
C． D．
5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（　　）
A． B．1 C．3 D．4
7．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升6πcm时滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 (　　)
A．36° B．54° C．72° D．108°
8．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　)
A．m<1 B．m>1 C．m>-1 D．m<-1
9．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（　　）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
10． 图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题. 二次函数与其图象，由图象可以看出函数的开口方向、对称轴以及 y随 x的变化规律，也可以看出 x取某个值时，y的取值情况. 已知二次函数 的图象如图所示，有以下结论： ①ab>0； ②a-b>0； ③a+b+1<0； ④9a-3b+1>0. 其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共15分。
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点 P 的坐标　 　.
13．计算 的结果是　 　.
14．算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用.图(1)中算盘表示的数为 35，图(2)中算盘表示的数为 209，则图(3)中算盘表示的数为　 　.
15． 如图， 在 Rt△ABC中， CD平分∠ACB，E为 DC延长线上一点， 且∠EAC=∠BEC， 那么 的值为　 　.
三、解答题（共8小题，满分75分)
16．（7分）计算：
17．（7分）已知 ，求代数式 的值。
18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD>AB.
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF：(保留作图痕迹，不写作法)
（2） 求证： 四边形ABEF 是菱形.
19．（9分） 2022 年 11月 21 日，卡塔尔足球世界杯正式开赛，本届世界杯口号是“此刻即所有(NowisAll)”. 某校为了了解学生对各类体育运动的喜爱程度，随机抽取部分学生进行问卷调查(每个被调查学生只能选择其中一种项目)，对调查结果统计后，绘制了如下统计图：
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）此次调查抽取的学生人数为　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从每一项运动中选择一位学生，并在他们中任意抽取两人进行体能测试，请用画树状图或列表的方法求正好抽到两人是喜爱“足球”和“乒乓球”运动的概率.
20．（9分）阅读与思考
【概念理解】
我们将实数a“四舍五入”到个位的值记为[a]，其规则定义如下：当n为整数时，若n-0.5≤a【问题解决】
（1）计算：
（2）若[x-3]=2，求x的取值范围；
（3）若关于x的分式方程有正整数解，求关于y的方程的解.
21．（9分）【综合与实践】某校综合与实践活动中，某学生小组对两款售价相同的汽车展开了调研，调研结果如表所示：
燃油车 新能源汽车
油箱容积：50升 电池容量：50千瓦时
油价：8元/升 充电电价：1. 2元/千瓦时
行驶里程：a千米 行驶里程： （a-200) 千米
每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用：____元
（1）新能源车的每千米行驶费用是　 　元；（用含 a的代数式表示)
（2）根据调研数据了解，新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的 请求出 a以及这两款车的每千米行驶费用；
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为 4500元和 8100元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低 （年费用=年行驶费用+年其它费用)
22．（13分）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为，锅深为，锅盖高为．
（1）【建立模型】
请求出抛物线的解析式；
（2）求出圆弧所在圆的半径；
（3）【应用模型】
将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【解析】【解答】解： 2026 的相反数是-2026
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义可直接得出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A：图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：图案是轴对称图形，有是中心对称图形，所以B符合题意；
C：图案既不是轴对称，也不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：图案不是轴对称，是中心对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：科学记数法表示10900为1.09×104．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示方法为：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a与n的值即可．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＝50°，∠ABC＝90°，∠1＋∠ABC＋∠3＝180°，
∴∠3＝180° 90° 50°＝40°，
要使a∥b，则∠2＝∠3，
即∠2＝40°，a∥b，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理即可求解．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
∴，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象位于第一、三象限．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为n°，重物上升6πcm即点A旋转的弧线长度为6πcm，
∴，
解得：n=108°。
故答案为：D.
【分析】根据题意可得出重物上升6πcm即点A旋转的弧线长度为6πcm，然后根据弧长计算公式可得出答案。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴
解得：m<1
故答案为：A
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故答案为：B.
【分析】连接OC、OD，先利用切线的性质可得，再利用角的运算求出，最后利用弧长公式求出的长即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：根据抛物线的开口向下，可得出a＜0，
根据对称轴x=-1，可得出，即b=2a，即a，b同号，所以ab＞0，即①正确；
根据当x=-1时，图象有最高点，得出当x=-1时，y的值＞1，可得出a-b+1＞1，所以a-b＞0.即②正确；
由图象可知当x=1时，y＜0，所以a+b+1＜0，即③正确；
由图象可知当x=-3时，y＜0，可得出 9a-3b+1＜0，所以④不正确，
所以所有正确结论的序号是①②③。
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴及图像上的点的特征，逐项进行推理，即可得出答案。
11．【答案】x≥3
【解析】【解答】因为二次根式的被开方数大于或等于0，所以 ，所以 ，故答案为： .
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，建立不等式求解即可。
12．【答案】(-5，2)(答案不唯一)
【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5
∴点P的坐标可以为(-5，2)
故答案为：(-5，2)
【分析】根据点的坐标即可求出答案.
13．【答案】1
【解析】【解答】解：=
故答案为：1.
【分析】根据同分母分式的加法进行计算，即可得出结果。
14．【答案】50506
【解析】【解答】解：根据图（1）和图（2）可得出横档下边的一个珠子表示1个单位，横档上边的一个珠子表示5个单位，
∴ 图(3)中算盘表示的数为 ：50506.
故答案为：50506.
【分析】根据图（1）和图（2）可得出横档下边的一个珠子表示1个单位，横档上边的一个珠子表示5个单位，即可得出图(3)中算盘表示的数。
15．【答案】
【解析】【解答】解：过点E作EF∥BC交AB的延长线于点F，延长AC交EF于点F
在Rt△ABC中，
设BC=k，则AC=2k
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB
∴
∴180°-∠ACD=180°-∠BCD，即∠ACE=∠BCE
∵∠EAC=∠BEC
∴△ACE∽△ECB
∴
∴
∴
∵AC⊥BC，EF∥BC
∴AH⊥EF
∴∠AHE=90°
∵EF∥BC
∴∠CEH=∠BCD=45°
∴∠ECH=∠CEH=45°
∴EH=CH
在Rt△CGE中，
∴
∴EH=CH=k
∴AH=AC+CH=3k
∵，即
∴
∴
∵EF∥BC
∴△DCB∽△DEF
∴
故答案为：
【分析】过点E作EF∥BC交AB的延长线于点F，延长AC交EF于点F，根据正切定义可得，设BC=k，则AC=2k，根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得∠ACE=∠BCE，根据相似三角形判定定理可得△ACE∽△ECB，则，代值计算可得CE，根据直线平行性质可得AH⊥EF，∠CEH=∠BCD=45°，根据等角对等边可得EH=CH，再根据勾股定理建立方程，解方程可得EH，根据边之间的关系可得AH，根据正切定义可得HF，根据边之间的关系可得EF，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
16．【答案】解：
【解析】【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】解：∵ ，∴ 。
∴
【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将 整体代入求值。
18．【答案】（1）解：如图，射线AE，线段AF即为所求.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AF=AB，
∴AF=AE.
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形.
【解析】【分析】（1）根据平分已知角的尺规作图，作出射线AE交BC于点E，再在AD上截取AF=AB即可；
（2）首先根据一组对边平行且相等可证得四边形ABEF是平行四边形，进而根据AB=AF即可得出四边形ABEF是菱形.
19．【答案】（1）100
（2）解：参加乒乓球的人数为：100-（10+40+20）=30（人）
补全条形统计图如下：
（3）解：设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，
画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，所以概率为：。
【解析】【解答】解：（1） 此次调查抽取的学生人数为 ：20÷20%=100（人）
故答案为：100；
【分析】（1）根据羽毛球人数除以羽毛球占抽取学生人数的百分比，即可得出答案；
（2）从总人数里边减去其他各组的的人数，即可得出参加乒乓球的人数，并补全条形统计图即可；
（3）设足球、篮球、羽毛球和乒乓球运动分别记为A、B、C、D，然后化树状图进行分析，得出共有12种等可能结果，其中抽到两人是喜爱"足球”和“乒乓球”运动的结果有2种，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
20．【答案】（1）
（2）∵[x-3]=2，
∴2-0.5≤x-3<2+0.5.
∴4.5≤x<5.5.
（3）解关于x的分式方程得
∵该分式方程有正整数解，
∴[m]=0，即-0.5≤m<0.5.
∴-0.5-1≤m-1<0.5-1，即-1.5≤m-1<-0.5.
∴[m-1]=-1.
可化为
又[y]-0.5≤y<[y]+0.5，
解得-5<[y]≤-1，即[y]=-4或-3或-2或-1.
当[y]=-4时，当[y]=-3时，y=-3；
当[y]=-2时，当[y]=-1时，
综上所述，或-3或或
【解析】【分析】（1）根据新定义，仿照示例可得到结果；
（2）由[x 3]＝2，根据新定义，可得4.5≤x＜5.5即可；
（3）由题意，易得到[m]＝0，化简原方程，可得[y] 1＝y，根据新定义，可得方程的解．
21．【答案】（1）
（2）解：由题意可得：
解得：a=500
∴燃油车的每千米行驶费用为 元
新能源车的每千米行驶费用为元
（3）解：设每年行驶里程为x千米
由题意可得：0.2x+8100<0.8x+4500
解得：x>6000
∴每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低.
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
新能源车的每千米行驶费用是
故答案为：
【分析】（1）根据题意建立代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设每年行驶里程为x千米，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，求出，再利用勾股定理可得，将数据代入可得，最后求出r的值即可；
（3）设交于点，连接，先求出点H的坐标，再将x=4代入解析式求出，可得点E的坐标，再求出EH的长，最后比较大小即可.
23．【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．

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