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专题：二次函数-2026年中考数学专项
一、选择题
1．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式为 则下列说法中，错误的是(　　)
A．小球运动时间为1s时的高度是25m
B．小球运动时间为2s时的高度和4s时的高度相等
C．小球离地面的最大高度是45m
D．小球从射出到落地需要8s
2．当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　）
A．y=-3x B．
C．y=3x+1 D．y=-（x-1）2-3
3． 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非. ”请运用这句话中提到的数学思想并结合已画的部分图象判断方程 根的情况是（　　)
A．有三个实数根，两个正根一个负根
B．有两个实数根，一个正根一个负根
C．有三个实数根，一个正根两个负根
D．有两个实数根，并且两个都是负根
4．已知抛物线 (k为常数) ，点 P(m， s) ， Q(m+2， s) ， N(2， t)在抛物线上，且满足sA．m>2 B．m<2 C．m>-2 D．m<-2
5．将二次函数 的图象在 x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到 x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是(　　)
A．图象与 y轴的交点坐标是(0，-3)
B．当 x=1时，函数取得最大值
C．图象与 x轴两个交点之间的距离为 4
D．当 x>1时，y的值随 x值的增大而增大
6．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数-1“仰顶函数”。若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　）
A．n<-2 B．n≤-2 C．n>2 D．n≥2
7．扇形OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，点C在弧AB上，CD⊥AO，垂足为点D，则△OCD面积的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．
8． 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度 h（m)与水平距离 x（m)之间的关系大致为抛物线 则小强本次投掷实心球的成绩为（　　)
A．8m B．9m C．10m D．3m
9．正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论：
①当时，的面积为；
②在运动过程中，的面积随值的增大而增大；
③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a-3b+c=0；④a-b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac-b2＜0.其中错误的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11． 将抛物线 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为　 　.
12．已知 是抛物线 上的两点，则y1，y2的大小关系为：　 　(填“>”“<”或“=”)
13．一个球从地面上竖直向上弹起的高度h米与经过的时间t秒的关系式为 当球的高度第一次达到3.75米时，经过的时间t为　 　秒．
14．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 则y的最小值为　 　.
15．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，则点B到CD的距离为　 　m.
16．已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数 如图所示 ，当直线 与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　
三、解答题
17．二次函数经过（1，1），（-1，5）两点.
（1）求该二次函数解析式；
（2）当2≤y≤4时，求x的取值范围；
（3）点P（p，n），Q（q，n+1）的坐标均在第（2）小题的取值范围内，且q>p，求q-p的取值范围.
18．为了共建安全有序的城市交通环境，深圳市全面推行骑行电动车佩戴安全头盔的管理规定。某商店准备进购甲、乙两种型号的头盔，已知一个甲种头盔进价比一个乙种头盔贵15元，用180元购进甲种头盔的数量与用120元购进乙种头盔的数量相同。
（1）求甲、乙两种型号头盔的进货单价；
（2）调查发现：某商家甲种头盔售价为60元/个，若每降价1元，销量可增加10个。设甲种头盔降价t元，销售量为（100+10t）个，甲种头盔总利润为y元。
①则y与t的函数关系式为 ▲ ；
②当降价多少元时，甲种头盔总利润最大 最大利润是多少
19．如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线AC，BD可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径AB=8cm，杯底直径（CD=4cm，且以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系xOy（如图2），此时点D与x轴的距离为2cm，杯底杯壁厚度忽略不计.
（1）求抛物线解析式；
（2）当倒满水时，求水的深度（AB与CD之间的距离）.
20．某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为，锅深为，锅盖高为．
（1）【建立模型】
请求出抛物线的解析式；
（2）求出圆弧所在圆的半径；
（3）【应用模型】
将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
21．已知：抛物线y=-（x+k）（x-7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB=OC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG=3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC=45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】y= (x-2)2+4
12．【答案】>
13．【答案】0.5
14．【答案】1
15．【答案】1.8
16．【答案】-2＜m＜-6
17．【答案】（1）解：将(1，1)，(-1，5)代入解析式得
解得
∴函数解析式为
（2）当y=2时，x=0或2
当y=4时，或
由图象可知：或
（3）当y=3时，或
当b>a>2时，
即
当b>2>0>a时，
即
或
18．【答案】（1）解：设乙种头盔进价单价为x元/个，则甲种头盔的进货单价是（x+15）元/个
由题意可得：
解得x=30，经检验x=30是原方程的解
∴甲种头盔进货单价为30+15=45元/个，乙种头盔进货单价为30元/个。
答：甲种头盔进货单价为30+15=45元/个，乙种头盔进货单价为30元/个。
（2）①
②
∵a<0，∴当时，元
答：当降价元时，甲种头盔总利润最大是元。
19．【答案】（1）解：依题意，，设抛物线的解析式为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：依题意，的横坐标为
当时，
又∵点与轴的距离为，
∴之间的距离为．
∴当倒满水时，水的深度为．
20．【答案】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
21．【答案】（1）解：当y=0时，-（x+k）（x-7）=0，
解得：x=-k或7，
∴点B的坐标为（7，0），A（-k，0），
∵OB=OC，
∴OC=OB=7，
∴点C的坐标为（0，7），
将点C的坐标代入抛物线表达式得：-（0+k）（0-7）=7，
解得：k=2，
∴y=-（x+2）（x-7）=-x2+x+7，
故抛物线的表达式为y=-x2+x+7
（2）解：过点P作PK⊥AB与点K，PE⊥y轴于点E，如图1，
∵y=-（x+2）（x-7），
∴P（m，-（m+2）（m-7）），A（-2，0），
∴AK=m+2，
，
∴，
∴CD=7-（7-m）=m，
∴d=m.

（3）解：过点C作WC⊥ED使得WD=PD，TL⊥AB，连接WD，WP，
设EC=k，则PG=3k，
∵∠WCD=∠DEP，CD=EP，WD=PD，
∴△WCD≌△DEP，
则△PWD为等腰直角三角形，
∴∠WPD=45°=∠CFD，
∴WP∥CG，
∴四边形CGPW为平行四边形，
∴CW=PG=3k=ED，
∴CD=2k=PE，
∴tan∠APE==，
由（2）可得tan∠PAB=
∴
∴m=4，k=2，
∴EO=7+2=9，EG=10，
∴G（10，9），A（-2，0），
∴，
再设T坐标为
则，
∴，
∴
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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