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专题：反比例函数（基础+提升）-2026年中考数学专项冲刺
一、选择题
1．（2026·兴宁模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数图象上.若直线BC交y轴负半轴于点G，且tan∠OGB=2，则直线BC的函数表达式为（　　）
A．y=2x-4 B． C． D．
2．（2026九上·温岭期末）如图，点，点都在反比例函数的图象上．将的图象绕点O逆时针旋转45°，点A，点B的对应点的纵坐标分别为a，b，则下列判断正确的是（　　）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
3．（2025·凉州模拟）如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·拱墅模拟）反比例函数的图象上有，，三点，（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2025·江安模拟）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·荔湾模拟）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为8，则k的值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2025九下·茂南月考）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·港北月考）如图，已知点在反比例函数的图象上，点B、D在反比例函数的图象上，轴，AB、CD在x轴的两侧，与CD的距离为5，则的值是（　　）
A．25 B．8 C．6 D．30
9．（2024九上·桥西月考）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
10．（2026·浙江模拟）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为　 　．
11．（2026·南山模拟） 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p （Pa)是气球体积 的反比例函数. 当 时，p=20000Pa. 则当 时， p=　 　 Pa.
12．（2026九下·东莞模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是　 　．
13．（2026·福田模拟）如图，已知函数y=2x与反比例函数 图象交于点A，将y=2x的图象向下平移6个单位后与双曲线 交于点B，与x轴交于点C，若 则 k=　 　
14．（2026·营山一模）如图，经过坐标原点的直线与双曲线分别在第一象限和第三象限相交于点A、B，轴，于点．若，点的横坐标为，则的值为　 　．
15．（2025九上·竞赛）如图，曲线AB是二次函数图像的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线。若点P(2024，m)和Q(x，n)是波浪线上的点，则的最大值为　 　.
16．（2026九上·增城期末） 如图，点A在双曲线上，点B在直线l：上，点A与点B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：
①②当时，
③④
则所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题
17．（2026·衡阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3）和点B（3，-1）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是第四象限内双曲线上的点（不与点B重合），连接OP，过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C，连接OC.若△POC的面积为，求点P的坐标.
18．（2026·平武一模）在平面直角坐标系中，我们约定：
①不重合的两点P（a，b）与Q（-b，-a）为一对对换点；
②若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．
根据约定，解答下列问题：
（1）反比例函数是对换函数吗？如果是，直接写出该函数图象上的一对对换点坐标；如果不是，说明理由．
（2）若关于x的一次函数y=kx+5是对换函数，则k的值是多少？
（3）对换函数中的实数m取满足条件的最小正整数时，求函数图象上的一对对换点坐标．
19．（2026九上·长沙期末）定义：在平面直角坐标系中，如果点P(x，y)满足x+y=k(k是常数)，我们称点P为“k级和值点”. 例如： P (-3， 5) 满足-3+5=2， 则称P (-3， 5)为“2级和值点”.
（1）请判断下列说法是否正确(在相应的横线处，正确的打“ ”，错误的打“×”)；
①函数y=x的图象上存在“1级和值点”；　 　
②函数 的图像上存在两个“1级和值点”；　 　
③函数 的图像上有且只有一个“1级和值点”.　 　
（2）关于x的二次函数 (m，n是常数)与反比例函数 的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数 的图象与坐标轴只有2个交点，求m的值；
（3）已知关于x的二次函数 (a，b，c是常数且a≠0)的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若a-b+c=0， (3a-2b+c)(2a-b+2c)>0，求线段MN的取值范围.
20．（2026九上·龙华月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）观察图象直接写出时x的取值范围是　 　；
（4）直接写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标　 　．
21．（2026·南宁模拟）综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型．
【解决问题】
（1）写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
（2）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；
（3）研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
22．（2025·珠海模拟）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”．
例如：如图1，已知，矩形，轴，点B在上，点C在上，则矩形为的美好矩形．
（1）如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积；
（2）如图3，点A的坐标为，点B是函数图象上一点，且横坐标为m，若函数图象在A、B之间的图形的美好矩形面积为9，求m的值；
（3）对于实数a，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形，请直接写出b的值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】29
11．【答案】16000
12．【答案】15
13．【答案】8
14．【答案】5
15．【答案】
16．【答案】②③
17．【答案】（1）解：由条件可得：，，
解得：k=-3，a=-1，
∴A(-1，3)，反比例函数的解析式为
把A(-1，3)，B(3，-1)代入y=mx+n得，
解得
∴一次函数的解析式为y=-x+2
（2）解：如图，设
由条件可知C(m，-m+2)，
当点C1在点P1上方时，
，
∵P是第四象限内双曲线上的点
∴m>0，
∴
整理得，m2-2m+2=0，
∵Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0，
∴该方程无实数根，此种情况不存在；
当点C在点P下方时，
∴
整理得，m2-2m-8=0
解得：m1=4，m2=-2(舍去)
∴
∴
18．【答案】（1）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入反比例函数解析式得：
由①得ab=6，
由②得ab=6，
故可得反比例函数是对换函数，
（2，3）和（-3，-2）
（2）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入一次函数解析式得：
由②得a=kb-5，
把①代入得：a=k（ka+5）-5，
整理得
又因为存在不重合的对换点，a不能取任意值，所以时等式不成立，故且5（k-1）=0，
解得：k=1
（3）解：设对换点为P（a，b）与Q（-b，-a），代入函数解析式得：
两式相减得
整理得2（a+b）=（b-a）（b+a），
∵两点不重合，
∴a+b≠0，
∴b-a=2，
∴b=a+2，
∴代入得：
∴当a=-1时，m有最小值为
又m取最小正整数，
∴m=2，此时a=0，b=0+2=2，对换点为（0，2）和（-2，0）.
19．【答案】（1） ； ；×
（2）解：设反比例 的图象上的“3级和值点”为(t，3-t)，则
或t=4，
∵二次函数 (m，n 是常数且m≠0)与反比例函数 的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，
∵该“3级和值点”为((-1，4)，
将(-1，4)代入 得：m+2+n=4，
∵二次函数 的图象与坐标轴只有2个交点，
∴分两种情况讨论：
①当抛物线 与x轴只有1个交点时，
解得：
此时抛物线为
∴当x=0时，y=1，
∴与y轴交于(0，1).
∴当m=1时，符合函数 的图象与坐标轴只有2个交点；
②当抛物线 与x轴有2个交点时， 则必过(0，0)，
解得：m=2，
此时抛物线为：
时，符合函数 的图象与坐标轴只有2个交点；
综上所述：m=2或m=1；
（3）解：
∵抛物线 l (a， b， c是常数且a≠0)上存在两个不同的“1级和值点”M
∴联立 整理得
令 则
即

20．【答案】（1）解：点坐标为
把点的坐标代入中得：
反比例函数的解析式是：
把点的坐标为代入中，得，
把、两点的坐标代入中得：，解得：
一次函数的解析式为：。
（2）解：如图1，当时，，，
，
。
（3）或
（4）或，或或
21．【答案】（1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）解：当时，即，
解得，
所以，学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；
（3）解：当时，，
由于，
所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴.
（2）解：设矩形是其美好矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴或.
（3）解：或2或
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