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专题：反比例函数-2026年中考数学专项
一、选择题
1．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
2．在反比例函数y=-的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）.若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点 B 在x轴正半轴上，点A，点C在函数 的图象上，延长CB交y 轴于点 D(0，-2).若点 B的横坐标为4，则k的值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
4．已知，则函数和图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
5．如图所示，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分，两点，则矩形的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（　　）
A．为函数图象的“相反点”
B．函数的图象存在两个“相反点”
C．为函数的图象上唯一的“相反点”
D．当时，函数的图象上无“相反点”
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则的值为（　　）
A．6 B．8 C． D．
8．力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（　　）
A．减小了 B．增大了
C．减小了 D．增大了
9．如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
10．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置．已知一款机器狗的最快移动速度与载重后总质量的函数表达式为，当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　．
11．若反比例函数的图象上有两点，，则　 　（填“”或“”或“”）．
12．如果反比例函数的图像经过点，那么　 　．
13．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示若压强由加压到，则气体体积压缩了　 　．
14．如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，连接交于，连接，则图中　 　．
15．如图，在反比例函数（）的图像上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则　 　．
16．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、两点关于轴对称，则称函数和具有“对立关系”，此时点或点的纵坐标称为“对立值”．
（1）满足题设条件的、两点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标　 　；
（2）下列结论中，正确的是：　 　．（写出所有正确结论）
①函数与函数不具有“对立关系”；
②函数与函数的“对立值”为；
③若是函数与函数的“对立值”，则．
三、解答题
17．如图，反比例函数与一次函数y=-x+3的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标.
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）当时，写出关于的不等式的取值范围；
（3）连接，，求的面积．
19．新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若，请直接写出的解集；
（3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
20．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．
（1）若是“倍根方程”，求k的值；
（2）一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；
（3）已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值．
21．定义：若一次函数和反比例函数交于两点和，满足，则称为一次函数和反比例函数的“属合成”函数．
（1）试判断一次函数与是否存在“属合成”函数？若存在，求出的值及“属合成”函数；若不存在，请说明理由；
（2）已知一次函数与反比例函数交于两点，它们的“属合成”函数为，若点在直线上，求的解析式；
（3）如图，若与的“2属合成”函数的图象与轴交于两点（在点左侧），它的顶点为，为第三象限的抛物线上一动点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，射线与射线交于点，连接，若，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】4
11．【答案】
12．【答案】6
13．【答案】20
14．【答案】6
15．【答案】
16．【答案】相等；②③
17．【答案】（1）解：把点代入，得，
∴
把代入反比例函数，
∴；
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，
∴，
设，
∴，
∴，
∴或，
∴P的坐标为或．
18．【答案】（1）解：将点代入，得，
点的坐标为．
将代入，得，即．
该反比例函数的表达式为；
（2）解：将点代入，得，
解得，
的取值范围是或；
（3）解：将代入，得，
点的坐标为．
由（1），（2）知，，
的面积．
19．【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
20．【答案】（1）解：，
，，
当时，即，
解得，
当时，即，
解得，
或；
（2）解：由得，，
设两个函数的交点为，，
由“倍根函数”可知，，
①，
②，
得，，
；
（3）解：方程的两根为，，其中，
由“倍根方程”可知或，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最小，
当时，最大，
的最大值和最小值的差是3，
，
解得．
21．【答案】（1）解：根据“属合成”函数的定义，联立方程组得，
解得，或，
∴两函数图象的交点为和，
∵，
∴，
∴，
∴它们存在“属合成”函数，
∵，
∴“属合成”函数解析式为．
（2）解：设一次函数与反比例函数的两个交点为，
∴的解为和，即，
∴，
∵存在“属合成”函数为，
∴，即，
∴，
∴．
①当时，
联立，
解得，
∴，
把点代入解得（舍），
∴；
②当时，
联立，
解得或，
∴，
把点代入，解得或（舍），
∴，
综上可得，的解析式为或．
（3）解：∵与存在“2属合成”函数，
∴根据（2）的计算可得，则，
设其两个根为，
∴，
∴，则，
∴，
∴“2属合成”函数解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∴，
如图，作垂线和，
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
又，
∴，
设，可求得，
由可求得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
设，
，
解得或（舍），
∴．
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