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专题：相似（基础+提升）-2026年中考数学专项冲刺
一、选择题
1．（2026·深圳模拟）如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（　　）
A．8米 B．16米 C．24米 D．32米
2．（2026·遂宁一模）如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A． B． C．∠B=∠ADE D．∠C=∠E
3．（2026·浙江模拟）如图，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·印江模拟）著名建筑常用黄金分割设计，缘由为建筑物的某部分高度与整体高度的比值接近黄金分割比时，视觉效果较好．已知某旅游城市一建筑整体高度为20米，若想达到较好视觉效果，其上部高度大约应为（结果保留整数，黄金分割比取，其中）（　　）
A．11米 B．19米 C．18米 D．12米
5．（2025·柳州模拟）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（　　）厘米．
A． B． C． D．
6．（2025·达州模拟）如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．8 B．9 C． D．
7．（2025·诸暨二模） 如图，在平行四边形ABCD中，的顶点E，F分别在边AB，AD上，满足，，，，在CE上取一点M，满足，则（　　）
A．1 B． C． D．2
8．（2025·旌阳模拟）如图，将矩形沿翻折，使点B落在上的点F处，射线与矩形的外角的平分线相交于点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026·长安模拟）如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，．
结论：是的切线．
结论II：若与相切于点，则的直径为．
下列说法正确的是（　　）
A．结论I正确，结论II错误 B．结论I错误，结论II正确
C．结论I正确，结论II正确 D．结论I错误，结论II错误
10．（2025·河源模拟）如题图，正方形中，E为线段上一点，过B作于G，延长至点F，使，交于点K，延长交于点M，连接，若C为中点，，下列结论：
①，②点G为线段的三等分点；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2026·邵阳模拟）已知，则的值为 　 　 .
12．（2026·珠海模拟）如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连结，交于点P，则的值为　 　．
13．（2026·遂宁一模）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 　 　立方分米．
14．（2025·成都模拟）如图，E是线段AB的黄金分割点，且AE>BE.分别以AB，AE 为边长在AB的同侧作正方形ABCD和正方形AEKF，延长FK，EK分别交BC，CD于点 G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记四边形 KGCH 和四边形AEKF 为阴影部分，那么针尖落在图形空白区域的概率为　 　.
15．（2025·天河模拟）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点．
（1）若，则　 　°．
（2）若，则的值是　 　．
16．（2025·武威模拟）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝　 　cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB'，当B'C⊥AB'时，测得点B'与E'到PQ的距离之比B'G：E'H=16：11，则B'G＝　 　cm．
三、解答题
17．（2025·凉州模拟）如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，求的长．
18．（2025·济宁模拟）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：
（1）以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标；
（2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标．
19．（2025·花都模拟）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习．
（1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米；
（2）如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度．
20．（2025·东莞模拟）综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘，某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习．
【阅读资料】
纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感．
图1 图2 图3
【初探结论】
（1）如图1，设，求纸的长与宽的比值；
【作图再探】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作交于点G．试说明点G为边的中点；
【拓展应用】
（3）如图3，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．试探究线段与的数量关系与位置关系．
21．（2026·浙江模拟）如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A，B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E作EN⊥BC，垂足为N.
（1）若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长.
（2）求的值.
（3）如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD.
22．（2025·南山模拟）数学课上，张老师提出如下数学问题．
如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系．
两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法：
方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
方法2：连接，过点作交于点．
（1）请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题；
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：；
（3）如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】8
14．【答案】
15．【答案】75；
16．【答案】；
17．【答案】（1）证明：切于点，
，
，
，
，
，
，
。
（2）解：如下图所示，连接，
为的直径，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
18．【答案】（1）解：如图1，即为所求，
∴；
（2）解：如图2，即为所求，
∴．
19．【答案】（1）12
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴电线杆的高度为10。
20．【答案】解：（1）设．
∵，矩形矩形，
∴，，，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G为边的中点．
（3）连接交于点O，如下图：
由翻折变换的性质可知，
设，
在中，，
即
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：连结AP，如图.
因为AB=AC，P为BC中点，所以AP⊥BC.
因为DM⊥BC，D为AB中点，
所以DM∥AP，
所以BM=MP=2
（2）连结AP，由(1)知BP=PC，同理得MN=CN.
设PN=a，MP=b，
则NC=MN=a+b，BP=PC=PN+NC=2a+b，
所以BM=BP-MP=2a，
所以
（3）证明：连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.

因为AE⊥QE，
所以AQ=AF.
因为E为CD中点，
所以DE=EC，
∠DEQ=∠CEF，
所以△DEQ≌△CEF，
所以DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，所以DQ∥CF.
由DM⊥BC，AB=AC，FG=FC，
所以∠ABC=∠ACB，
所以∠QDI=∠FCH=∠FGH，
所以△QDI≌△FGH，
所以QI=FH，
则Rt△QAI≌Rt△FAH，
所以∠QAI=∠FAH，
所以△QAB≌△FAC，
所以QB=FC，
所以QB=QD
22．【答案】（1）解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
，
是等边三角形．
．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，
．
．
．
方法2：连接，过点作交于点．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长到点，使，连接．
四边形是正方形，
．
．
．
，
．
，
．
，
．
，
，即，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．
，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是矩形．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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