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专题：一次函数（基础+提升）-2026年中考数学专项冲刺
一、选择题
1．（2025·长沙模拟）对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
2．（2025·双清模拟）已知点在正比例函数的图象上，且，则的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·新会模拟）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·长沙模拟）已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小
5．（2025·衡山模拟）在平面直角坐标系中，若，则称为点的“斜值”．如图，边长为2的正方形的四条边分别与坐标轴平行，点的坐标为，点是正方形边上的动点．下列说法错误的是（　　）
A．点的“斜值”为
B．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大
C．点在边上时，点的“斜值”随着的增大而增大
D．点的“斜值”的最大值为
6．（2024·长沙模拟）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·临澧模拟）中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　）
A．是“乾坤点”
B．函数的图象上存在2个“乾坤点”
C．函数是“乾坤函数”
D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为
8．（2021·长沙模拟）如图，已知 为反比例函数 图象上的两点，动点 在x轴的正半轴上运动，当线段 与线段 之差达到最大时点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·玉林模拟）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·长沙模拟）定义：对于给定的一次函数 （ 、 为常数，且 ，把形如 的函数称为一次函数 的“相依函数”，已知一次函数 ，若点 在这个一次函数的“相依函数”图象上，则 的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2025·岳阳模拟）将一次函数向上平移6个单位，得到的新函数的表达式为　 　．
12．（2025·衡阳模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为　 　．
13．（2025·湖南模拟）一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是　 　．
14．（2024·长沙模拟）如图，直线和直线相交于，则关于的不等式的解集为　 　．
15．（2025·绍兴模拟）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、，在运动过程中，的最大面积为　 　．
16．（2022·衡阳模拟）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△An﹣1AnBn都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，An都在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y（x＞0）的图象上，则点Bn的坐标为　 　.（用含有正整数n的式子表示）
三、解答题
17．（2026·长沙一模）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 函数值y的取值范围为 且满足n-m=k(b-a)，则称此函数为“k-拉伸函数”.
例如：正比例函数y=-2x，当时，则-2-解得k=2，所以函数y=-2x为“2-拉伸函数”.
（1）①一次函数 为“k-拉伸函数”，则 k的值为　 　；
②若一次函数 为“3-拉伸函数”，则a的值为　 　
（2）反比例函数 是“p-拉伸函数”，且 请求出 的值；
（3）已知二次函数 当 时，y= 是“k-拉伸函数”，求 k的取值范围.
18．（2026·湘潭模拟）某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答：
型号 甲 乙
每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600
每台价格（万元） 5 3
（1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件.求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台
（2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台.请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少 最少费用是多少
19．（2025·祁阳模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标．
20．（2025八下·长沙期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：
a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点；
b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域
根据阅读材料，解决下列问题：
（1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点．
①在这个域中有______个整点；
②求域的面积．
（2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式；
（3）若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围．
21．（2025八下·雨花期末）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
22．（2025八下·衡南期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，；
①直接写出　 　，　 　；
②点C的坐标是 ；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】
12．【答案】且m≠0
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】（，）
17．【答案】（1）2；3或-3
（2）解：∵反比例函数 ，
∴在 时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值 最小值
，解得
∵函数是“p-拉伸函数”，即k=p，
又
∴-2=2026
（3）解：二次函数 开口向下，对称轴为
分情况讨论：
当d<-1时，对称轴在 的左侧，在 时，y随x的增大而减小，
又
当 时，对称轴在 内，最大值在顶点x=d处，
若 最小值在x=3，得 范围为
若 最小值在x=-1，得 范围为2
时，
当d>3时，对称轴在 右侧，在 内函数y随x的增大而增大，
又
综上，合并所有情况得
18．【答案】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人买x台，乙两种型号的机器人买y台。
则
解得
答：该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙两种型号的机器人买6台.
（2）解：设需购买甲种型号的机器人m台，则乙型机器人（12-m）台，
800m+600（12-m）≥8700，
解得m≥7.5，且m为整数，
设所花总费用w元，
则w=5m+3（12-m）=2m+36.
∵2>0，∴w随m的增大而增大.
∴当m=8时，w取得最小值，最小值为5×8+3×4=52（万元）
答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元.
19．【答案】（1）解：，，直线的函数表达式为：；
理由：∵ 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
令y=0，得：，
解得：x1=-2，x2=6，
∴，，
∵ 直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为，
设直线的函数表达式为：，
将点A、点D的坐标，得：
，
解得： ，
∴直线的函数表达式为：.
（2）解：如图：
∵ 点P是抛物线上的点，与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，
∴，M（m，0），，，
可以根据点N得位置，分为以下两种情况分析：
①当时，得，
整理得：
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为；
②当时，得，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为
综上所述：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或．
20．【答案】（1）①2；
②；
（2）解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为，
设直线l的解析式为：，
∵直线分别交域两边，于点，，且经过，
∴，
把代入得：，
∴，
∴直线l的解析式为：，
联立，
解得：，
当时，，
∴，
∴，
∵的面积是域面积的，
∴，
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为：；
（3）或
21．【答案】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
（2）解：，
解得：，，
方程的“友好点”为
（3）解：由题意，∵直线，
∴过定点，∴两个根为，
∴，
∴
∴，即
22．【答案】（1）①3，6；②
（2）解：当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
．
变化时，的面积是定值，定值为18
（3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，，过点Q作于E，交于F，
分两种情况：当点Q在下方时，如图，
∵，，
∴，
由“k型全等”可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
当点Q在上方时，如图，
同理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形
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