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专题：圆（基础+提升）-2026年中考数学专项冲刺
一、选择题
1．（2026·桑植一模）如图，⊙O的直径AB=10m，弦CD⊥AB于E，CD=8m，则AE的长为（　　）
A．9m B．8m C．7m D．6m
2．（2026·浙江模拟）一个扇形的弧长等于半径长，则该扇形的圆心角的度数约等于 (　　)
A．46° B．51° C．57° D．69°
3．（2025·惠州模拟）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·平武模拟）如图，在正六边形中，G是的中点．若，则的长为（　　）
A．6 B．9 C．6 D．9
5．（2025·长沙模拟）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，理在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（　　）
A．24寸 B．48寸 C． D．56寸
6．（2025·兴宁模拟）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．
7．（2025·余杭模拟）如图，是的内切圆，分别切AB，BC，AC于点，，，，是上一点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·衢州模拟）中国高铁已成为中国现代化建设的重要标志，如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线（弧）的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026·邯郸模拟）图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（　　）
A．轨道① B．轨道② C．轨道③ D．轨道④
10．（2025·雷州模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空题
11．（2026·衡阳模拟）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB=150°，OA=12，则的长为　 　 .
12．（2026·凉州模拟）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 　 　 °．
13．（2026·邵阳模拟） 已知某扇形的半径为 6厘米，弧长为 4π厘米，则该扇形的面积是　 　平方厘米（结果保留π).
14．（2026·江阳一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于点M，N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为（5，-3），则点N的坐标为　 　 .
15．（2025·龙马潭模拟）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是　 　．
16．（2025·南山模拟）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
三、解答题
17．（2026·温州）如图，以AB为直径作半圆O，过点B作半圆的切线BC，连结AC交半圆O于点 D，连结OD.
（1） 求证：
（2） 若 求 的度数.
18．（2026·中山模拟） 如图， AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB， ∠C=75°， ∠D=45°.
（1）求证： MN是⊙O的切线； .
（2）若 AC=12，求 CD的长.
19．（2025·浙江模拟）小丽与小明，小颖同学一起研究一个利用尺规作一个角的问题：
如图1，已知在射线上，依次取点B，C，使．
小明：如图2，分别以A，C为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，，
则．
小丽：如图3，分别以A，B为圆心，长为半径画弧，交于点D，连结，
则．
小颖：如图4，分别以A，C为圆心，大于长为半径画弧，交于点D；以B为圆心，长为半径画弧交射线于点E；以E为圆心，长为半径画弧交弧于点F，连结，则．
（1）做法正确的同学有______．
（2）请选择你认为正确的一种做法给出证明．
证明：我选择证明图______(填序号)．
20．（2025·深圳模拟）如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，
②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M，
③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线；
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的面积．
21．（2025·杭州模拟）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是对角线，CA平分∠BCD.
（1） 如图1，求证：AB=AD；
（2） 如图2，点E在线段CD上，连接AE，AB=AE，连接BE，，求证：；
（3） 如图3，在(2)的条件下，作交⊙O于点H，交线段AC于点F，连接CH，请你探究线段DE、线段CH的数量关系，并证明你的结论.
22．（2025·湖南模拟）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】C
11．【答案】10π
12．【答案】70
13．【答案】12π
14．【答案】（9，0）
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：如图，连结BD.
∵BC是半圆O的切线， ∴BC⊥AB，
∴∠1+∠DBC=90°.
∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB=90°，
∴∠C+∠DBC=90°， ∴∠C=∠1.
∵∠AOD=2∠1， ∴∠AOD=2∠C.
（2）解：∵∠AOD=2∠C， ∠AOD+∠C=150°，
∴∠AOD=100°.
∵OA=OD， ∴∠ODA=∠A=40°，
∴∠ODC=180°-40°=140°.
18．【答案】（1）证明：AB为⊙O的直径，弦 CD与 AB交于点 E，过点 C的直线 MN∥AB，连接 OC，
∵∠BDC=45°，
∴∠BAC=∠BDC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵MN经过点 C，且 MN∥AB，
∴∠OCM=∠BOC=90°，
∴MN是⊙O的切线
（2）解：如图，过点O作OF⊥CD于点F，
∵∠A=∠BDC=45°，OA=OC
∴∠AOC=90°，
∵AC=12
∴2OA2=122
∴OA=OC=6，
∵∠ ACD=75°，
∴∠OCF=30°，
∴OF=，
∴CF=
∴CD=2CF=2×= 。
19．【答案】（1）小明、小丽、小颖；
（2）我选择证明图2，连结，
由作图可得，是等边三角形，，
，，，；
20．【答案】（1）证明：连接并延长，交于H，
∵是的外接圆，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴
由作图可知，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线.
（2）解：过E作交于F，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，平分，
∴=1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴

21．【答案】（1）证明： ∵CA平分，
∴.
连接BD.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
（2）证明：∵，
∴.
设.
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴四边形 ABCD 内接于 ，
∴
∴
∴。
（3）解：
证明：连接 DH，
∵，
∴∠BHD=∠BCD=90°，
∵BH⊥AB，
∴∠ABH=90°，
∴四边形 ABHD 是矩形，
∵AB=AD，
∴矩形ABCD 是正方形，
∴AD=BH，，
∴AB =DH，
∴∠ACB=∠DCH，
又∵∠ACB=∠BCD =45°，
∴∠DCH=45°，
∴∠BCH=135°，
过C作CK⊥CH，且CH=CK，连接 HK，BK，
∴∠HCK=90°
∴∠BCK=360°-90°-135°=135°，
∴∠BCK=∠BCH，
∵BC=BC，
∴△BCH≌△BCK，
∴∠CBK=∠CBH，BH=BK，
又∵，
∴∠CDH=∠CBH，
∴∠ADE=90°-∠CDH，
∴∠DAE=180°-2(90°-∠CDH)=2∠CDH，
∴∠DAE=∠HBK，
又∵AD=AE=BH=BK，
∴△ADE≌△BHK，
∴DE=HK，
又∵∠HCK=90°，
∴HK2=CH2+HK2，
∴HK=CH，
∴
22．【答案】解：【探究】成立，
证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【应用】
过点作的垂线交延长线于点，如图所示：
∵是直径，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，
∴，
设，则，
∴，，
∴
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