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专题：二次函数（基础+提升）-2026年中考数学专项冲刺
一、选择题
1．（2026·涪城二模）若抛物线 与直线y=2有两交点A， B，且AB=2，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·广州模拟） 已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+bc的图象可能是（　　)
A． B．
C． D．
3．（2026·东莞模拟）将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移个单位，再向上平移个单位
B．先向右平移个单位，再向下平移个单位
C．先向左平移个单位，再向上平移个单位
D．先向左平移个单位，再向下平移个单位
4．（2026·中山模拟）已知二次函数 为常数，且m>0) 的图象上有三点A (-2，y1)，B(1，y2)， C(3，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是(　　)
A． B．
C． D．
5．（2026·营山一模）若是直线上一动点，（是实数）是坐标平面内一动点，则线段长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026·湘潭模拟）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（m，n）和B（s，t），若点P（x，y）满足x=m-s，y=n-t，则称点P是点A、B的“关联点”.下列说法错误的是（　　）
A．已知点A（5，-3），B（2，1），则点A、B的“关联点”P的坐标为（3，-4）
B．已知点A（a2+2，4a），B（a-1，4a），则点A、B的“关联点”P一定在x轴上
C．已知点A（2x-1，x2），B（x+3，-2），则点A、B的“关联点”P在第三象限
D．已知点A（a，b）、B（2，-1），点A在函数图像上，点P（c，d）为点A、B的“关联点”，则点P的纵坐标d不可能是-2
7．（2025·册亨模拟）如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（　　）
A．方程的两根为，
B．8
C．
D．若，是抛物线上的两点，且，则
8．（2025·海珠模拟）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·南山模拟）已知二次函数可以通过配方转化为的形式，定义如下：对于一个二次函数中存在一点，使得，称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·花都模拟）定义：函数图象G上的点的纵坐标y与横坐标x的差叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”最小值称为函数图象G的“幸福值”．如：抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，设抛物线顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是12，则c值为（　　）．
A．4 B．7 C．34 D．36
二、填空题
11．（2026·衡阳模拟）抛物线y=3（x+1）2+4的顶点在第　 　 象限.
12．（2026·邵阳模拟）已知二次函数（m为常数），当x1≤x≤x2时，y1≤y≤y2，若m≤x1，且y2-y1=2，则x2-x1的最大值等于　 　.
13．（2026九下·邛崃模拟）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，当，时，都有，则的取值范围为　 　．
14．（2026·慈溪一模）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 则方程 =0是“邻根方程”.若关于x的方程 是“邻根方程”，令 则 t的最大值是　 　．
15．（2026·涟源模拟）如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为　 　．
16．（2025·湖南模拟）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为　 　
三、解答题
17．（2026·丽水一模）已知二次函数的图象经过点（4，0）和（1，3），点P（x1，y），Q（x2，y1）是该二次函数图象上的两个动点，满足且
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求x1+x2的值；
（3）已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M，一条平行于x轴的直线过点A（0，t）交函数图象于B，C两点，且BC=3PM，求BC的最大值及此时对应的t值。
18．（2026·杭州二模）已知抛物线经过点A（1，0），B（-1，8）.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点C（-3，y1），D（m，y）在该抛物线上，且y1>y2，求m的取值范围；
（3）将此抛物线向左平移n（n>0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且（求n的值.
19．（2026·江门模拟）为建立防控疫情的绿色长城，需要人人自觉养成“戴口罩、少聚集、勤消毒”的习惯．某品牌酒精消毒液的出厂价经过两次降价，价格由每箱50元降为32元．当出厂价降至每箱32元后，某批发商从该厂家购进一批这种消毒液，试销中发现：当每箱售价为40元时，周销量为600箱，且每箱的售价每涨5元，周销量就减少50箱．
（1）已知出厂价两次降价的百分率相同，直接写出这个百分率为______；
（2）求出售这种消毒液一周的总获利W（元）与每箱售价x（元）的函数关系式；
（3）若要使该消毒液的售价不高于75元，且厂家一周的进货成本不高于9600元，求每箱售价应为多少元时，获利最多？
20．（2026·兴宁模拟）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示.水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，以桥拱顶点O为原点，桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系.如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、DI，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看作两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米.
（1）求其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
（2）春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度.
21．（2026·邯郸模拟）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线．
（1）直接写出的对称轴及的值；
（2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值；
（3）如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线．
①直接写出抛物线的解析式；
②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标．
22．（2026·柳州模拟）项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A
10．【答案】C
11．【答案】二
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】9
15．【答案】
16．【答案】12．
17．【答案】（1）解：把（4，0）和（1，3）代入得解得
∴该二次函数的表达式为
（2）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该二次函数的图象上，
化简得x1+x2=4。
（3）设x1=m，则
∵x1+x2=4，∴x2=4-m，
∴OQ所在直线解析式为y=mx，M点的纵坐标是m2。
∴当m=1时，BC取最大值6。
根据抛物线的对称性且BC∥x轴，∴B，C两点的横坐标为-1和5。
将x=-1代入得y=-5，
∴t=-5。
18．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；

（2）解：先将抛物线解析式化为顶点式：，
抛物线开口向上，对称轴为，
点到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
因为，
所以，即：，
解得；
（3）解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：，
当时，与y轴交点E的纵坐标：，
这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为，
当时，e取最小值，
题目中，则，
令，即，
解得：，
因为，所以．

19．【答案】（1）
（2）解：由题意得：
；
（3）解：设周销量为y箱，则，解得，
因为，所以，
解得，
又因为售价不高于75元，所以，
对于二次函数，
其中，对称轴为，
因为对称轴在的左侧，
所以在上随x的增大而减小，
所以当时，W有最大值，
，
答：每箱售价应为70元时，获利最多．
20．【答案】（1）解：①水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，
由题意得H（0，4），I（12，4），右边钢缆的抛物线顶点为（6，2），
设右边钢缆的抛物线表达式为y1＝a1(x 6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0 6)2＋2，
∴a1＝，
∴y1＝(x 6)2＋2．
②由题意得H（0，4），G（ 12，4），左边钢缆的抛物线顶点为（ 6，2），
设左边钢缆的抛物线表达式为y1＝a1(x＋6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0＋6)2＋2，
∴a1＝，
∴y1＝(x＋6)2＋2．
（2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为y2＝a2x2，
由题意得F（6， 1.5），
∴ 1.5＝36a2，
∴a2＝ ，
∴y2＝ x2，
设灯带长度为h，则h＝y1 y2＝(x 6)2＋2 ( x2)＝x2 x＋4，
∵＞0，
∴当x＝( 12＜＜12)时，h有最小值为．
答：灯带长度的最小值是米．
21．【答案】（1）对称轴为直线，
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
当时，，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，函数的最大值是，最小值是，
当时，取最大值，当时，取最小值，
即，，
，
，
解得，（负值舍去），
；
（3）；或
22．【答案】解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机摄像头距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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