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沈阳市第一二0中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学试题
一、解答题
1．意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）
(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：
(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
2．已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：
，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．
3．已知函数.
(1)求函数的最大值；
(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)若函数在上恒成立，求实数的取值范围.
4．已知数列的前项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围．
5．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；
(2)讨论函数的单调区间．
二、填空题
6．若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________．
7．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______．
8．已知为等差数列，，，则______．
三、多选题
9．已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．在处的切线方程为：
C．若函数，使得成立，则
D．若函数有两个零点，则
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则t的最小值为2
11．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
四、单选题
12．已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（ ）
A．2026 B．1013 C．1 D．-1
13．已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
15．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
17．在数列中，，，（），则（ ）
A． B． C． D．
18．已知，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
19．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
题号 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 ABD ABC AD D B D D A C B
题号 19
答案 C
1．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：①；
②.
（2）构造函数
①当时，因为，当且仅当即时等号成立，
所以，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，符合题意；
②当时，令，
则恒成立，故单调递增，
由与，
可知存在唯一，使得，
当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，不合题意，舍去；
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）由（2）知：当时，，令，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，
所以，则，
令单调递增，
所以，即恒成立，令，
所以
.
2．(1)，.
(2)
(3)21216
【详解】（1）由得公差，
又因为，
得，
化简得，解得，
所以.
由，，成等差数列，得
由是等比数列，设代入，
得，消去，
得，化简并解得，
.
（2）由（1）得，
，
第一部分为，
令，
，
两式相减：
，
，
，
第二部分利用裂项求和：
，
合并：；
（3）由题可知新数列中，前有项，
令，得前有项，
令，得前有项，
恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项，
剩下的全是中的项，，即的前项，
.
3．(1)1
(2)
(3)
【详解】（1），定义域为，，
令，得，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
（2）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，即，
由（1）可知，的最大值为1，所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）若函数在上恒成立，即在成立，
所以在上恒成立，
令，
则，
因为，所以当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意；
当时，令，
①当时，即时，则恒成立，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
所以，所以时符合题意；
②当时，即时，令，
则，
因为，所以，
所以当时，，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增，所以当时，，
所以时，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
4．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）已知，当时，.
则，
所以，即.
当时，，
则，，满足.
因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
故不等式可化为，即.
设，，故只需即可.
，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，，所以，即.
因此，在时取得最大值为，
故实数的取值范围为.
5．(1)
(2)当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增.
【详解】（1），定义域为
所以，
因为直线的斜率为，
所以，所以.
（2），定义域为，
若，则在恒成立，故在递增;
若，令得，令得，
故在单调递减，在单调递增;
综上所述：当时，在递增，
当时，在单调递减，在单调递增.
6．
【详解】因,则等价于，
即，
令，则，则在上单调递增，
因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为，所以，，
所以对任意恒成立，
则对任意恒成立，
令，则，
令，
则，则在上单调递减，
因为，
所以，则，即在上单调递减，
则，故，
则正实数t的取值范围是.
7．
【详解】，，
，的每一项都除以不等号方向不变，即，
，设，则，
，，，
为R上的减函数，，
等价于，为R上的减函数，
的解为，等价于，
的解集为.
故答案为：
8．
【详解】在等差数列中，由，得，解得
由，得，解得，公差，
所以.
9．ABD
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B，由，则，
所以，，故在处的切线方程为，即，故B正确；
对于C，因为，
要存在，使得成立，即有解，
令，则，令，得，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
，所以只需，即得，故C错误；
对于D，由，则，，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
若函数有两个零点，则，且，
要证，即证，又在上单调递增，
即证，即证，
只要证，
即证，
令，，
则，
当时，，
所以存在，使得，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
当时，，而，
令，，
则，即在上单调递减，故，
所以，即，即，
所以对恒成立，
又，则，即成立，
即成立，问题得证，故D正确.
故选：ABD.
10．ABC
【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
11．AD
【详解】由，，得，
所以等差数列的公差,
所以等差数列是递减的等差数列，则最大项为，故A正确，B错误，
又因为得且公差,所以当时，，估D正确；
，所以，故C错误；
12．D
【详解】因为且，所以，
因为，所以关于直线对称，
则原函数关于点对称，所以
所以，
令，则，即，
所以，
所以的周期为，
又，即，所以的周期也为，
由得，
由得，所以，
由得，所以，
又，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
13．B
【详解】当，，则，
因为当，，单调递减；
当，，单调递增；，，，
当，，，
设，则过定点，
当，图像与图像相切时，设切点为，则切线斜率为 ，
切线方程： ，因为切线过点 ，代入得： ， 化简得，
因为在单调递增，当，，所以 ，切线斜率 ，此时图像与图像有两个交点；
当过原点，，因为，此时图像与图像有四个交点；
所以当时，图像与图像有三个交点，从而方程有三个根.
14．D
【详解】由得,∴,
,
∴,∴,
∴数列为首项为，公比为的等比数列，
∴,∴，
∵，∴为等差数列，
∴,
,
记
当n∈N*时，为的单调递减函数，
∴
恒成立的充分必要条件是,解得或，
故选：D
15．D
【详解】由题意得：，令，
所以，所以在单调递增，且，，
又因为在上不单调，所以，解得.
16．A
【详解】由，整理可得，
等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
17．C
【详解】由已知得，
所以，，，
故选：C.
18．B
【详解】由题意，函数，可得，
令，可得，解得，所以，
所以.
19．C
【详解】由，故.
可得.

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