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广西南宁市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等差数列中，已知，，，则的前项和为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
5．安排名志愿者完成项工作，每人至少安排项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（ ）
A．是等比数列，且公比为
B．是等比数列，且公比为
C．是等差数列，且公差为2
D．是等差数列，且公差为4
8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知随机变量的分布列为
0 1 2
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的单调递减区间为，单调递增区间为
B．函数的极小值点是
C．当时，与直线有2个公共点
D．当时，与的图象有2个公共点
11．在棱长为4的正方体中，点是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若平面，则线段的最小值为
C．若与所成的角为，则点的轨迹长度为
D．若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
三、填空题
12．的展开式中的系数为______（用数字作答）.
13．若是函数的一个极值点，则_____.
14．已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______.
四、解答题
15．已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、.
(1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率；
(2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，且，.
(1)求证：平面；
(2)若，，点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求点的坐标；
(3)求面积的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设是的两个极值点，求证：；
(3)设，求证：.
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．D
5．A
6．D
7．C
8．D
9．ABD
10．ACD
11．ABD
12．
13．
14．或/或
15．（1）由，，得，.
因为，所以数列是以2为首项、2为公比的等比数列，
所以，即，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知代入得，则
①，
②，
①-②得：
，
化简得，
故数列的前项和.
16．（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”，
事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”.
根据题意，，两两互斥，且.
由题意得，，，，，.
由全概率公式，得，
所以消费者给出好评的概率为.
（2）由（1）知，因此.
根据题意，得.
因为，，两两互斥，且，
由贝叶斯公式，得，
所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为.
17．（1）证明：因为为菱形，，
所以为中点，也为中点.
在中，，所以，
在中，，所以，
又，平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面，又因为平面，
所以，，
又，所以如图以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，，，
所以在中，，即，所以，
所以，
在中，，即，所以，
则，，，，，
由，得，
因为，所以，
所以，
所以，，，
，
设平面的一个法向量为，则，
即，取，则，，则，
设平面的法向量为，则，
即，取，则，，则，
设平面与平面的夹角为，则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（1）由题意得，，则，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
法一：由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，则，
联立得，
，，
，则直线：
所以直线恒过定点.
法二：设，，则.
由，，三点共线，得，即，
把点平移到原点，得椭圆方程，
化简，得①，设平移后的直线：②，
由①②，得，
整理，得
所以，得，
故：经过定点，平移回去得定点为，所以直线恒过定点.
（3）由题意知，，
，令，，，
化简得，，
令，当，，因此，在上单调递增，
所以，所以面积的取值范围为.
19．（1）①当时，，其定义域为，
又，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间.
（2）函数 的定义域为，
又，
因为，是的两个极值点，所以，，
即，令，，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
不妨假设，
要证，只需证，因为，所以，
因为在上单调递增，
所以只需证，又因为，所以只需证，
令，，
则，
因为，所以，
则，所以，
所以在上单调递减，，
所以，即.
（3）利用第(1)问中的时的函数可得，所以有，
令对每个 ，令，则 ，则 ，
所以 ，则，
所以，得证.

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