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四川遂宁市卓同教育集团2026届高三下学期模拟测试五数学试题（A）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.复数的值为( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，满足，，则( )
A. B.
C. D. ，均为的最大值
4.为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩最低分为分，满分分，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是
A. 对应矩形的高度为 B. 样本众数估计值为
C. 样本平均数估计值为 D. 样本成绩的第百分位数落在内
5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
6.从名男生和名女生中选人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知在正三棱台中，，，若此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的有( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 平面直角坐标系中到点和的直线斜率之积为的点构成的轨迹方程为
D. 平面直角坐标系中与交于两点，的最小值为
10.在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点含边界，则下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行
C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为
11.已知抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点过点作轴的垂线，交直线于点则下列说法正确的是( )
A. 曲线的方程是
B. 的取值范围为
C. 若，则的取值范围为
D. 线段的中点在一条定直线上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是平面内一组基向量，且，则向量可以表示为以为基向量的线性组合，即 ．
13.已知椭圆与椭圆在四个象限内有个交点、、、，且这个交点与、的个焦点共圆，则 ．
14.已知函数有三个不同的零点，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在三角形中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且．
若，求的大小；
设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度．
16.本小题分
如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点，是棱，上的动点，不与端点重合，且．
证明：平面；
已知圆柱的体积为，点到直线的距离是求的长度；
17.本小题分
在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于、两点，为直线上一点且点为直线与轴的交点．
求双曲线的渐近线方程和焦距
若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积．
18.本小题分
甲、乙、丙三人进行玩具传递游戏，每次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传递方式，当玩具在甲手中时，若骰子点数大于，甲将玩具传给乙，若骰子点数不大于，甲保留玩具；当玩具在乙手中时，若骰子点数大于，乙将玩具传给甲，若骰子点数不大于，乙传给丙；当玩具在丙手中时，若骰子点数大于，丙将玩具传给甲，若骰子点数不大于，丙传给乙初始时，玩具在甲手中．
设前三次抛掷骰子后，玩具在甲手中的次数为，求的分布列和数学期望；
抛掷次骰子后，玩具在乙手中的概率为，求的通项公式；
求证：．
19.本小题分
已知函数，．
当时，证明：．
若存在三条不同的直线，既是曲线的切线切点为，又是曲线的切线切点为
求实数的取值范围；
是否存在，，使得线段与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：由正弦定理，结合，得．
因为平分，，所以．
由三角形面积关系：，
即．
代入，，化简得．
将代入上式：，解得，则．
由余弦定理：．
故．
由，根据基本不等式，得，
设，则，解得，即，
当且仅当时，取得最小值，面积最小．
此时，，
因为为中点所以．
两边平方得．
代入，，．
得，故．
16.解：在正方形中，由，得，，
则，，因此，
由是圆柱的母线，得平面，而平面，则，
又平面，所以平面．
设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，得，
解得，则，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
，由点到直线的距离是，
得，则，化简得，
即，而，解得，
所以．
17.解：双曲线，得，
可得双曲线的渐近线方程为，
又，
所以焦距为．
设，，
由，可得，
则，
所以，．
因为直线与双曲线交于轴上方的、两点，
所以，解得，
所以，，
所以，
所以，
由，可得，解得
所以，所以，
所以，于是．

18.解：由题意知，，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为，
随机变量的数学期望为；
由于投掷次骰子后球不在乙手中的概率为，
此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，
故有，
变形为，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以数列的通项公式；
证明：由可得，
所以，
，
所以．
19.解：证明：当时，．
设，
，则，是增函数，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此，即当且仅当时取等号，
因此
，
当且仅当时取等号，
因此当且仅当时等号成立；
设直线与曲线切于点，与曲线切于点，
因为，，
因此曲线的切线方程为，
曲线的切线方程为
于是问题等价于有三组解．
由得，代入消去得，
由，结合知，故，
于是上述方程可化为．
令，
则，
因此当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
又，
当时，，当时，
，
的大致图象如图：
因为存在三条不同的直线，既是曲线的切线切点为，又是曲线的切线切点为，
因此的图象与直线有三个不同的交点，
结合的图象可知，
解得实数的取值范围为；
不存在．理由如下：
假设存在，设，
则有，
由可知，，
则有，，
因此上述方程等价于，
即，
由得或．
结合且，得，
代入整理得，此时．
令，则，
于是，在上单调递减．
由于，故方程仅有一解，此时．
从而点与点重合，线段与重合，故不存在．
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