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2026年吉林省延边州第二中学高考数学评估试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有( )
A. B. C. D.
4.若双曲线的离心率为，则实数( )
A. B. C. D.
5.设满足：，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知是抛物线：上的动点，若点到直线距离的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.已知锐角的内角，，所对的边分别是，，，若角，，成等差数列，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某奶茶店统计了六天每天天气平均气温和每天凉茶的销售数量单位：杯，得到以下数据：
单位：杯
若与线性相关，且回归直线方程为，则( )
A. 和正相关 B. 点在回归直线上
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 函数的值域为 B. 函数在区间上单调递减
C. 函数的最小正周期为 D. 函数的图象关于直线对称
11.在棱长为的正四面体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 正四面体外接球的体积是
B. 直线和所成角的余弦值为
C. 可以用棱长为的正方体切割出正四面体
D. 若正四面体的内切球为球，在球和各个顶角的空隙内分别放入一个和球、顶角侧面都相切的小球，则这个球的半径之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______．
13.若数列满足，，则 ．
14.已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
据医学统计，某地区男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为，患色盲的学生在高考志愿填报时限报医学、生物类等专业已知该地区某学校高三年级有男生人，女生人．
依据医学统计，按照志愿填报规定，估计该学校高三年级至少有多少名学生因色盲限报医学、生物类等专业；
从该学校高三年级中随机选出一名学生设男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为，则这个学生患色盲的概率是多少？
16.本小题分
在梯形中，，，，的中点为，将点沿折起到点位置，使得，如图所示．
证明：平面；
求平面和平面夹角的正弦值．
17.本小题分
数列满足，．
证明是等比数列，并求数列的通项公式；
若，设数列的前项和为，求．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的图象在处的切线方程；
证明：函数的图象是中心对称图形；
若函数为减函数，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：的上、下焦点分别为，，直线：和交于，两点，轴，为上的动点，面积的最大值为．
求的方程；
若，求的面积；
设上有两点，与都不重合满足，且，垂足为，证明：存在定点，使得为定值．
参考答案
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13.．
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15.解：据医学统计，某地区男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为，
患色盲的学生在高考志愿填报时限报医学、生物类等专业，
由题意，要使限报医学、生物类等专业的学生人数最少，
则男生患色盲的概率为，女生患色盲的概率为，
估计该学校高三年级因色盲限报医学、生物类等专业的学生有：
名．
设选出一名男生为事件，
设选出一名女生为事件，选出一名患色盲的学生为事件，
由题意，得，
由全概率公式，得．
16.证明：在梯形中，由，，为的中点，得，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
而，
所以，
翻折后，，
又，，平面，
所以平面，
所以平面．
解：由得平面平面，
故以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，，，
因为，，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以，
所以平面和平面夹角的正弦值为．
17.解：证明：由，可得，
则数列是以为首项，公比为的等比数列；
可得，所以；
解：由可得，所以，
则，且，
可得，
当，时，，
其中，
，
所以，
将代入上式，可得；
当，时，，
因为，且，
所以，
将代入上式，可得，
综上可得，数列的前项和为．
18.解：当时，，可得，
又由，可得，
所以函数的图象在处的切线方程，即．
证明：由函数，
可得，
所以
，
即，即，
所以函数的图象关于点中心对称．
由，其定义域为，
且，
因为函数是减函数，所以在内恒成立，
即在内恒成立，
因为，不等式可化为，
即，
当时，恒成立，此时；
当时，，
令，则，因为且，即且，
则，
令，
令，则，，
当时，取得最大值，此时，
所以的最大值为，则的最小值为，
因为恒成立，所以，即实数的取值范围为．
19.解：令椭圆的半焦距为，则，，
由面积的最大值为，得，
由直线交于点，，轴，得，则，
而，联立解得，因此椭圆的方程为；
由知，椭圆，，设，由对称性得，关于原点对称，
则，，由，
得，即，而，解得，，即点，
又，点到直线：的距离，
因此的面积为；
证明：设，，当直线斜率存在时，设其方程为，
由消去，得，
，，
，而，
则
，
整理得，由直线不过点，得，
因此，即，直线过定点，
当直线斜率不存在时，设其方程为，则，，
，而，
联立得，而，解得，直线过定点，
因此直线过定点，又，则点在以线段为直径的圆上，
圆心坐标为，令点，则，
因此存在定点，使得为定值．
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