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2026年广东省广州市海珠外国语实验中学高考数学综合测试试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若平面内有两个定点，，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的最小正周期为，，若，是偶函数，则的值可以是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.在钝角中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. 或 C. D.
7.已知函数，，，点在直线下方，过点作直线，垂足为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，点在线段上，，，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件，，满足，，，，则( )
A.
B.
C. 事件，相互独立
D. 若，则与互斥
10.抛物线：的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有( )
A. 直线过点 B.
C. 的最小值为 D. 当取最小值时，
11.在平面直角坐标系中，为直线：上的动点，点，分别在：，：上，连接，下列说法正确的是( )
A. 过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为
B. 直线是和的一条公切线
C. 的最小值为
D. 连接，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中含的项为 ．
13.已知数列为虚数单位，则的前项和为 ．
14.在平面直角坐标系中，点，，，，双曲线：与焦点为，的双曲线：相交于点点位于第一象限，连接，，，若≌，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求最小值的取值范围．
16.本小题分
某商店为了解消费者对某产品不同品牌的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：
品牌
性别
男性
女性
根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率；
根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联．
附：，其中．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点，．
若点与点重合，求证：；
若，求直线与直线夹角余弦值的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
判断过点是否能作的一条切线，并说明理由；
设，若函数有两个零点，，且．
求证：；
记点，，，若轴上存在两个横坐标大于的点，，使得，，，四点共圆，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在中，内角，，的对边分别为，，若，．
求证：；
求面积的最大值；
，为直线上的两个动点，连接，，记点在每个位置时，的最小值为若，求的取值范围．
参考答案
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13.．
14.．
15.解：已知函数．
则，
令，解得，由于函数在上单调递增，因此是的唯一解，
当时，；当时，，
因此函数的单调减区间为，单调增区间为；
由可知函数在区间单调递减，在区间单调递增，
因此函数在处取到最小值，
令，
则，
令，解得，
当时，；当时，，
因此在区间单调递减，在区间单调递增，
因此在取到最小值，
并且当时，，
因此的取值范围为
即最小值的取值范围为．
16.已知为了解消费者对某产品不同品牌的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，
由表格数据知，女性消费者偏好品牌的概率；
列联表如下，
品牌
性别
男性
女性
由题设，，
所以根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联．
17.解：证明：在平面上的投影为，点与点重合，
平面，平面，，．
四边形为菱形，，，．
，．
，
是以为圆心，以为半径的圆上的点，
以为原点，，分别为，轴，过作的平行线作为，如图所示，
设，则有，则，
，，，，
，，，
设直线与直线所成角为，
则，
，，，，
，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为．
18.解：不能．理由如下：
因为，即，
所以，
所以为椭圆的上半部分，
将点代入椭圆得，，
所以点在椭圆内部，
所以过点不能作的一条切线．
证明：令，
则，
即，
化简得，，
原条件等价于该方程有两个根，，则，
因为，
所以，即，
所以，
整理得，
展开化简可得，得证．
解：由可得，，
所以，，
不妨设点在点左侧，点在点左侧，如图所示，
由，，，四点共圆，得，
又，
所以，
所以∽，
所以，
所以，即，
而
，
所以，
由，解得，
设，则，
因为，所以，
所以，
故的取值范围为．
19.解：证明：因为在中，内角，，的对边分别为，，，
又，，
所以根据正弦定理可得，
所以，
所以，所以；
设中点为，建系如图：
则，设，
由，即，
所以，
化简得点轨迹方程：，
所以当点在时，面积有最大值，
面积的最大值为；
由余弦定理可知：
，
当且仅当时，有最小值，
由图：设边上的高为，
因为，所以，
所以，
当时，，此时，
当时，此时，
当时，此时，
所以，所以．
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