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2026年湖南省湘西州高考数学质检试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，若，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，分别为函数，，的零点，且，，，则( )
A. B. C. D.
8.过一动点向圆：作切线，，切点分别为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数是关于的方程其中，的根，且，则( )
A. B.
C. D. 满足的的最大值为
10.已知为坐标原点，为抛物线：上一点，过的焦点的直线交于，两点不与点重合，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B.
C. 直线，的斜率之和为定值
D. 若直线与的倾斜角互补，则直线的斜率为
11.已知函数的定义域为，，且当时，，若，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 不等式的解集中所有区间的长度之和为区间的长度区间右端点区间左端点
D. 若关于的不等式有且仅有一个整数解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为 ．
13.如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为 ．
14.若直线：与函数和的图象均相切，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
党的二十届五中全会审议通过的中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施人工智能行动”下表是二十届五中全会后第个月某工业园区应用人工智能的工厂个数的数据：
求关于的线性回归方程，并预测第个月该工业园区应用人工智能的工厂个数；
从表中这个月份中随机抽取个月份，记这个月份中应用人工智能的工厂个数大于的月份的个数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
16.本小题分
已知椭圆的短轴长为，离心率为．
求的方程；
直线：与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点，，为坐标原点，若的面积为，求．
17.本小题分
如图所示，在圆台的轴截面中，，为底面圆周上异于，的点，且．
求证：；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
求的极小值；
讨论的单调性；
若存在实数，使得在时恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且满足，，，与，，，均是公差不为的等差数列．
若根据条件，能求出数表中所有的数，则称能被确定．
Ⅰ已知，分别根据下列条件，直接判断数表能否被其确定：
条件：“已知，，”；
条件：“已知，，，”
Ⅱ设条件：“任意给定数表中的个数”，能被确定，证明：的最小值为；
Ⅲ设条件：“已知集合或，其中，，，中的任意个元素”，求的最小值，使得能被确定．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.．
14.
15.解：由表格中的数据可得，
所以
．
故．
故关于的线性回归方程为．
当时，，
故预测第个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为．
由题意可得，，，
所以，
分布列如下：
所以．
16.解：由题意得．
由，得，解得．
所以；
联立，得．
由题意知，，则，化简得．
设，，，
则，即，
所以，
所以直线的方程为，
令，得，令，得．
的面积，
整理得，解得，
故．
17.证明：如图，连接，，．
因为，所以，
由圆台的性质可知，轴截面平面，
又平面，平面平面，所以平面，所以C.
因为且，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形为菱形，所以．
因为，所以平面，
又平面，
故A；
解：如图，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则取．
设平面的法向量为，
则取，
可得，，，
所以，，
故二面角的正弦值为．
18.解：由题，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
因此当时，取得极小值，极小值为；
，
令，，
当，即时，恒成立，即，因此在上单调递减，
当，即时，方程有两个不等实根，，
显然，当时，，单调递增，
当或时，，单调递减；
由题意，当时，恒成立，
即恒成立，
当时，，不等式等价于，
令，因此已知转化为：存在实数，使得对任意恒成立，
若，当时，，，
当时，，因此，此时不存在满足条件的实数，
若，
令，，因此在上单调递减，
因此当时，，因此，
因此，只要即有，符合条件，
综上所述，的取值范围是．
19.解：Ⅰ数表不能被确定；数表能被确定，
对于条件，假设数表中每行、每列的公差都相等，均为，
则，，，
则，、均无法确定，故数表不能被确定；
对于条件，因为、确定，可以根据确定，则第二行可以全部确定，
低于第二列，由于确定，结合可确定第二列的公差，进而可求出，则第二列可以全部确定，
对于第三行，由于确定了，结合可求出第三行的公差，由此可确定，则第三行可以全部确定，
对于第一列，由于确定了、可以求出第一列的公差，由此可确定，则第一列可以全部确定，
综上所述，数表可由条件确定；
Ⅱ证明：对于一个公差为的等差数列，，，，若知其中两项与，
便可根据，求出该等差数列中的每一项，
故对于数表中的任意一行或列，若知道其中的两个数，便可利用条件得到该行或列中的所有数，
一方面，若知，，，，，，，这个数，
则无法求出，故不能得出数表中所有的数，所以，
另一方面，若知数表中的任意个数，则必存在表中的两行，且这两行中至少有两个数已知，
于是数表中这两行的数都能被求出，即数表中每一列都至少有两个数已知，
所以数表中所有的数都能求出，即能被确定，
综上，的最小值为；
Ⅲ当时，若知中的个数，则不能求出中所有的数，
当时，已知与中的任意个数，
则必存在两个数在中位于同一行记为第行，从而可求出这一行中的所有数，
因为与中至多有两个数在同一行，
所以除去第行的两个数外，余下已知的个数必在其余的行中，
当时，通过列举可知：余下已知的个数不在同一列中所在列分别记为第列和第列；
当时，，
因为在与中至多有两个数在同一列，
所以至少有两列记为第列和第列中含有这已知的数中的数，
又因为第行的数均已得到，
所以在第列与第列中均至少知道两个数，故这两列中所有的数都可求出，
于是数表中每一行至少有两个数均已得到，从而可求出数表中所有的数，
综上，的最小值为．
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