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北京市平谷中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，那么函数在处的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.一袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的个白球和个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是( )
A. B. C. D.
4.从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
6.展开式中含的系数( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数 环数 环数
频数 频数 频数
、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )
A. B. C. D.
8.的展开式中二项式系数之和为，则展开式中的常数项是
A. B.
C. D.
9.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，若对于任意都有，则实数的范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知随机变量的分布列为
则 ， ．
12.展开式中只有第项的二项式系数最大，则各项系数之和为 ．
13.六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻不同排法种数为 用数字作答
14.若，则的值为 ．
15.已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
在区间上单调递增；
有个极大值点；
的值域为；
如果时，的最小值是，那么的最大值为．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛该校高三年级共个班，规定每班人参加，其中人摇绳，人跳绳，在分钟内跳绳个数超过个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军．为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据单位：个：
高三班：，，，，，，，，，；
高三班：，，，；
高三班：，，，；
高三班：，，，，，．
假设用频率估计概率，且高三年级各班在分钟内的跳绳个数相互独立．
Ⅰ估计高三班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率；
Ⅱ用表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计的数学期望；
Ⅲ在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？结论不要求证明
17.本小题分
近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，年月至年月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下单位：万辆：
月 月 月 月 月 月
轿车
Ⅰ从年月至年月中任选个月份，求该月零售销量超过这个月该车型月度零售销量平均值的概率；
Ⅱ从年月至年月中任选个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ记年月至年月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到个数据的方差为，写出与的大小关系．结论不要求证明
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点．
求证：平面；
再从条件，条件两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件：；
条件：
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
设函数，求的单调区间；
判断极值点的个数，并说明理由．
20.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
求函数的单调区间．
21.本小题分
已知椭圆经过点，离心率为．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积是定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ记事件为“高三班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，
由题中数据可知，高三班共训练次，跳绳个数超过个的共次，
用频率估计概率，则，
故估计高三班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率为．
Ⅱ记事件为“高三班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，其中，，，，
用频率估计概率，可得，，，
随机变量的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以估计的数学期望．
Ⅲ高三年级四个班跳绳个数的平均数分别为
，
，
，
，
所以最大，即在分钟内，高三班的跳绳个数最多，
故在此次跳长绳比赛中，高三班获得冠军的概率估计值最大．
17.解：Ⅰ由表格得这个月车型月度零销售量平均值为
，
则零售销量超过这个月该车型月度零售销量平均值的月份有月，月，月，
该月零售销量超过这个月该车型月度零售销量平均值的概率为；
Ⅱ从年月至年月中，，的月度零销售量相比上个月份增加的月份有个：月和月，
随机变量的可能取值为，，，
则，，，
故随机变量的分布列为
的数学期望；
Ⅲ由题意得年月至年月轿车月度零售销量分别为，，，，，，
则这个月轿车月度零销售量平均值为，
，
又同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到个数据为，，，，，，
这个数据的平均值为，
，
，
．
18.解：取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中点，所以有 且 ，
因为 ， ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
选择条件：
因为平面 平面 ， 为矩形， ，
平面 平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ，由可知 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ，故 平面 ，
以为原点，以 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 平面 ，故 可作为平面 的法向量，
则平面 与平面 夹角的余弦值 ．
选择条件： ．
因为平面 平面 ， 为矩形，
平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，而在平面中，所以 ，
又因为 ，
取 中点为 ，连接 ， ，
则有 ， ，
所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，
平面 ，故 平面 ，
以为原点，以 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 平面 ，故 可作为平面 的法向量，
则平面 与平面 夹角的余弦值 ．

19.解：由题意知，定义域为，
所以，
所以直线的斜率，，
所以切线方程为，即．
由知，
所以，
令，即，解得或，
当，，
当，，
当，，
所以在，单调递增，在单调递减．
个极值点，理由如下：
由知当时，在区间上单调递增，
，，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递减，
，，
所以存在唯一，使；
当时，，，所以
所以在区间无零点；
综上，当，，
当，，
当，，
所以当时，取到极小值；当时，取到极大值；
故有个极值点．

20.解：由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．

21.解：因为椭圆过点代入椭圆方程，可得，
又因为离心率为，
所以，从而，
联立，解得，，
所以椭圆方程为；
证明：把代入椭圆方程，
得，
所以，
设，，
则，，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以点坐标为，
又因为点在椭圆上，
所以，
整理得，，所以，
因为，
又点到直线的距离，
所以平行四边形的面积为：
，
即平行四边形的面积为定值．
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