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北京市十一学校顺义学校2025-2026学年下学期期中教与学质量监测高二数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在的展开式中，的系数为
A. B. C. D.
2.在数列中，，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算中错误的是( )
A. B.
C. D.
4.将一枚均匀硬币随机掷次，恰好出现次正面向上的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列中，，公差，如果，，成等比数列，那么等于( )
A. 或 B. C. D.
6.在中国农历中，一年有个节气，“立春”居首北京年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧墩墩同学要从个节气中随机选取个介绍给外国的朋友，则这个节气中含有“立春”的概率为( )
A. B. C. D.
7.若数列的通项公式是则( )
A. B. C. D.
8.设为等比数列，则“为递增数列”是“存在，使得”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：
函数在区间上是增函数．
其中正确的判断是( )
A. B. C. D.
10.已知函数无最小值，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.若则 ，
12.设数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值为 ．
13.已知个等差数列，，，其中数列的前项和记为，请写出两个等差数列与的通项公式，使得对于任意等差数列，其前项和都不恒等于 ，
14.已知函数若，则不等式的解集为 若恰有两个零点，则的取值范围为
15.已知，，则下列说法正确的有 ．
的值域为； 时，恒有极值点；
恒有零点； 对于，恒成立．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
若数列是首项为，公比的等比数列，求数列的前项和．
17.已知函数
求在处的切线方程；
求的单调区间，并求在上的最大值．
18.入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果活动中，高三年级名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战现将投壶结果统计如下表．
壶 壶 壶
投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中
高三年级
假设用频率估计概率
若从所有选择投壶的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶的概率．
投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶开始，按照壶、壶、壶的次序，进行投壶挑战每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望．
为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶，一共投次假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶的频率估计这位学生投中壶的概率，那么在投完次之后，这位同学投中壶多少次的概率最大只需写出结论
19.已知椭圆点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的右焦点，且．
求椭圆的方程：
设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．
20.已知函数
当时，求证：；
若在处取得极大值，求实数的取值范围；
若关于的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围
21.已知数列：，，，是递增的整数数列，，定义数列的“相邻数列”为：，，，，其中，，或，，，，．
Ⅰ若，数列：，，，，写出的所有“相邻数列”；
Ⅱ若，数列满足，，且的所有“相邻数列”均为递增数列求满足条件的数列的个数；
Ⅲ若，数列满足，，且存在的一个“相邻数列”，使得对任意，，，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：设等差数列的公差为，则，解得
因此，．
故．
由题意知，，所以．
所以
．
故．

17.解：由函数，可得，
求导得，则得，
故在处的切线方程为．
由得，
当或时，，当时，，
因此的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则的极大值为，极小值为，
又，，
由于，
故在上的最大值为．

18.解：由频率估计概率可知，从所有选择投壶的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶的概率为．
由题意知，壶投中的概率为，壶未投中的概率为，
壶投中的概率为，壶未投中的概率为，
壶投中的概率为，壶未投中的概率为，
这位学生在“过关比赛”中投中次数的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
所以这位学生在“过关比赛”中投中次数的分布列为
则．
壶投中的概率为．
记这位同学投中壶的次数为，则．
则，．
假设投中壶的次数为时概率最大，则
，即
解得，又，所以．
投完次之后，这位同学投中壶的次数为时，概率最大．

19.解：由题意可得，又因为，所以为等腰直角三角形，
因此，则，故椭圆方程为．
设过点且斜率不为的直线方程为，
设交点坐标为，
联立直线方程和椭圆方程得出，
化简得，根据韦达定理得，
设定点使点到直线的距离与点到直线的距离相等，
又因为点与点都在轴上，故直线与直线的倾斜角互为相反数，
即，化简得，
又，点在直线上，故，
化简得，再根据韦达定理得，
当时，，则点坐标为；
当时，与为全等三角形且为直角三角形，故坐标为也满足条件，
综上所述存在点坐标为使点到直线的距离与点到直线的距离相等．


20.解：证明：当时，，求导得：，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因此的最大值为，故，得证．
对求导并因式分解得：，
若：恒成立，时，时，
处取极大值，符合要求；
若：，时，时，
处取极大值，符合要求；
若：，单调递增，无极值，不符合；
若：，时，时，
处取极小值，不符合．
综上，的取值范围为：
整理方程，代入化简得：．
设，则有两个不同零点，，
若：，单调递增，最多个零点，不符合；
若：令得，在递增，递减，
最大值为．
要存在两个零点，需最大值大于，即，得，
即，且和时，故有两个零点，
综上，的取值范围为：．

21.，，，；，，，；，，，；，，， Ⅱ个 Ⅲ
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