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2025-2026学年广西桂林市十二县联考高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线上一点到焦点的距离是，则其准线方程为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.如图，一圆形信号灯分成，，，四块灯带区域，现有种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择种颜色，且相邻的块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为( )
A.
B.
C.
D.
8.对于三次函数，给出如下定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 一组样本数据，，，的平均数等于，，，的平均数
B. 样本数据，，，，的标准差大于方差
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
11.过点且与曲线相切的直线方程可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为 用数字作答
13.已知数列的递推公式，且首项，则______．
14.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值，其中，．
求，的值；
当时，求的最大值和最小值．
16.本小题分
已知的前项和，且．
求的通项公式；
若，求的前项和．
17.本小题分
如图所示，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，，分别为，的中点．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线的中心在原点，是的一个顶点，是的一条渐近线．
求的方程；
设，为的右支上动点，当取得最小值时，求四边形的面积；
若过点的直线与交于，两点都异于点，证明：．
19.本小题分
已知函数．
若，证明：：
若，，都有，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.．
15.解：由求导得，
依题意可知，即，解得，
此时，，由求得或，
当时，，函数递增，当时，函数递减，
故时，函数取得极大值，故．
由得，，
令解得或，因，
故当时，函数递减，当时，函数递增，
当 时， 取得极小值，无极大值，所以 ，
所以在区间上，的最大值为或，而，．
所以在区间上的最大值为，最小值为．
16.证明：，，
两式相减整理可得，
时，，
，
，
时，舍去，
成等差数列，首项为，公差为，
，
的前项和
17.解：证明：连接，由四边形是菱形，，
是等边三角形，又是的中点，则，故DE，
在直四棱柱中，平面，
而平面，平面，
所以，，
所以，，两两互相垂直，
以为原点，以直线，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，则，
所以，
令，则，
即，
而，
又平面，
所以平面．
由知平面的一个法向量，
结合图形可知平面的一个法向量可以为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：因为双曲线的中心在原点，的一个顶点是，
所以设的方程为，
的渐近线方程为．
因为是的一条渐近线，所以，所以的方程为．
解：依题意，设，则，
即，
所以，
当时，，此时．
连接，
则四边形的面积
，
即四边形的面积为；
证明：显然直线不垂直于轴，设直线的方程为设，，
由消去得，
当时，恒成立．
则，，
因为，，
可得
，
即．
19.证明：若，，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故；
解：不妨设，所以，即，
所以函数在上单调递增，
令在上恒成立，
令，．
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，，在上单调递增，，
在上恒成立，
综上所述，的取值范围为．
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