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湖南长沙市铁路第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥 B． C． D．
7．如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ）
A．函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4
B．三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2
C．数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4
D．立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6
10．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点到抛物线的准线的距离为8
B．
C．若的中点的横坐标为3，则
D．若，则
11．已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则所有可能取值的集合为
C．若，则
D．若为正整数，则的前项和为
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线方程为__________.
13．的展开式中所有项的系数和为__________．
14．已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求的表达式．
16．为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．
(1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；
(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．
17．如图，在直三棱柱中，．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点．
(1)求轨迹W的方程；
(2)过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标．
19．已知，函数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)证明：当时，对任意，，都有；
(3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．D
2．D
3．B
4．C
5．C
6．C
7．D
8．B
9．AC
10．BCD
11．BCD
12．
13．243
14．
15．（1）因为，
所以（，）．
所以（，）．
又也满足上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
所以，
．
两式作差得，
．
16．（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．
设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则
．
（2）由题意可知，3，4，5，
则，
，
，
，
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
．
17．（1）

连接交于，
∵三棱柱为直棱柱，平面，
∵平面，∴，
∵.
∴四边形为正方形，∴，
，，，平面.
平面，
∵平面，∴.
又，，平面.
平面.
平面，.
（2）

以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系.
由题意得：.
则.
设平面的法向量为.
则，令，则.
.
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）存在，理由如下：
设()，则.
.
若平面，则，解得，
存在点，使平面，此时.
18．（1）设动点为．
则由直线，斜率之积为3，得，
整理可得．
因此轨迹W的方程为．
（2）（ⅰ）设直线的方程为，，，则．
由得，．
故，
直线的方程为，直线的方程为，
由解得．
同理解得．
故，
因此．即点F是线段的中点，
因此为定值．
（ⅱ）方法一：不妨假设点P在第二象限，点Q在第一象限，
此时，，得．
由题意（*）．
由（ⅰ）得，．
代入（*）化简得，
得，即，
解得或（舍去），
因此，代入双曲线方程得．
由对称性可得当点Q在第四象限时，，．
因此点Q的坐标为．
方法二：由题意，
利用结合，可得．
不妨设，则，
得，，
得．
因此，得．
解得（负值舍去）．
故，因此，代入双曲线方程得，
因此点Q的坐标为．
方法三：不妨设，，．
因为利用结合，得，
由，得，
化简得，解得．
因此．
故，因此，代入双曲线方程得，
因此点Q的坐标为．
19．（1）由，得.
令，解得，，
当时，；当时，；
当时，.
所以在、上单调递增，在上单调递减，
因此，的极小值为；
（2）当时，，其中时取等号，
所以为增函数，
对任意的，，不妨设，则，
又，
所以为增函数，得，即，
故；
（3）由题意，不妨设，，
因为，所以，
整理得，，
令，，.
①当时，，
此时.
②当时，令，解得，
因此，在上单调递减，在上单调递增，故，
法一：因为，
又因为，得，即
所以，
记，，
则，
因为，所以，
即，
因此，当时，，
又，
综上，，
法二：求最小值的第二种解法.
令，因为，，所以，
下证：，
因为
，
只需证：，
只需证：，
令，则，
因为，
所以，即恒成立，
因此，，
令，则，对于，，
所以，当且仅当时，.
所以a的取值范围是.

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