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四川省成都市双流区天府第七中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
1．下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知实数a、b，若，则下列结论中，不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B．3或 C． D．0
4．用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．将两个矩形按如图放置，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
7．如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．若， 则 =　 　．
10．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是　 　边形．
11．如图，函数的图象过点，则不等式的解集是　 　．
12．若多项式 的一个因式是 ，则k的值为　 　.
13．如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段　 　．
14．（）解方程：．
（）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
15．先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）把向上平移个单位长度得，A、B、C的对应点分别是、、，请画出；
（2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，请画出（A、B、C的对应点分别是，，，并写出的坐标；
（3）在（2）条件下，求边扫过的面积．
17．教材理解页：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
（1）已知：如图，是的中位线求证：，；
（2）应用：如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，若，求的长．
18．如图，在平面直角坐标系点中，，点在轴正半轴上且，直线的图象交轴于点．
（1）求直线的表达式；
（2）在轴上找一点，使，求点的坐标；
（3）如图，点是射线上一动点，过点作交轴于点，连接，当与以点、、为顶点的三角形相似时，求点的坐标．
19．在数轴上，与最接近的整数是　 　．
20．若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有　 　个．
21．在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码，将个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号．
字母
序号
字母
序号
按上述规定，将明码“”译成密码是　 　填写由个大写字母组成的密码
22．如图，在中，，，为的中点，为边上一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则的长为　 　．
23．如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则　 　．
24．某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍．
（1）求A、两种商品每件售价各多少元；
（2）商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
25．在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点．
（1）如图，求直线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值；
（3）如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
26．在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．
【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值．
【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值．
【拓展应用】如图，与直线交于点，．
（）当且点在线段上时，的值．
（）当且点在的延长线上时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、为一元一次方程，不符合题意；
B、为一元二次方程，符合题意；
C、为一元三次方程，不符合题意；
D、，只有时，才是一元二次方程，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴-2a+1＞-2b+1，故A不符合题意；
B、∵a＜b，∴，必须规定x≠0，故B符合题意；
C、∵a＜b，∴，故C不符合题意；
D、∵a＜b，∴a+x＜b+x，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据不等式的基本性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，逐项判断即可解答．
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依据题意得：，
，
解得：，
，
，
，
故选：C．
【分析】
本题考查了分式有意义和分式的值为的条件（分子为零且分母不为零），先令分子为零求出可能的解，再排除使分母为零的解，得到最终结果.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
即．
故答案为：C.
【分析】此题中的一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，故利用配方法解方程时，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方差公式分解因式，右边合并同类项即可.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；邻补角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵∠4=90°，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】由邻补角求出∠3=65°，由矩形四个内角都是直角及直角三角形两锐角互余得出∠5=25°，最后根据角的构成可求出∠2的度数.
6．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵
∴
方程两边同乘x－3，得1＋3(x－3)＝－(m－x)，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 x－3＝0，
解得x＝3，
把x＝3代入1＋3(x－3)＝－(m－x)，得m＝2，
故答案为：B.
【分析】分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：点，分别是的三等分点，
，，
，，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由点，分别是的三等分点，推导出，，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出；同理得到，求得，从而即可求出△ADE与四边形FBCG的面积之比.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布总价896文，
∴绫布每尺价格为文；
∵罗布总价896文，
∴罗布每尺价格为文；
又∵绫布和罗布各一尺共值120文，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有(30-x)尺，根据总价除以数量等于单价得出绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，然后根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出方程即可.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将 变形，把 代入即可求解.
10．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5.
【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式(n-2) ×180°及多边形的内角和等于540°即可建立方程，求解即可。
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：对一次函数，观察它的图象可得：当时，函数值满足，也就是，
因此不等式的解集就是.
故答案为：.
【分析】从图象角度看，求不等式kx+b≤3的解集，就是求一次函数y=kx+b的图象在点(2，3)及该点下方部分相应的自变量的取值范围，结合图象即可得出答案.
12．【答案】2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：设另一个因式为x+n，
得x2-3x+k=（x-2）（x+n），
则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，
∴
解得：n=-1，k=2，
∴另一个因式为x+1，
故答案为2.
【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可．
13．【答案】2
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，如图，
四边形为正方形，
，
在中，，
，
由作法得平分，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作于点，由正方形的每一条对角线平分一组对角得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出；由题干给的作图过程可得CN平分，由角平分线的定义得到，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出；由三角形外角性质推出，由等角对等边得到．
14．【答案】解：（1）∵，
∴
方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2），
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集是，
把不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先将方程右边分式的分母利用平方差公式分解因式，然后方程两边同乘(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根；
（）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
15．【答案】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把括号内的整式x看成分母为1的式子，通分计算括号内异分母分式的减法，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而将各个分式的分子分别分解因式，接着计算分式乘法，约分化简；由已知方程可得出-x2+x=-2，从而整体代入可得答案.
16．【答案】（1）见解析；
（2）解：作图见解析，点A2的坐标为（2，-3）.
（3）解：如图，∵B（-1，-1），C（0，-3），O（0，0），
∴，，
又∵，
边扫过的面积．
【知识点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）∵点A（-3，-2），点B（-1，-1），点C（0，-3），将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，
∴点A1（-3，2），点B1（-1，3），点C1（0，1），
在坐标系中描出点A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）图，△A2B2C2就是所求的三角形，点A2的坐标为（2，-3）.
【分析】（1）根据点的坐标得平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”得出点A1、B1、C1的坐标，在坐标系中描出点A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据两点间的距离公式分别算出OB、OC，然后根据BC扫过的面积等于扇形COC2与扇形OBB2面积的差，结合扇形的面积公式列式计算即可.
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求作，的坐标；
（3）如图，
，，，
边扫过的面积．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了作图平移变换，旋转作图，旋转的性质，扇形面积的计算，数形结合是解题的关键．
17．【答案】（1）证明：延长到，使，连接，如图所示：
是的中位线，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，；
（2）解：连接，，如图所示：
四边形是矩形，，
，，
由折叠性质得：，，
，
与重合，
即点，，共线，
是的垂直平分线，
点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到，使，连接，依据“”证出△CEP≌△AED，由全等三角形的性质得，，由内错角相等，两直线平行得出，由中点定义及等量代换得出CP=BD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BDPC是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得出，，再根据即可得出结论；
（2）连接，，由折叠性质得，，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直得出点，，共线，且点是的中点，由三角形中位线定理得出cm；在中，由勾股定理得，继而得，由矩形对边相等得，在中，由勾股定理得，最后根据DF=AD-AF可算出答案.
（1）证明：延长到，使，连接，如图所示：
是的中位线，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，；
（2）解：连接，，如图所示：
四边形是矩形，，
，，
由折叠性质得：，，
，
与重合，
即点，，共线，
是的垂直平分线，
点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
18．【答案】（1）解，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）解：令中的x=0，得y=，
∴直线与轴的交点，
∴点关于轴的对称点为，
此时，
；
过点作交于点，
，，
，
∽，
，即，
解得，
，
，
设，
，
解得或舍，
，
点关于点的对称点为，
同理得：直线的解析式为，
∴直线与轴的交点为，
；
综上所述：点坐标为或；
（3）解：过点作轴交于，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，
∵，
∽，
，
，
，，
，，
当∽时，，
，
解得或舍，
；
当∽时，，
，
解得（不符合题意，舍去）；
∴，（不符合题意，舍去）
综上所述：点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由点A的坐标得出OA=3，再结合得出OB=4，从而得到点B(0，4)，进而用待定系数法求出函数AB的解析式即可；
（2）满足条件的点有两个，①令直线AC解析式中的x=0，算出y=，从而得到点，根据轴对称的性质，点C关于轴的对称点为所求的点Q，从而根据关于x轴对称点的坐标特点得到点；②过点作交于点，由有两组角相等的两个三角形相似得出∽，由相似三角形对应边成比例建立方程求出；从而利用“HL”证明△ACM≌△ACO，由全等三角形的对应角相等得到；设，利用两点间的距离公式结合CM的长度建立方程求出m得值，从而得到点，点关于点的对称点为，利用待定系数法求出直线AN的解析式，再找出直线AN与y轴的交点，该点就是所求的点Q；
（3）过点作轴交于，由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得出∠ABO=∠PQH，从而由有两组角相等的两个三角形相似可证明∽，由相似三角形对应边成比例得到，设，则；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出∽，由相似三角形对应边成比例得到，则，，，，；然后分当∽时与当∽时，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，结合两点间的距离公式，求出x的值，从而判断确定出x的值，即可求出点P的坐标.
（1）解，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）当时，直线与轴的交点，
点关于轴的对称点为，
此时，
；
过点作交于点，
，，
，
∽，
，即，
解得，
，
，
设，
，
解得或舍，
，
点关于点的对称点为，
同理得：直线的解析式为，
∴直线与轴的交点为，
；
综上所述：点坐标为或；
（3）过点作轴交于，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，
∵，
∽，
，
，
，，
，，
当∽时，，
，
解得或舍，
；
当∽时，，
，
解得（不符合题意，舍去）；
∴，（不符合题意，舍去）
综上所述：点坐标为．
19．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与最接近的整数是3．
故答案为：3．
【分析】根据被开方数越大，其立方根就越大估算出在3和3.5之间，从而即可得出答案.
20．【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式的应用；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解分式方程，
可得，
∵为正整数，为正整数，
∴且，解得，
∵，
∴，即有，
∴，
∴，12，9，3，
∴符合条件的所有正整数的个数有4个．
故答案为：4．
【分析】解分式方程可得，再根据x为正整数判断即可求出答案.
21．【答案】
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：由表格可知，明码“”对应的数字为13，12，17，25，
∵当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∵20对应的字母为T，6对应的字母为F，17对应的字母为Q，26对应的字母为Z
∴明码“”译成密码是，
故答案为：．
【分析】先根据表格提供的信息，写出明码“MLGY”对应的序号，再根据“ 明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号 ”求出y的值，最后将y的值与表格对照即可写出密码.
22．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，，过点作于点，过点作于点，于点，如图所示：
在中，，，，
，
为的中点，
，
的面积是的倍，
，
，
，
于点，
，，
，
，
，
，
由折叠性质得：，，，
于点，于点，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
的长为．
故答案为：．
【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，于点，先求出，则，由同高三角形面积之间得关系就是对应底之间的关系可推出，进而得；由折叠性质得，，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，在由等高三角形面积之间得关系就是对应底之间的关系得出BE=2EF，则，从而得，由对角线互相平分得四边形是平行四边形可判定四边形AB'DE是平行四边形，由平行四边形的对边相等得，然后在中，由勾股定理即可求出CE的长.
23．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，由中垂线性质可知，如图所示，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
，，
，，
∴．
由勾股定理可得，
∴．
作于点，如图所示，
平分，
，
，，
．
，即，
解得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
过点作交的延长线于点，如图所示，
，
平分，
，
，
．
由，可得，
，即，
整理可得，进一步整理得，
解得（负根舍去），
即的长为，
故答案为：．
【分析】连接，由中垂线线上的点到线段两端点的距离相等及已知得AE=CE=ED，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠ACD=90°；设，由，可得，则，由勾股定理可得；作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得；由有两组角相等的两个三角形相似得∽，由相似三角形对应边成比例建立方程可得；利用“HL”证，由全等三角形的对应边相等可得，由线段和差表示出AB；过点作交的延长线于点，利用平行线性质和角平分线可得∠G=∠CAG，由等角对等边得出；由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似可得∽，由相似三角形对应边成比例建立方程并整理得，求解得出x得孩子，即得BD的长．
24．【答案】（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元，
用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
种商品每件售价元，种商品每件售价元；
（2）解：根据题意得：
，
，
当时，取最大值，最大值为元，
种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种商品每件售价x元，则B种商品每件售价(x+5)元，利用总价除以单价等于数量及“用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍“列方程并检验，即可得到答案；
（2）根据每件商品的利润乘以每天销售商品的数量等于每天获取的总利润剪出w关于a的函数关系式，再由所得函数性质求出最值即可.
（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元，
用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
种商品每件售价元，种商品每件售价元；
（2）解：根据题意得：
，
，
当时，取最大值，最大值为元，
种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元．
25．【答案】（1）解：令中的x=0，得，
，
令中的y=0，得，
，
点为线段的中点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，
设，则，
，
四边形的面积的面积的面积
，
解得，
，
作A点关于轴的对称点A'，则，
连接GA'，过点作，且FH=A'G，连接A'H，
四边形GA'HF是平行四边形，
∴，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，
∵H(2，-2)，P(3，5)，A(0，2)
，
四边形周长最小值为，
四边形周长最小为；
（3）解：存在，点横坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下：
将沿着射线方向平移个单位长度，
沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移8个单位长度，
，，
设，
当时，，
解得，
点横坐标为，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点的横坐标为；
当时，，
解得，
点的横坐标为，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或．
【分析】（1）分别令中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A与B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点E的坐标，进而结合点C、E的坐标，利用待定系数法求出直线l2的解析式；
（2）过点作轴交AB于点Q，根据点的坐标与图形性质，设，则，根据两点间的距离公式表示出PQ，由S四边形PACB=S△ABC+S△PAB，结合三角形面积计算公式建立方程求出t的值，可求；作A点关于轴的对称点A'，则，连接GA'，过点作，且FH=A'G，连接A'H，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形A'GFH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得GF=A'H=2，则H(2，-2)，当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，可求四边形AGFH周长最小值为AP+GF+PH，利用两点间的距离公式算出PH、AP即可求出答案；
（3）根据平移可知△ACB沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，则，，由点的坐标与图形性质设，当时，点横坐标为，再由点的平移可求点的横坐标为；当时，点横坐标为，再由点的平移可求点横坐标为．
（1）解：当时，，
，
当时，，
，
点为线段的中点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，
设，则，
，
四边形的面积的面积的面积
，
解得，
，
作点关于轴的对称点，则，
连接，过点作，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，
，
四边形周长最小值为，
四边形周长最小为；
（3）解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下：
将沿着射线方向平移个单位长度，
沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，
，，
设，
当时，，
解得，
点横坐标为，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点的横坐标为；
当时，，
解得，
点的横坐标为，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或．
26．【答案】初步探究：，，
，是等边三角形，
∴，
，
，
，平分，
，
∴∠ADC=∠CDF+∠ADF=60°+∠CDF=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，
，
，
；
类比迁移：如图，
作于，
，，
，
同理初步探究可得，，
，
不妨设，，则，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
拓展应用：（）如图，
由题意不妨设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
作的垂直平分线，交于，作于，作，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，，
设，，
在中，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（）如图，
，
，
设，则，，
，
，
作的垂直平分线，交于，作于，
，
，
，
，
，
由（）可得，，
，
由得，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】初步探究：由三角形的内角和及等边对等角得出∠B=∠C=60°，由有一个内角为60°的等哟啊三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，由等边三角形性质得出AB=BC，由角平分线的定义得出∠ADF=60°，根据三角形内角和定理及、平角定义可推出∠BAD=∠CDF，从而由由两组角相等的两个三角形相似得出△ABD∽△DCF，由相似三角形对应边成比例即可求出求解；
类比迁移：作于，同理初步探究可得，从而，不妨设，，则，，由等腰直角三角形的性质求出BG=DG=1，然后根据线段和差得出AG=2，进而利用勾股定理算出AD，从而得出CF，DF的值；由由两组角相等的两个三角形相似可证得，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出EF，再根据线段和差算出CE，从而即可求CE与CF的比值；
拓展应用：（）由等边对等角、三角形的内角和定理及角的构成可推出，，则；作的垂直平分线，交AB于G，作于，作；由有两组角相等的两个三角形相似证，由相似三角形对应边成比例得出，故设，，，设，，在中，根据勾股定理建立方程，从而求得，根据建立方程，从而得出，从而即可求出BD、CD的长，最后逑BD与CD的比值；
（）由等边对等角可设，则，，从而得出，，作的垂直平分线，交于，作于，从而得出，，进而得出，可表示出，，根据得出的值，进而即可求解．
1 / 1四川省成都市双流区天府第七中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
1．下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、为一元一次方程，不符合题意；
B、为一元二次方程，符合题意；
C、为一元三次方程，不符合题意；
D、，只有时，才是一元二次方程，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此逐一判断得出答案.
2．已知实数a、b，若，则下列结论中，不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴-2a+1＞-2b+1，故A不符合题意；
B、∵a＜b，∴，必须规定x≠0，故B符合题意；
C、∵a＜b，∴，故C不符合题意；
D、∵a＜b，∴a+x＜b+x，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据不等式的基本性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，逐项判断即可解答．
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B．3或 C． D．0
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依据题意得：，
，
解得：，
，
，
，
故选：C．
【分析】
本题考查了分式有意义和分式的值为的条件（分子为零且分母不为零），先令分子为零求出可能的解，再排除使分母为零的解，得到最终结果.
4．用配方法解方程时，配方后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
即．
故答案为：C.
【分析】此题中的一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，故利用配方法解方程时，首先将常数项移到方程的右边，然后方程的两边都加上一次项系数一半的平方“4”，左边利用完全平方差公式分解因式，右边合并同类项即可.
5．将两个矩形按如图放置，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；邻补角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵∠4=90°，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】由邻补角求出∠3=65°，由矩形四个内角都是直角及直角三角形两锐角互余得出∠5=25°，最后根据角的构成可求出∠2的度数.
6．若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵
∴
方程两边同乘x－3，得1＋3(x－3)＝－(m－x)，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 x－3＝0，
解得x＝3，
把x＝3代入1＋3(x－3)＝－(m－x)，得m＝2，
故答案为：B.
【分析】分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
7．如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：点，分别是的三等分点，
，，
，，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】由点，分别是的三等分点，推导出，，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方得出；同理得到，求得，从而即可求出△ADE与四边形FBCG的面积之比.
8．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布总价896文，
∴绫布每尺价格为文；
∵罗布总价896文，
∴罗布每尺价格为文；
又∵绫布和罗布各一尺共值120文，
∴．
∴．
故答案为：B．
【分析】设绫布有x尺，则罗布有(30-x)尺，根据总价除以数量等于单价得出绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，然后根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出方程即可.
9．若， 则 =　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将 变形，把 代入即可求解.
10．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是　 　边形．
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5.
【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式(n-2) ×180°及多边形的内角和等于540°即可建立方程，求解即可。
11．如图，函数的图象过点，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：对一次函数，观察它的图象可得：当时，函数值满足，也就是，
因此不等式的解集就是.
故答案为：.
【分析】从图象角度看，求不等式kx+b≤3的解集，就是求一次函数y=kx+b的图象在点(2，3)及该点下方部分相应的自变量的取值范围，结合图象即可得出答案.
12．若多项式 的一个因式是 ，则k的值为　 　.
【答案】2.
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：设另一个因式为x+n，
得x2-3x+k=（x-2）（x+n），
则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，
∴
解得：n=-1，k=2，
∴另一个因式为x+1，
故答案为2.
【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可．
13．如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段　 　．
【答案】2
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点，如图，
四边形为正方形，
，
在中，，
，
由作法得平分，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作于点，由正方形的每一条对角线平分一组对角得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出；由题干给的作图过程可得CN平分，由角平分线的定义得到，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出；由三角形外角性质推出，由等角对等边得到．
14．（）解方程：．
（）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：（1）∵，
∴
方程两边同乘，
得，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2），
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集是，
把不等式组的解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）先将方程右边分式的分母利用平方差公式分解因式，然后方程两边同乘(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根；
（）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
15．先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
【答案】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先把括号内的整式x看成分母为1的式子，通分计算括号内异分母分式的减法，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而将各个分式的分子分别分解因式，接着计算分式乘法，约分化简；由已知方程可得出-x2+x=-2，从而整体代入可得答案.
16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）把向上平移个单位长度得，A、B、C的对应点分别是、、，请画出；
（2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，请画出（A、B、C的对应点分别是，，，并写出的坐标；
（3）在（2）条件下，求边扫过的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）解：作图见解析，点A2的坐标为（2，-3）.
（3）解：如图，∵B（-1，-1），C（0，-3），O（0，0），
∴，，
又∵，
边扫过的面积．
【知识点】扇形面积的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）∵点A（-3，-2），点B（-1，-1），点C（0，-3），将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，
∴点A1（-3，2），点B1（-1，3），点C1（0，1），
在坐标系中描出点A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1，△A1B1C1就是所求的三角形；
（2）图，△A2B2C2就是所求的三角形，点A2的坐标为（2，-3）.
【分析】（1）根据点的坐标得平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”得出点A1、B1、C1的坐标，在坐标系中描出点A1、B1、C1，顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2，顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据两点间的距离公式分别算出OB、OC，然后根据BC扫过的面积等于扇形COC2与扇形OBB2面积的差，结合扇形的面积公式列式计算即可.
（1）如图，即为所求；
（2）如图，即为所求作，的坐标；
（3）如图，
，，，
边扫过的面积．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了作图平移变换，旋转作图，旋转的性质，扇形面积的计算，数形结合是解题的关键．
17．教材理解页：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
（1）已知：如图，是的中位线求证：，；
（2）应用：如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：延长到，使，连接，如图所示：
是的中位线，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，；
（2）解：连接，，如图所示：
四边形是矩形，，
，，
由折叠性质得：，，
，
与重合，
即点，，共线，
是的垂直平分线，
点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到，使，连接，依据“”证出△CEP≌△AED，由全等三角形的性质得，，由内错角相等，两直线平行得出，由中点定义及等量代换得出CP=BD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BDPC是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得出，，再根据即可得出结论；
（2）连接，，由折叠性质得，，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直得出点，，共线，且点是的中点，由三角形中位线定理得出cm；在中，由勾股定理得，继而得，由矩形对边相等得，在中，由勾股定理得，最后根据DF=AD-AF可算出答案.
（1）证明：延长到，使，连接，如图所示：
是的中位线，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，；
（2）解：连接，，如图所示：
四边形是矩形，，
，，
由折叠性质得：，，
，
与重合，
即点，，共线，
是的垂直平分线，
点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长为．
18．如图，在平面直角坐标系点中，，点在轴正半轴上且，直线的图象交轴于点．
（1）求直线的表达式；
（2）在轴上找一点，使，求点的坐标；
（3）如图，点是射线上一动点，过点作交轴于点，连接，当与以点、、为顶点的三角形相似时，求点的坐标．
【答案】（1）解，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）解：令中的x=0，得y=，
∴直线与轴的交点，
∴点关于轴的对称点为，
此时，
；
过点作交于点，
，，
，
∽，
，即，
解得，
，
，
设，
，
解得或舍，
，
点关于点的对称点为，
同理得：直线的解析式为，
∴直线与轴的交点为，
；
综上所述：点坐标为或；
（3）解：过点作轴交于，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，
∵，
∽，
，
，
，，
，，
当∽时，，
，
解得或舍，
；
当∽时，，
，
解得（不符合题意，舍去）；
∴，（不符合题意，舍去）
综上所述：点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由点A的坐标得出OA=3，再结合得出OB=4，从而得到点B(0，4)，进而用待定系数法求出函数AB的解析式即可；
（2）满足条件的点有两个，①令直线AC解析式中的x=0，算出y=，从而得到点，根据轴对称的性质，点C关于轴的对称点为所求的点Q，从而根据关于x轴对称点的坐标特点得到点；②过点作交于点，由有两组角相等的两个三角形相似得出∽，由相似三角形对应边成比例建立方程求出；从而利用“HL”证明△ACM≌△ACO，由全等三角形的对应角相等得到；设，利用两点间的距离公式结合CM的长度建立方程求出m得值，从而得到点，点关于点的对称点为，利用待定系数法求出直线AN的解析式，再找出直线AN与y轴的交点，该点就是所求的点Q；
（3）过点作轴交于，由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得出∠ABO=∠PQH，从而由有两组角相等的两个三角形相似可证明∽，由相似三角形对应边成比例得到，设，则；由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出∽，由相似三角形对应边成比例得到，则，，，，；然后分当∽时与当∽时，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，结合两点间的距离公式，求出x的值，从而判断确定出x的值，即可求出点P的坐标.
（1）解，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）当时，直线与轴的交点，
点关于轴的对称点为，
此时，
；
过点作交于点，
，，
，
∽，
，即，
解得，
，
，
设，
，
解得或舍，
，
点关于点的对称点为，
同理得：直线的解析式为，
∴直线与轴的交点为，
；
综上所述：点坐标为或；
（3）过点作轴交于，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，
∵，
∽，
，
，
，，
，，
当∽时，，
，
解得或舍，
；
当∽时，，
，
解得（不符合题意，舍去）；
∴，（不符合题意，舍去）
综上所述：点坐标为．
19．在数轴上，与最接近的整数是　 　．
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴与最接近的整数是3．
故答案为：3．
【分析】根据被开方数越大，其立方根就越大估算出在3和3.5之间，从而即可得出答案.
20．若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有　 　个．
【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式的应用；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解分式方程，
可得，
∵为正整数，为正整数，
∴且，解得，
∵，
∴，即有，
∴，
∴，12，9，3，
∴符合条件的所有正整数的个数有4个．
故答案为：4．
【分析】解分式方程可得，再根据x为正整数判断即可求出答案.
21．在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码，将个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号．
字母
序号
字母
序号
按上述规定，将明码“”译成密码是　 　填写由个大写字母组成的密码
【答案】
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：由表格可知，明码“”对应的数字为13，12，17，25，
∵当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∵20对应的字母为T，6对应的字母为F，17对应的字母为Q，26对应的字母为Z
∴明码“”译成密码是，
故答案为：．
【分析】先根据表格提供的信息，写出明码“MLGY”对应的序号，再根据“ 明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号 ”求出y的值，最后将y的值与表格对照即可写出密码.
22．如图，在中，，，为的中点，为边上一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，，过点作于点，过点作于点，于点，如图所示：
在中，，，，
，
为的中点，
，
的面积是的倍，
，
，
，
于点，
，，
，
，
，
，
由折叠性质得：，，，
于点，于点，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
的长为．
故答案为：．
【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，于点，先求出，则，由同高三角形面积之间得关系就是对应底之间的关系可推出，进而得；由折叠性质得，，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，在由等高三角形面积之间得关系就是对应底之间的关系得出BE=2EF，则，从而得，由对角线互相平分得四边形是平行四边形可判定四边形AB'DE是平行四边形，由平行四边形的对边相等得，然后在中，由勾股定理即可求出CE的长.
23．如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，由中垂线性质可知，如图所示，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
，，
，，
∴．
由勾股定理可得，
∴．
作于点，如图所示，
平分，
，
，，
．
，即，
解得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
过点作交的延长线于点，如图所示，
，
平分，
，
，
．
由，可得，
，即，
整理可得，进一步整理得，
解得（负根舍去），
即的长为，
故答案为：．
【分析】连接，由中垂线线上的点到线段两端点的距离相等及已知得AE=CE=ED，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠ACD=90°；设，由，可得，则，由勾股定理可得；作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得；由有两组角相等的两个三角形相似得∽，由相似三角形对应边成比例建立方程可得；利用“HL”证，由全等三角形的对应边相等可得，由线段和差表示出AB；过点作交的延长线于点，利用平行线性质和角平分线可得∠G=∠CAG，由等角对等边得出；由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似可得∽，由相似三角形对应边成比例建立方程并整理得，求解得出x得孩子，即得BD的长．
24．某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍．
（1）求A、两种商品每件售价各多少元；
（2）商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元，
用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
种商品每件售价元，种商品每件售价元；
（2）解：根据题意得：
，
，
当时，取最大值，最大值为元，
种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种商品每件售价x元，则B种商品每件售价(x+5)元，利用总价除以单价等于数量及“用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍“列方程并检验，即可得到答案；
（2）根据每件商品的利润乘以每天销售商品的数量等于每天获取的总利润剪出w关于a的函数关系式，再由所得函数性质求出最值即可.
（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元，
用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
种商品每件售价元，种商品每件售价元；
（2）解：根据题意得：
，
，
当时，取最大值，最大值为元，
种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元．
25．在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点．
（1）如图，求直线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值；
（3）如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令中的x=0，得，
，
令中的y=0，得，
，
点为线段的中点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，
设，则，
，
四边形的面积的面积的面积
，
解得，
，
作A点关于轴的对称点A'，则，
连接GA'，过点作，且FH=A'G，连接A'H，
四边形GA'HF是平行四边形，
∴，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，
∵H(2，-2)，P(3，5)，A(0，2)
，
四边形周长最小值为，
四边形周长最小为；
（3）解：存在，点横坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题；将军饮马模型-两线两点（两动两定）；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下：
将沿着射线方向平移个单位长度，
沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移8个单位长度，
，，
设，
当时，，
解得，
点横坐标为，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点的横坐标为；
当时，，
解得，
点的横坐标为，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或．
【分析】（1）分别令中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A与B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点E的坐标，进而结合点C、E的坐标，利用待定系数法求出直线l2的解析式；
（2）过点作轴交AB于点Q，根据点的坐标与图形性质，设，则，根据两点间的距离公式表示出PQ，由S四边形PACB=S△ABC+S△PAB，结合三角形面积计算公式建立方程求出t的值，可求；作A点关于轴的对称点A'，则，连接GA'，过点作，且FH=A'G，连接A'H，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形A'GFH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得GF=A'H=2，则H(2，-2)，当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，可求四边形AGFH周长最小值为AP+GF+PH，利用两点间的距离公式算出PH、AP即可求出答案；
（3）根据平移可知△ACB沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，则，，由点的坐标与图形性质设，当时，点横坐标为，再由点的平移可求点的横坐标为；当时，点横坐标为，再由点的平移可求点横坐标为．
（1）解：当时，，
，
当时，，
，
点为线段的中点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，
设，则，
，
四边形的面积的面积的面积
，
解得，
，
作点关于轴的对称点，则，
连接，过点作，连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，
，
四边形周长最小值为，
四边形周长最小为；
（3）解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下：
将沿着射线方向平移个单位长度，
沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，
，，
设，
当时，，
解得，
点横坐标为，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，
点的横坐标为；
当时，，
解得，
点的横坐标为，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或．
26．在中，，，点为边上一动点不与，重合，连接，以为始边顺时针作，平分．
【初步探究】如图，与的延长线交于点，若，，，求的值．
【类比迁移】如图，与的延长线交于点，若，，求的值．
【拓展应用】如图，与直线交于点，．
（）当且点在线段上时，的值．
（）当且点在的延长线上时，求的值．
【答案】初步探究：，，
，是等边三角形，
∴，
，
，
，平分，
，
∴∠ADC=∠CDF+∠ADF=60°+∠CDF=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，
，
，
；
类比迁移：如图，
作于，
，，
，
同理初步探究可得，，
，
不妨设，，则，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
拓展应用：（）如图，
由题意不妨设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
作的垂直平分线，交于，作于，作，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，，
设，，
在中，
由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（）如图，
，
，
设，则，，
，
，
作的垂直平分线，交于，作于，
，
，
，
，
，
由（）可得，，
，
由得，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】初步探究：由三角形的内角和及等边对等角得出∠B=∠C=60°，由有一个内角为60°的等哟啊三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，由等边三角形性质得出AB=BC，由角平分线的定义得出∠ADF=60°，根据三角形内角和定理及、平角定义可推出∠BAD=∠CDF，从而由由两组角相等的两个三角形相似得出△ABD∽△DCF，由相似三角形对应边成比例即可求出求解；
类比迁移：作于，同理初步探究可得，从而，不妨设，，则，，由等腰直角三角形的性质求出BG=DG=1，然后根据线段和差得出AG=2，进而利用勾股定理算出AD，从而得出CF，DF的值；由由两组角相等的两个三角形相似可证得，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出EF，再根据线段和差算出CE，从而即可求CE与CF的比值；
拓展应用：（）由等边对等角、三角形的内角和定理及角的构成可推出，，则；作的垂直平分线，交AB于G，作于，作；由有两组角相等的两个三角形相似证，由相似三角形对应边成比例得出，故设，，，设，，在中，根据勾股定理建立方程，从而求得，根据建立方程，从而得出，从而即可求出BD、CD的长，最后逑BD与CD的比值；
（）由等边对等角可设，则，，从而得出，，作的垂直平分线，交于，作于，从而得出，，进而得出，可表示出，，根据得出的值，进而即可求解．
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