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2026 年普通高校招生模拟高三 5 月联考
数 学
本试卷共 4页。考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确
粘贴在考生信息条形码粘贴区；
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹
的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书
写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效；
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正
带、刮纸刀；
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 A m Z | 3m 2 7m 2 0 ，集合 B n R | n 0 ，求 A∩B的子集个数
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 2i
2. 已知复数 z ， i为虚数单位，则 z的共轭的虚部是
1 i
3 3 2 2
A. B. C. D.
2 2 3 3
3. 已知 λ N，向量a λ,2 ，b 1, λ ， c λ 4,2 ，若 a b c ，则 λ的值为
A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或-1
4. 已知一圆台上底面直径为 4，下底面半径为 5，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体
积为
61 7π 61 7A. B. π C. 7π D. 13 7π
8
4 1 tan α cosα
5. 已知α为第二象限角， sin α ，则 的值为
5 cosα
1 1 3 3
A. B. C. D.
3 3 4 4
数学试题 第 1页（共 4页）
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6. 已知数列 a 2n 为等差数列，其通项定义为 an log 2 n pn q n 1,2,3, ，则 p q的值为
A. 7 B. -1 C. 5 D. 9
7. 有甲、乙、丙在内的 6人准备去亚洲仅有的发达国家研学深造，每个国家至少安排 1人，甲和乙所学
对象不同，丙和丁所学对象相同，不同的排法有
A. 240种 B. 768种 C. 216种 D. 132种
8. 已知函数 f x 对任意实数 x， y满足 f x y f x f y kxy，且 f 1 2，若对所有 x≥0，
恒有 f x ≥0，则 k的取值范围是
A. ,0 B. 0,4 C. 0,4 D. 4,
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对得 6分，部分选对得部分分，有错选得 0分.
9. 设随机变量 X ~ N 0,1 ，下列选项中正确的是
A. P X 1 0.1587 B. P X 1 0.1587
C. P X 1 0.1587 D. P 1 X 1 0.6826
10. 已知函数 f x sin x cos x， x为实数，下列选项中正确的是
A. f x 的最小正周期为π 3πB. f x 在点 x 处取得极大值
4
C. f x 1的值域为 ,
1
D. f x
π π
在区间
2 2
,
4 4
上单调递增

11. 在平面直角坐标系中，设点 A 0,0 ，B 2,0 ，D 0,a ，C 1,a ，其中 a 0，构成平面四边形 ABCD .
设点P为线段 AB上一点，满足 AP xAD，其中 x 0,1 ，点Q为线段 BC上一点，满足BQ xBC，
记向量u PB，v QC，设函数 F x u v ，下列结论不正确的是
A. 当a 1时， F x 的值域为 1,1 B. 对任意 a 0，恒有 F 1 0
2
C. 对任意 a 0， F x 的最大值恒为 a D. a 0，使得 F x 在定义域上恒为正值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
x 15 9
4
12. 二项式

的展开式中，含 x 2项的系数为__________；
x
13. 已知某随机试验有两种可能的结果：甲和乙.若某次试验结果为甲，则下次试验出现甲的概率为 0.7 ，
出现乙的概率为 0.3 ；若结果为乙，则下次试验出现甲的概率为 0.4 ，出现乙的概率为 0.6 .已知第一
次试验结果为甲，求第三次试验结果为甲的概率为__________；
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2 2
14. 已知双曲线C y x： 2 2 1（ a b 0），渐近线方程为 y 2x，双曲线过点 A 2,2 5 ，则点Ma b
为双曲线与直线 x 1的交点坐标为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
在△ABC中，内角 A、B、C分别对应边 a、b、c，已知 3 cos A sin A 2，b c 5a .
（1） 求 A；
（2） 求△ABC面积的最小值.
16. （15分）
如图斜三棱柱 ABC A1B1C1，AA1 // BB1 //CC1，平面 ABC //平面 A1B1C1，2AA1 AB AC 4，
AA1B1 AA C

1 1 75 ，M 、O分别为 AC、 B1C1的中点.
（1） 证明： AO B1C1；
（2） 设Q为棱MC1上的动点，MQ MC1 （0 1），BQ与平面 A1B1C所成角的正弦值为
3 5 A B
，求 的值.
5 M C
A 1 B 1
O
C 1
17. （15分）
已知函数 f x x 2 ln x a sin x， x 0，a R， g x 为 f x 的导函数.
（1） 讨论 f x 在 0, 上的单调性；
（2） 若 g x 0在 0, 上恰好有两个互异实根，求实数a的取值范围.
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18. （17分）
在平面直角坐标系中，某曲线左右焦点坐标分别为 F1 3,0 ， F2 3,0 ，动点P在曲线上且满足距
离条件 PF1 PF2 4，设OP x, y .
（1） P的轨迹方程；
（2） 已知直线 PF1，斜率为 k0；
（i） 求该直线斜率表达式 k0 x ，并讨论其定义域内的单调性；
y
（ii） 判断曲线上是否满足有一点 P恒满足不等式 x 2 4 ≥ .
5
19. （17分）
设数列 an 各项均为正数，且 a1 a，a2 b，对于任意正整数m，n， p，q满足m n p q
时，恒有 am 2 an 2 a p 2 aq 2 .
（1） 若b 3a 6时，求数列的通项公式 an；
（2） 证明： n N*
an 1 2 b 2，都有 ；
an 2 a 2
（3） 讨论a、b的取值，并指出此时数列的单调性.
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