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四川省宜宾市2024-2025学年七年级下学期义务教育质量监测数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效）
1．下列字母图片中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D中的字母都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C中的字母能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：x+9=0
移项得：x=-9
故答案为：B．
【分析】等式的基本性质1： 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；
等式的基本性质2： 等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的整式，等式仍然成立；
所以利用等式的基本性质去分母、移项即可解方程．
3．已知，若，，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴．
故选：C．
【分析】由可得，，根据线段的和差关系，求解即可．
4．把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：，
解得．
在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出所给不等式的解集，然后根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来，即可判断得出答案.
5．用边长相等的两种正多边形进行密铺，其中一种是正八边形，则另一种正多边形可以是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正八边形的每个内角为180° 360°÷8=135°，
A、 正三角形的每个内角60°，得135m+60n=360°，n=6 94m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B、 正四边形的每个内角是90°，得90°+2×135°=360°，所以能铺满；
C、正五边形每个内角是180° 360°÷5=108°，得108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D、 正六边形的每个内角是120°，得135m+120n=360°，n=3 98m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满.
故答案为：B.
【分析】正八边形的每个内角为：180° 360°÷8＝135°，分别计算出正三角形，正方形，正五边形，正六边形的每个内角的度数；利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”作为相等关系列出多边形个数之间的数量关系，利用多边形的个数都是正整数可推断出能和正八边形一起密铺的多边形是正四边形．
6．若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在两边同除以正数6，不等式方向不变，得，故选项A错误；
B、在两边同减6，不等式方向不变，得，故选项B错误；
C、在两边同乘，不等式方向改变，得，再在两边同时加1，不等式方向不变，得，故选项C正确；
D、在两边同乘正数6，不等式方向不变，原得，再在两边同时减1，不等式方向不变，得，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】不等式基本性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式性质②可判断A选项，根据不等式性质①可判断B选项；根据不等式性质③①可判断C选项；根据不等式性质②①可判断D选项.
7．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转后得到．若，则的度数为（　　）．
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：，，
∵，
，
，
故答案为：A．
【分析】由旋转性质得∠B'=∠B=30°，∠AOA'=80°，由二直线平行，内错角相等得∠AOB'=∠B'=30°，最后根据角的和差，由∠A'OB'=∠AOA'-∠AOB'可算出答案.
8．下列关于三角形的性质描述错误的是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．三角形的高线不一定在三角形的内部
C．三角形的外角和为360°
D．三角形的一个外角等于两个内角之和
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；三角形外角的概念及性质；三角形的高
【解析】【解答】解：A、只要三角形的三边长度确定了，它的形状和大小就固定不变了，这就是三角形的稳定性，因此A选项的说法是正确的；
B、钝角三角形中，钝角对应的两条高线会落在三角形的外部，直角三角形的两条直角边本身就是高线，也就是高线在三角形的边上，因此三角形的高线不一定都在三角形内部，所以B选项的说法是正确的；
C、任意三角形的三个外角和为360°，因此C选项的说法是正确的；
D、三角形外角的性质是：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，并不是任意两个内角的和，该选项没有强调“不相邻”这个关键条件，故说法错误，因此D不正确.
故答案为：D.
【分析】当三角形三边确定后，其形状与大小确定了，这就是三角形的稳定性，据此可判断A选项；过三角形一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，据此可得钝角三角形中，钝角两边上的两条高线会落在三角形的外，直角三角形直角边上的高在三角形的边上，据此可判断B选项；任意多边形的外角和都是360°，而三角形是边数最少的多边形，据此可判断C选项；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可判断D选项.
9．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
A．90°-α B．90°+ α C． D．360°-α
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形中，，
和分别为、的平分线，
，
则．
故答案为：C．
【分析】根据四边形内角和定理可得，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多10枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的两倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，
甲袋比乙袋多10枚：直接列方程（或等价形式），
移动黄金后的数量关系：甲袋取出8枚后剩余枚，乙袋增加8枚后变为枚，
此时乙袋是甲袋的两倍，故方程为，整理为
∴方程组为
故答案为：A
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
11．在中，点为上一点，连结并取的中点，连接，，取的中点，连结．若的面积为24，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是线段的中点，
∴，，
∴
∵的面积为，
∴，
∵点是线段的中点，
∴．
故答案为：B．
【分析】由等底同高三角形面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，据此求解即可.
12．我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论：
①若，则的取值范围是；
②若整数、满足，则的值为6或10；
③若非负数、满足，则有理数的取值范围是．
正确的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
解得：，故原结论正确；
②∵，
∴，
∴
∵，是整数，
∴是整数，
∴，
∴或，，，，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上，或6，，．故原结论错误；
③∵，
∴，
解得：，
∵，是非负数，即，
∴，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，故原结论正确．
综上，结论①③正确，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据二阶行列式运算法则建立不等式，求解后可判断①；根据二阶行列式运算法则建立不等式组，求解得出mn的取值范围，再结合m，n都是整数可求出m，n的值，进而再分别求出m与n的和，可判断②；根据二阶行列式运算法则建立方程组，将k作为常数，解方程组，用含k的式子表示出x、y，再结合x、y都是非负数建立关于字母k的不等式组，求解后可判断③．
二、填空题：本大题共．6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．（注意：在试题卷上作答无效）
13．已知，用含x的式子表示y，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x-y=3，
∴-y=3-2x
∴y=2x-3.
故答案为：2x-3.
【分析】根据等式的性质进行变形即可求解.
14．若一个边形的内角和等于它外角和的5倍，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意列方程，得：
，
解得：，
即边数n等于12．
故答案为：12．
【分析】n边形的内角和为，任意多边形的外角和都是固定的360°，结合题目给出的内角和是外角和的5倍列出方程，求解即可得出n的值.
15．已知，，为的三边，化简：　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵的三边长分别是，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形三边关系得到，， 然后取绝对值合并同类项解题即可．
16．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为　 　．
【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解，
①+②得，
∵ ，
∴，解得：，
故答案为：1．
【分析】本题考查了解二元一次方程组的特殊解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键；二元一次方程组中的两个方程直接相加即可得到，结合题目给出的，即可得出a的值．
17．如图，在中，将沿着射线的方向平移到的位置．若，点是的中点，，则四边形的周长为　 　．
【答案】26
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：26．
【分析】由平移的性质得DEAB=9cm，AD=BE=CF，结合中点定义可推出BE=CE=CF，结合线段和差，由BF=BE+CE+CF可算出BE的长，最后根据四边形周长计算公式列式计算即可.
18．若关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
①式得，，
，
②式得，，
，
要使该一元一次不等式组有且只有个整数解，
该一元一次不等式组解集为，整数解为、、、，
，
解得；
关于的方程的解为非负整数，
，
，且为奇数，
综合可得，或，
符合条件的所有整数的和是．
故答案为：．
【分析】将a作为常数，分别求出每个不等式的解集，然后根据口诀“大小小大中间找”确定x的公共解集范围，再结合该一元一次不等式组有且只有4个整数解列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围；将a作为常数求出方程的解，结合方程的解为非负整数筛选a的可能值，结合两部分条件后即可确定出同时满足的a值并求和．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效）
19．解下列方程（组）
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：
将，得③
，得，
解得，
把代入①，得．
所以这个方程组的解是．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）由于组成方程组的两个方程中未知数y的系数呈倍数关系，故用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×2+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：
将，得③
，得，
解得，
把代入①，得．
所以这个方程组的解是．
20．解不等式组，把解集在下列数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
∴不等式组的整数解为2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；数形结合
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，最后确定出解集范围内的整数解即可.
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上．
（1）作出关于直线的对称图形；
（2）求的面积；
（3）在直线上作一点，使的值最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：三角形的面积为：
（3）解：如图，点即为所作．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1'即可；
（2）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到△ABC的面积；
（3）连接A1B交直线l于P，利用轴对称的性质，可得AP=A1P，则AP+BP=A1P+BP=A1B，根据两点之间线段最短即可得出点P即为所求．
（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：三角形的面积为：
（3）解：如图，点即为所作．
22．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．
（1）当为边上的中线时，若，的面积为，求的长；
（2）当为的平分线时，若，，求的度数．
【答案】（1）解：为边上的高，的面积为，
，
，
为边上的中线，
；
（2）解：，，
，
为的平分线，
，
，，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式建立方程求出BC=8，再利用中线的定义，即可求出CE的长；
（2）先由三角形内角和定理，得出，进而由角平分线的定义得出，再由直角三角形两锐角互余，求出，最后根据角的构成，由∠DAE=∠CAE-∠CAD即可得出的度数．
（1）解：为边上的高，的面积为，
，
，
为边上的中线，
；
（2）解：，，
，
为的平分线，
，
，，
，
．
23．每年的4月23日为“世界读书日”，为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元．
（1）求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？
（2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设心理学书籍的购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元．
根据题意，列得方程组
，
解这个方程组，得
，
答：心理学书籍的购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元．
（2）解：设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍本．
根据题意，得
解得：
∵m为正整数
∴或44
∴共有两种方案
方案①：购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；
方案②：购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
答：共有两种方案，购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设心理学书籍的单价是x元，科技类书籍的单价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元”列方程组求解即可；
（2）设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍(90-m)本，由“心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量”列出不等式m＜90-m， 由两种书的优惠方案分别表示出两种书的单价，根据单价乘以数量等于总价及“此次买书的总费用不超过2995元”列不等式35×0.8m+(40-2)×(90-m)≤2995，联立两不等式求出其正整数解即可.
（1）解：设心理学书籍的购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元．
根据题意，列得方程组
，
解这个方程组，得
，
答：心理学书籍的购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元．
（2）设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍本．
根据题意，得
解得：
∵m为正整数
∴或44
∴共有两种方案
方案①：购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；
方案②：购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
答：共有两种方案，购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
24．给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 a、b、c都是常熟，且a≠0，b≠0），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为．
（1）写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____；
（2）若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值．
（3）若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值．
【答案】（1）；
（2）解：由题意可知，的镜像方程为，
联立方程组得
方程组的解为，
①-②得-2m=2，解得m=-1，
将m=-1代入①方程n=-16，
．
（3）解：代数式m(n-m)+p(p-n)+52的值为52.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：的“镜像方程”为；
它们组成的方程组为，
①-②得4x=-4，
解得x=-1，
将x=-1代入②得y=-1，
∴方程组的解为；
故答案为：；；
（3）解：，
．
与其镜像方程所组成的方程组为，
解得：，
将代入方程中，得．
．
【分析】（1）根据“镜像方程”的定义可得方程，利用加减消元法求解联立两方程组成的方程即可；
（2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立两方程得到方程组，然后根据方程组解的定义将代入所得方程组，利用加减消元法求出m、n的值，最后再求m与n的和即可；
（3）易得a+c=-b，根据“镜像方程”的定义可得方程，利用加减消元法求解联立两方程组成的方程，求出x，y的值，根据方程根的定义，将x、y的值代入方程mx-ny=p得到，则p-n=-m，然后代入待求代数式化简即可得出答案.
（1）解：的“镜像方程”为；
它们组成的方程组为，
解得：；
故答案为：；；
（2）解：由题意可知，的镜像方程为，
联立方程组得
方程组的解为，
解得
．
（3）解：，
．
与其镜像方程所组成的方程组为，
解得：，
将代入方程中，得．
．
25．如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到．
（1）如图1，当点E落在上时，求的度数；
（2）如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：；
（3）如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，，
．
∵将沿翻折后得到，
．
．
（2）解：根据翻折可得，
，
．
．
，
．
（3）解：，理由如下：
设，
，
．
平分，
．
．
，
．
，
，
，
．
．
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-证明问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由直角三角形的两锐角互余求得，再由折叠的性质得，最后根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠CDE=∠BED-∠C，从而代值计算可得答案；
（2）由折叠的性质得，根据直角三角形的两锐角互余求得，从而根据内错角相等，两直线平行得出BE∥AC；
（3），理由如下：设，由二直线平行，内错角相等得，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和定理求得，利用角的和差求出∠CBD=2x-30°，利用三角形外角性质求出，从而即可得出结论.
（1）解：，，
．
∵将沿翻折后得到，
．
．
（2）解：根据翻折可得，
，
．
．
，
．
．
（3）解：，理由如下：
设，
，
．
平分，
．
．
，
．
，
，
，
．
．
．
1 / 1四川省宜宾市2024-2025学年七年级下学期义务教育质量监测数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效）
1．下列字母图片中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，若，，则的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．把不等式的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．用边长相等的两种正多边形进行密铺，其中一种是正八边形，则另一种正多边形可以是（　　）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
6．若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，将绕着点逆时针旋转后得到．若，则的度数为（　　）．
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．下列关于三角形的性质描述错误的是（　　）
A．三角形具有稳定性
B．三角形的高线不一定在三角形的内部
C．三角形的外角和为360°
D．三角形的一个外角等于两个内角之和
9．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）
A．90°-α B．90°+ α C． D．360°-α
10．我国古代数学问题：现有甲、乙两钱袋，甲袋装的黄金比乙袋装的黄金多10枚，从甲袋取8枚黄金放到乙袋，乙袋的黄金数量就是甲袋的两倍．设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．在中，点为上一点，连结并取的中点，连接，，取的中点，连结．若的面积为24，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
12．我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论：
①若，则的取值范围是；
②若整数、满足，则的值为6或10；
③若非负数、满足，则有理数的取值范围是．
正确的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题：本大题共．6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．（注意：在试题卷上作答无效）
13．已知，用含x的式子表示y，则　 　．
14．若一个边形的内角和等于它外角和的5倍，则的值为　 　．
15．已知，，为的三边，化简：　 　．
16．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为　 　．
17．如图，在中，将沿着射线的方向平移到的位置．若，点是的中点，，则四边形的周长为　 　．
18．若关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和是　 　．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效）
19．解下列方程（组）
（1）；
（2）
20．解不等式组，把解集在下列数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点都在格点上．
（1）作出关于直线的对称图形；
（2）求的面积；
（3）在直线上作一点，使的值最小．（保留作图痕迹）
22．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接．
（1）当为边上的中线时，若，的面积为，求的长；
（2）当为的平分线时，若，，求的度数．
23．每年的4月23日为“世界读书日”，为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元．
（1）求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？
（2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？
24．给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 a、b、c都是常熟，且a≠0，b≠0），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为．
（1）写出的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____；
（2）若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值．
（3）若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值．
25．如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到．
（1）如图1，当点E落在上时，求的度数；
（2）如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：；
（3）如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、D中的字母都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C中的字母能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：x+9=0
移项得：x=-9
故答案为：B．
【分析】等式的基本性质1： 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；
等式的基本性质2： 等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的整式，等式仍然成立；
所以利用等式的基本性质去分母、移项即可解方程．
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴．
故选：C．
【分析】由可得，，根据线段的和差关系，求解即可．
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：，
解得．
在数轴上表示为：
故答案为：A．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出所给不等式的解集，然后根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式的解集在数轴上表示出来，即可判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：正八边形的每个内角为180° 360°÷8=135°，
A、 正三角形的每个内角60°，得135m+60n=360°，n=6 94m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B、 正四边形的每个内角是90°，得90°+2×135°=360°，所以能铺满；
C、正五边形每个内角是180° 360°÷5=108°，得108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D、 正六边形的每个内角是120°，得135m+120n=360°，n=3 98m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满.
故答案为：B.
【分析】正八边形的每个内角为：180° 360°÷8＝135°，分别计算出正三角形，正方形，正五边形，正六边形的每个内角的度数；利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”作为相等关系列出多边形个数之间的数量关系，利用多边形的个数都是正整数可推断出能和正八边形一起密铺的多边形是正四边形．
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在两边同除以正数6，不等式方向不变，得，故选项A错误；
B、在两边同减6，不等式方向不变，得，故选项B错误；
C、在两边同乘，不等式方向改变，得，再在两边同时加1，不等式方向不变，得，故选项C正确；
D、在两边同乘正数6，不等式方向不变，原得，再在两边同时减1，不等式方向不变，得，故选项D错误.
故答案为：C．
【分析】不等式基本性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式性质②可判断A选项，根据不等式性质①可判断B选项；根据不等式性质③①可判断C选项；根据不等式性质②①可判断D选项.
7．【答案】A
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：，，
∵，
，
，
故答案为：A．
【分析】由旋转性质得∠B'=∠B=30°，∠AOA'=80°，由二直线平行，内错角相等得∠AOB'=∠B'=30°，最后根据角的和差，由∠A'OB'=∠AOA'-∠AOB'可算出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；三角形外角的概念及性质；三角形的高
【解析】【解答】解：A、只要三角形的三边长度确定了，它的形状和大小就固定不变了，这就是三角形的稳定性，因此A选项的说法是正确的；
B、钝角三角形中，钝角对应的两条高线会落在三角形的外部，直角三角形的两条直角边本身就是高线，也就是高线在三角形的边上，因此三角形的高线不一定都在三角形内部，所以B选项的说法是正确的；
C、任意三角形的三个外角和为360°，因此C选项的说法是正确的；
D、三角形外角的性质是：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，并不是任意两个内角的和，该选项没有强调“不相邻”这个关键条件，故说法错误，因此D不正确.
故答案为：D.
【分析】当三角形三边确定后，其形状与大小确定了，这就是三角形的稳定性，据此可判断A选项；过三角形一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，据此可得钝角三角形中，钝角两边上的两条高线会落在三角形的外，直角三角形直角边上的高在三角形的边上，据此可判断B选项；任意多边形的外角和都是360°，而三角形是边数最少的多边形，据此可判断C选项；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可判断D选项.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形中，，
和分别为、的平分线，
，
则．
故答案为：C．
【分析】根据四边形内角和定理可得，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲袋原有黄金枚，乙袋原有黄金枚，
甲袋比乙袋多10枚：直接列方程（或等价形式），
移动黄金后的数量关系：甲袋取出8枚后剩余枚，乙袋增加8枚后变为枚，
此时乙袋是甲袋的两倍，故方程为，整理为
∴方程组为
故答案为：A
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是线段的中点，
∴，，
∴
∵的面积为，
∴，
∵点是线段的中点，
∴．
故答案为：B．
【分析】由等底同高三角形面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，据此求解即可.
12．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的其他应用；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
解得：，故原结论正确；
②∵，
∴，
∴
∵，是整数，
∴是整数，
∴，
∴或，，，，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上，或6，，．故原结论错误；
③∵，
∴，
解得：，
∵，是非负数，即，
∴，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，故原结论正确．
综上，结论①③正确，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据二阶行列式运算法则建立不等式，求解后可判断①；根据二阶行列式运算法则建立不等式组，求解得出mn的取值范围，再结合m，n都是整数可求出m，n的值，进而再分别求出m与n的和，可判断②；根据二阶行列式运算法则建立方程组，将k作为常数，解方程组，用含k的式子表示出x、y，再结合x、y都是非负数建立关于字母k的不等式组，求解后可判断③．
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵2x-y=3，
∴-y=3-2x
∴y=2x-3.
故答案为：2x-3.
【分析】根据等式的性质进行变形即可求解.
14．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意列方程，得：
，
解得：，
即边数n等于12．
故答案为：12．
【分析】n边形的内角和为，任意多边形的外角和都是固定的360°，结合题目给出的内角和是外角和的5倍列出方程，求解即可得出n的值.
15．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵的三边长分别是，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形三边关系得到，， 然后取绝对值合并同类项解题即可．
16．【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解，
①+②得，
∵ ，
∴，解得：，
故答案为：1．
【分析】本题考查了解二元一次方程组的特殊解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键；二元一次方程组中的两个方程直接相加即可得到，结合题目给出的，即可得出a的值．
17．【答案】26
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可得，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：26．
【分析】由平移的性质得DEAB=9cm，AD=BE=CF，结合中点定义可推出BE=CE=CF，结合线段和差，由BF=BE+CE+CF可算出BE的长，最后根据四边形周长计算公式列式计算即可.
18．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：
①式得，，
，
②式得，，
，
要使该一元一次不等式组有且只有个整数解，
该一元一次不等式组解集为，整数解为、、、，
，
解得；
关于的方程的解为非负整数，
，
，且为奇数，
综合可得，或，
符合条件的所有整数的和是．
故答案为：．
【分析】将a作为常数，分别求出每个不等式的解集，然后根据口诀“大小小大中间找”确定x的公共解集范围，再结合该一元一次不等式组有且只有4个整数解列出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围；将a作为常数求出方程的解，结合方程的解为非负整数筛选a的可能值，结合两部分条件后即可确定出同时满足的a值并求和．
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：
将，得③
，得，
解得，
把代入①，得．
所以这个方程组的解是．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以6，右边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）由于组成方程组的两个方程中未知数y的系数呈倍数关系，故用加减消元法求解较为简单；首先用方程①×2+②消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：
将，得③
，得，
解得，
把代入①，得．
所以这个方程组的解是．
20．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
∴不等式组的整数解为2，3．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；数形结合
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，最后确定出解集范围内的整数解即可.
21．【答案】（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：三角形的面积为：
（3）解：如图，点即为所作．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1'即可；
（2）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接长方形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到△ABC的面积；
（3）连接A1B交直线l于P，利用轴对称的性质，可得AP=A1P，则AP+BP=A1P+BP=A1B，根据两点之间线段最短即可得出点P即为所求．
（1）解：如图，即为所作，
；
（2）解：三角形的面积为：
（3）解：如图，点即为所作．
22．【答案】（1）解：为边上的高，的面积为，
，
，
为边上的中线，
；
（2）解：，，
，
为的平分线，
，
，，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式建立方程求出BC=8，再利用中线的定义，即可求出CE的长；
（2）先由三角形内角和定理，得出，进而由角平分线的定义得出，再由直角三角形两锐角互余，求出，最后根据角的构成，由∠DAE=∠CAE-∠CAD即可得出的度数．
（1）解：为边上的高，的面积为，
，
，
为边上的中线，
；
（2）解：，，
，
为的平分线，
，
，，
，
．
23．【答案】（1）解：设心理学书籍的购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元．
根据题意，列得方程组
，
解这个方程组，得
，
答：心理学书籍的购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元．
（2）解：设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍本．
根据题意，得
解得：
∵m为正整数
∴或44
∴共有两种方案
方案①：购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；
方案②：购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
答：共有两种方案，购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设心理学书籍的单价是x元，科技类书籍的单价是y元，根据单价乘以数量等于总价及“购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元”列方程组求解即可；
（2）设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍(90-m)本，由“心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量”列出不等式m＜90-m， 由两种书的优惠方案分别表示出两种书的单价，根据单价乘以数量等于总价及“此次买书的总费用不超过2995元”列不等式35×0.8m+(40-2)×(90-m)≤2995，联立两不等式求出其正整数解即可.
（1）解：设心理学书籍的购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元．
根据题意，列得方程组
，
解这个方程组，得
，
答：心理学书籍的购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元．
（2）设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍本．
根据题意，得
解得：
∵m为正整数
∴或44
∴共有两种方案
方案①：购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；
方案②：购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
答：共有两种方案，购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本．
24．【答案】（1）；
（2）解：由题意可知，的镜像方程为，
联立方程组得
方程组的解为，
①-②得-2m=2，解得m=-1，
将m=-1代入①方程n=-16，
．
（3）解：代数式m(n-m)+p(p-n)+52的值为52.
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：的“镜像方程”为；
它们组成的方程组为，
①-②得4x=-4，
解得x=-1，
将x=-1代入②得y=-1，
∴方程组的解为；
故答案为：；；
（3）解：，
．
与其镜像方程所组成的方程组为，
解得：，
将代入方程中，得．
．
【分析】（1）根据“镜像方程”的定义可得方程，利用加减消元法求解联立两方程组成的方程即可；
（2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立两方程得到方程组，然后根据方程组解的定义将代入所得方程组，利用加减消元法求出m、n的值，最后再求m与n的和即可；
（3）易得a+c=-b，根据“镜像方程”的定义可得方程，利用加减消元法求解联立两方程组成的方程，求出x，y的值，根据方程根的定义，将x、y的值代入方程mx-ny=p得到，则p-n=-m，然后代入待求代数式化简即可得出答案.
（1）解：的“镜像方程”为；
它们组成的方程组为，
解得：；
故答案为：；；
（2）解：由题意可知，的镜像方程为，
联立方程组得
方程组的解为，
解得
．
（3）解：，
．
与其镜像方程所组成的方程组为，
解得：，
将代入方程中，得．
．
25．【答案】（1）解：，，
．
∵将沿翻折后得到，
．
．
（2）解：根据翻折可得，
，
．
．
，
．
（3）解：，理由如下：
设，
，
．
平分，
．
．
，
．
，
，
，
．
．
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-证明问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由直角三角形的两锐角互余求得，再由折叠的性质得，最后根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠CDE=∠BED-∠C，从而代值计算可得答案；
（2）由折叠的性质得，根据直角三角形的两锐角互余求得，从而根据内错角相等，两直线平行得出BE∥AC；
（3），理由如下：设，由二直线平行，内错角相等得，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和定理求得，利用角的和差求出∠CBD=2x-30°，利用三角形外角性质求出，从而即可得出结论.
（1）解：，，
．
∵将沿翻折后得到，
．
．
（2）解：根据翻折可得，
，
．
．
，
．
．
（3）解：，理由如下：
设，
，
．
平分，
．
．
，
．
，
，
，
．
．
．
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