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湖南长沙市铁路第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．集合的子集个数为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
二、多选题
9．函数的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．在上单调递增 D．在上单调递减
10．若平面向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量为，则
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为2
11．如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体所得的截面可能是五边形
B．一定是锐角三角形
C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D．的最小值是
三、填空题
12．设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．
13．已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____．
14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______．
四、解答题
15．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
16．已知函数．
(1)求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象；
(2)求函数的最大值、最小值及相应的的值；
(3)若，求函数的取值范围．
17．如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求证：；
(3)求二面角的余弦值．
18．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，求的最小值.
19．如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，.
(1)求直线与所成角的余弦值.
(2)设是线段上的动点（含端点）.
（i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值.
（ii）当平面时，求的值.
参考答案
1．B
2．D
3．C
4．B
5．A
6．A
7．C
8．D
9．AC
10．BCD
11．AD
12．1
13．
14．
15．（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
16．（1）因为，
所以，
在区间上取，可得下表：
据此可作出函数在上的大致图象如下：
（2）当时，即，时，
有最大值，
当时，即，时，
有最小值.
（3）当时，，
所以，
所以.
17．（1）连接交于点，连接，
不妨设，
因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则，
因为为的中点，且，
因为，所以，即点为的中点，
翻折前，，翻折后，则有，则，即，
因为，为的中点，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，故直线与平面所成角，
易知，，，
故，即，
所以，故.
（2）取的中点，连接、，则，
因为，则，
因为平面，则平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面，
因为平面，故.
（3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
因为平面，平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，故，
因为，，、平面，故平面，
因为平面，故，故二面角的平面角为，
因为，为的中点，故，
在平面内，，，则，
所以，故，所以，
故，
，
由勾股定理可得，
故，
由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
18．（1）因为，
根据正弦定理可得，所以是以角为直角的直角三角形.
所以.
（2）因为为的费马点，
所以，
所以，，.
又，
所以，
所以.
（3）因为为的费马点，
所以.
由余弦定理，，，.
又，所以.
设，，.
则，又，当且仅当时取等号.
所以 ，
由，所以.
即的最小值为，当且仅当时取等号.
19．1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接，
由正方体的对角面是矩形，得，则，
即为直线与所成的角或其补角，
由，，得，，，，
因此，
所以直线与所成角的余弦值为.
（2）（i）三棱锥的体积不是定值.
假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等，
又平面，于是平面，由（1）知，且平面，
则平面，而平面，则平面平面，
又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点，
则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾，
即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值，
由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小，
则当与重合时，三棱锥的体积最小，
且，
所以三棱锥体积的最小值为
（ii）连接，由正方体的对角面是矩形，
得，且平面，则平面，同理平面，
而平面，因此平面平面，
此时线段平面，满足平面，
设，到平面的距离分别为，，则.
是边长为的等边三角形，则，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以.

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