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湖南长沙市铁路第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（ ）个不同的分数
A．10种 B．18种 C．20种 D．40种
8．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
10．已知数列满足，且，则的值可能是（ ）
A．1 B．2026 C． D．
11．已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．若，且三点共线，则
三、填空题
12．的展开式中含的项为____.
13．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
14．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．

四、解答题
15．已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
16．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
(3)求平面和平面夹角的余弦值.
17．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为．
(1)求的方程.
(2)已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且.
（I）若与重合，求．
（II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
19．已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．D
2．C
3．A
4．C
5．B
6．D
7．C
8．C
9．BC
10．ACD
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）
，
当时，；
当时，，
且满足上式，所以.
（2）
，
，
数列的前项和为.
16．（1）证明：如图，取中点，连接，
因为是边长为2的等边三角形，为中点，
所以，且.
又因为为中点，
所以，且.
因为，所以，
所以.
又平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得两两互相垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，
故平面的一个法向量为，
由（2）知平面PAC的一个法向量为，），
所以，
故平面和平面夹角的余弦值为.
17．（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
18．（1）设，则，则的方程为.
因为经过点，所以，得.
故的方程为.
（2）（I）设，由
得，
得，则，故.
（II）直线.由，得.
由，得，
则，
因为，所以的坐标为.
同理可得的坐标为.
又
，
所以直线MN的方程为.
因为，
所以直线MN过定点.
19．（1）当时，，
则，
则，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）（i），，
由题意可知，有三个零点，，其中，两个极值点分别为，
，令，
则，
若，则，则在上单调递增，
则至多有一个零点，至多有一个极值点，不符合题意；
若，则
当时，单调递增；当时，单调递减，
则，
若，则，
则在上单调递减，
则至多有一个零点，不符合题意；
若，则，
当时，当时，
故存在两个零点，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则在处取得极小值，在处取得极大值；
因为当时，当时，，
所以有三个零点，，其中，
综上，的取值范围为；
（ii）因为，
所以，即是的零点，故，则，
则，
因为是的两个极值点，所以是的两根，
则，
所以与的图象的交点的横坐标为，
，
当时，单调递增；当时，单调递减，
则，则，
令，
则，
因为，所以，
所以，，
所以
，
所以在上单调递增，则，
即，则，
因为在上单调递减，所以，
所以，则，证毕.

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