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(共15张PPT)
7.3.1离散型随机变量的均值
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列。
我们称X 取每一个值xi(i=1,2, ，n)的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,3 ，n
设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,x3, ,xn
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
求随机变量X的分布列的步骤如下:
(1).确定 X 的可能取值 xi ;
(2).求出相应的概率 P=(X=xi)= pi ;
(3).列成表格的形式.
复习引入
≥
1
概率之和
2、离散型随机变量分布列的性质：
1、概率分布列（分布列）
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律。但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
情境引入
问题1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？
把环数看成随机变量的概率分布列：
X 1 2 3 4
P
权数
加权平均
探索新知
问题2.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数
当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的
射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
探索新知
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
则称
为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
···
···
···
···
探索新知
例1 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少
分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平.
解：因为 P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以 E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：
X 1 0
P p 1-p
变式：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球2次的得分X的均值是多少？
解：因为X的可能取值为0,1,2
所以P(X=0)=0.04,P(X =1)=0.32,P(X =2)=0.64
所以 E(X)=0×0.04+1×0.32+2 0.64 =1.6.
典型例题
例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.
解：X的分布列为
P(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,6
分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。
因此,
E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5.
(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)利用定义公式求出均值
求离散型随机变量X的均值的步骤：
典型例题
例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X的均值为
E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.
P(X=0)=P()=0.2, P(X=1000)=P(A)=0.8×0.4=0.32,
P(X=3000)=P(AB)=0.8×0.6×0.6=0.288, P(X=6000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192.
典型例题
如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列如下表所示：
X 0 1000 4000 6000
P 0.2 0.48 0.128 0.192
P(X=0)=P()=0.2,P(X=1000)=P(A)=0.8×0.4=0.32,
P(X=3000)=P(AC)=0.8×0.4×0.4=0.128,P(X=6000)=P(ACB)=0.8×0.4×0.6=0.192.
按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序 获得的公益基金均值最大？
例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
工地的领导该如何决策呢
分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：
典型例题
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,
P(X1=3800)= .
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,因此,
P(X2=62 000)= , P(X2=2000)= .
采用方案3,
P(X3=60 000)= , P(X3=10000)= , P(X3=0)= .
于是,
E(X1)=3800,
E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.
典型例题
1
0.01
0.99
0.01
0.25
0.74
1.统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
巩固练习
2.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分期付款期数X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元,分2期或3期付款，其利润为250元,分4期或5期付款,其利润为300元,Y表示经销一件该商品的利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中,至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)；
（2）求Y的分布列及期望EY.
巩固练习
1. 期望的概念
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
2. 期望的意义
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.
3.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤
(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)利用定义公式求出均值
4.特殊随机变量的均值：
两点分布的期望：E（X）=p.
课堂小结(共12张PPT)
7.3.1离散型随机变量的均值
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列。
我们称X 取每一个值xi(i=1,2, ，n)的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,3 ，n
设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,x3, ,xn
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
求随机变量X的分布列的步骤如下:
(1).确定 X 的可能取值 xi ;
(2).求出相应的概率 P=(X=xi)= pi ;
(3).列成表格的形式.
复习引入
≥
1
概率之和
2、离散型随机变量分布列的性质：
1、概率分布列（分布列）
1. 期望的概念
E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
2. 期望的意义
离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.
3.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤
(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)利用定义公式求出均值
4.特殊随机变量的均值：
两点分布的期望：E（X）=p.
复习引入
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的分布列是什么？
（2） E(Y)=？
思考：
···
···
···
···
探索新知
随机变量X的分布列为：
···
···
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···
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···
···
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···
探索新知
1、随机变量X的分布列是
X 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则E(X)= .
2、随机变量X的分布列是
2.4
(2)若Y=2X+1，则E(Y)= .
5.8
X 4 7 9 10
P 0.3 a b 0.2
EX=7.5,则a= b= .
0.4
0.1
课堂检测
已知X的概率分布列为
练习提高
已知随机变量X的分布列如下：
典型例题
求均值的关键是求出分布列，只要求出了随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解，当然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定义求解．
某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路不超出4 km时租车费为10元，若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费，不足5分钟的部分不计费)，这个司机一次接送旅客的转换后的行车路程X是一个随机变量．设他所收租车费为Y.
(1)求租车费Y关于行车路程X的关系式；
(2)若随机变量X的分布列为
求所收租车费Y的数学期望．
(3)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计多长时间？
X 15 16 17 18
P 0.1 0.5 0.3 0.1
练习提高
解析：　(1)依题意得Y＝2(X－4)＋10，
即Y＝2X＋2，X≥15，X∈N；
(2)E(X)＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4.
∵Y＝2X＋2，∴E(Y)＝E(2X＋2)＝2E(X)＋2＝34.8(元)，
故所收租车费Y的数学期望为34.8元．
(3)由38＝2X＋2，解得X＝18，
故停车时间t转换的行车路程为18－15＝3 km，∴3×5＜t＜4×5，
即出租车在途中因故停车累计时间t∈(15,20)．
1.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)＝ 随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的 ．
(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且 ＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.
E(Y)＝ ＝ .
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
平均水平
P(Y＝ax＋b)
E(aX＋b)
aE(X)＋b
课堂小结
如果随机变量X服从两点分布，
X 1 0
P p 1－p
则

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