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河北张家口市第二中学2026届高三下学期适应性测试（三）数学试题
一、单选题
1．已知复数z满足，则=（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
4．现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概率为，不失误的概率为．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为，不失误的概率为；若活动A出现失误，则活动B失误与否的概率均为，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且的最大值为，，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．在区间上只有一个极值点
D．在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为
二、多选题
9．某会计统计公司购入材料的实际成本分别为14500，5800，11600，6000，8700，则（ ）
A．这组数据的平均数为9320 B．这组数据的第30百分位数为6000
C．这组数据的第80百分位数为11600 D．这组数据的极差为8700
10．已知函数，若，是的两个极值点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则在上的最小值为-14
C．若对任意，，则
D．若直线与曲线有3个交点，则k的取值范围为
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），与l交于点M，过点A，B分别作l的垂线，垂足为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若（O为原点），则
B．以线段MF为直径的圆恒过l与x轴的交点
C．若，则直线AB的斜率为
D．原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值
三、填空题
12．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________．
13．已知数列的首项，且，则_____．
14．将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________．
四、解答题
15．记等差数列的前n项和为，公差，且，，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若对任意，，求的最小整数值．
16．现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有3个红球、2个白球，乙盒中装有1个红球、4个白球，每次从其中一个盒子中有放回地随机取出1个球，若取出红球，则下次仍从该盒取球；若取出白球，则下次从另一盒子取球．初始时从甲盒开始取球，记第n次在甲盒取球的概率为．
(1)记前n次取球中在甲盒取球的总次数为，求的数学期望的表达式；
(2)若对任意正整数n，，求实数的最小值．
17．在边长为4的菱形中，，对角线与交于点O，将沿折起，使得点A到达点P的位置，得到如图所示的三棱锥，M为直线上一点．
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的大小为120°，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
18．已知函数，，．
(1)讨论的单调性；
(2)求的零点个数；
(3)当时，记与的各零点之和为T，证明：．
参考数据：，．
19．在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，记，的面积分别为，，求的取值范围；
(3)若直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，，且在上依次排列，记，的面积分别为，，证明：．
参考答案
1．A
2．B
3．A
4．C
5．A
6．C
7．A
8．D
9．ABD
10．AB
11．BC
12．4
13．
14．
15．（1）因为，，成等比数列，所以，则，
即，则，因为，所以，
所以，解得，
则，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
则，
因为对任意，，且单调递增，
所以，则的最小整数值为1.
16．（1）由题意得，
第次在甲盒取球的概率为，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
所以
.
（2）由（1）得，
因为对任意恒成立，
所以，
即.
当n为奇数时，的最大值为；
当n为偶数时，，
所以的最大值为1，则，
所以实数的最小值为1.
17．（1）在菱形ABCD中，，O为BD中点，
由题可知，所以，
因为，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
二面角的大小为120°，即
因为，，
所以，，
则，，，，
所以，，
设，
则，
所以.
设平面PCD的法向量为，
则，
取，得，，
则.
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
当时，，则；
当时，，则.
综上，或.
18．（1）因为，，
所以，
对于，，
当时，，，单调递增；
当时，，
由，得，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，，
所以，
设，，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
易知是增函数，
当时，；
所以当时，，单调递增，
又，，
由零点存在定理可知存在，使得，
所以只有一个零点.
（3）因为，
所以，，
可知若存在零点，则也为其零点.
由，得，
因为，，
所以在上有唯一零点.
结合（2）可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，
即，
所以得证.
19．（1）由题得，
解得，，
所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）得，则.
由题知的斜率不为0，
设的方程为，
联立，
得 ，
则，，
设，则，
所以
，
双曲线的渐近线方程为，即，
联立，
得，
则，，
同理，
由原点到直线的距离相等，
所以，
由，得，
又，所以且，
则且，
故的取值范围为；
（3）设的方程为，，，，
联立，
得，
则，，，
则线段PQ中点的横坐标为.
设，，
联立，得，
则，，
则线段中点的横坐标为，
所以线段与线段的中点为同一点，记为，
则，，
所以，
即，
又和的高均为原点到的距离d，
所以，
故得证.

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