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湖南省娄底市娄星区2025年初中毕业学业水平考试数学模拟卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2025的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（　　）
A． B． C． D．
6．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题中，不正确的是（　　）
A．对顶角相等 B．菱形的四条边都相等
C．平移不改变图形的形状和大小 D．任意多边形的内角和等于
8．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“三倍点”．已知点，下列结论错误的是（　　）
A．点是点的“三倍点”
B．若直线上的点A是点的“三倍点”，则点A的坐标为
C．抛物线上存在两个点是点的“三倍点”
D．若点B是点的“三倍点”，则的最小值是
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：x2-16= 　 　.
12．分式方程的解是　 　．
13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是　 　.
14．如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为　 　．
15．如图，是的直径，是的弦，连接．若，则　 　．
16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
17．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为　 　（精确到0.01）．
18．如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长 的差为　 　（用含，d的式子表示）．
三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
20．先化简再求值：其中．
21．如图，在四边形中，，，对角线和相交于点．请在以下两个条件中：“①；②”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的师生人数为______人；
（2）补全条形统计图：
（3）在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______；
（4）某班以下四位同学中，小明经常使用“”、小梅经常使用“豆包”、小萱经常使用“”、“翠花”经常使用“腾讯元宝”，若数学活动小组随机从4人抽取2人，则抽中的同学中，经常使用“”和“”的概率为多少？
23．为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个.
（1）求每辆大客车和小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
24．某数学兴趣小组进行实践活动：测量某山的高度，他们设计了如下测量方案：
项目 测量某山的高度
测量工具 测距仪、测角仪
示意图 如图2是一段索道的示意图，点A为山的观景台，点B是索道停靠点．
测量数据 从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离．
根据表格中提供的信息，解答下列问题：
（1）求观景台点到山脚的距离；（结果精确到）
（2）求的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
25．如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示：
… 0 1 3 4 5 …
… 0 3 4 3 0 …
（1）直接写出_____，_____，_____；
（2）记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值；
（3）如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
26．如图1，的直径垂直弦于点E，且．
（1）求的长．
（2）探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故答案为：D．
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000=3.84×105，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为原数的整数位数.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 三视图的知识得从上面看，得到的图形是 ：
故答案为：B．
【分析】从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线即可得答案.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，正确；
B．与不是同类项，不能合并，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，，
∵数据有奇数个，最中间的数据为：，
∴这组数据的中位数为．
故选：B．
【分析】将数据从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数解答即可．
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；平移的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，此命题正确，不符合题意；
B、菱形的四条边都相等，此命题正确，不符合题意；
C、平移不改变图形的形状和大小，此命题正确，不符合题意；
D、根据多边形的内角和公式为，其中为边数，可以判定“任意多边形的内角和等于”命题错误，符合题意；
故选：D．
【分析】
需依次判断每个命题的正确性，依据对顶角性质、菱形定义、平移性质及多边形内角和公式进行分析.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，
，
，
故选：A．
【分析】
根据已知条件可判定直线MN是线段AC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得AD=CD，在结合已知条件BC=7，AD=4，利用线段的和差关系解出结果.
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设绳长为x尺，列方程为，
故选：A．
【分析】本题以“以绳测井”的古代问题为背景，考查了一元一次方程在实际问题中的应用。设绳长为 x 尺，根据两种测量方式下井深相等列方程。
10．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；二次函数的最值；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，，
∴，
则是的“三倍点”，故A正确，不符合题意；
B、由题意设“三倍点”，
∴，
解得：，
∴点，故B正确，不符合题意；
C、设抛物线的“三倍点”为，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，即存在1个点是点的“三倍点”，故C错误，符合题意；
D、设，
∴，
则，
，
，
，
当时，有最小值，
∴的最小值，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据“三倍点”定义，依次验证各选项：A、B直接代入定义判断即可；C联立抛物线方程与定义式，通过判别式判断交点个数；D利用两点距离公式结合二次函数求最值即可.
11．【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：.
【分析】将方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验解答即可．
13．【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得，一次函数与x轴的交点的横坐标即是对应的一元一次方程的解求解即可.
15．【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°.根据同弧所对的圆周角相等可得，再结合直角三角形的性质，即可得到答案．
16．【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
17．【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中的发芽率可知，当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，
∴ 这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93.
故答案为：0.93
【分析】利用表中数据可知当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，即可求解.
18．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，画图如下：
设OB=r，
根据题意可知，扇形圆心角的度数为=15°，
则l1=×2π（x+d），l2=×2πx，
∵d
∴l1-l2=×2π（x+d）-×2πx=×2πd=，
故答案为：．
【分析】根据题意画图，计算出扇形圆心角的度数，根据弧长公式分别将与表示出来再相减即可.
19．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂的性质及特殊锐角三角函数值，再合并同类项即可．
20．【答案】解：
，
当时，原式．

【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
21．【答案】（1）选择①，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
选择②，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得，，
，，
，
在中，，
．

【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】
（1）首先根据“两组对边分别平行的四边形式平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形，然后结合所选条件，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“对角线相等的平行四边形是矩形”进行证明；
（2）基于第（1）问的结论，在直角三角形ABC中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出斜边AC，再利用勾股定理求出直角边BC，最后根据矩形面积公式求解.
（1）选择①，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
选择②，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得，，
，，
，
在中，，
．
22．【答案】（1）400
（2）E类用户的人数为：（人），
补全条形统计图如图，
（3）；
（4）根据题意，求经常使用“”和“”的概率就是求同时抽中小明和小萱的概率，列表如下：
小明 小梅 小萱 翠花
小明 —— 小梅、小明 小萱、小明 翠花、小明
小梅 小明、小梅 —— 小萱、小梅 翠花、小梅
小萱 小明、小萱 小梅、小萱 —— 翠花、小萱
翠花 小明、翠花 小梅、翠花 小萱、翠花 ——
由表可知，共有12种等可能得情况，其中抽取的两位同学恰好是小明和小萱的情况共有2种，
抽中小明和小萱的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）
解：B类用户80人，占比，
被抽取的师生人数为：（人），
故答案为：；
（3）
，即“A”部分所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
【分析】
（1）从条形统计图和扇形统计图可知，B类用户80人，占比，即可求出被抽取的师生人数；
（2）根据总人数及图中A类、B类、C类、D类用户的人数，可求出E类人数，补全条形统计图即可；
（3）首先先求A类人数所占的百分比，再乘以即可；
（4）先用列表或画树状图法分析所有可能出现的结果，再找出同时抽中小明和小萱的总数，再根据概率公式求解．
（1）解：B类用户80人，占比，
被抽取的师生人数为：（人），
故答案为：；
（2）E类用户的人数为：（人），
补全条形统计图如图，
（3），即“A”部分所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（4）根据题意，求经常使用“”和“”的概率就是求同时抽中小明和小萱的概率，列表如下：
小明 小梅 小萱 翠花
小明 —— 小梅、小明 小萱、小明 翠花、小明
小梅 小明、小梅 —— 小萱、小梅 翠花、小梅
小萱 小明、小萱 小梅、小萱 —— 翠花、小萱
翠花 小明、翠花 小梅、翠花 小萱、翠花 ——
由表可知，共有12种等可能得情况，其中抽取的两位同学恰好是小明和小萱的情况共有2种，
抽中小明和小萱的概率为．
23．【答案】（1）设每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为个和个，
依题意得，
答：每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为40个和25个.
（2）设租用小客车辆，则租用大客车辆，依题意得，
.
解得
∵为整数，
∴的最大值为3.
答：最多租用小客车3辆.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】本题以学校租车参加公益活动为背景，考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用。
（1）设大客车座位数为 x，小客车为 y，根据数量关系列方程组求解。
（2）设租用小客车 a 辆，则大客车 (10-a) 辆，根据总人数不少于实际参加人数列不等式，求 a 的最大整数值。
24．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意得，
，
在中，，
，
答：观景台点到山脚的距离约为米；
（2）过点作于点，过点作，
由题意得，，，
，，
在中，，
，
答：的长约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线，根据已知条件，在中，根据的长和，即可求出的长；
（2）通过作辅助线，根据已知条件，在中，根据，由，即可求出的长．
（1）解：如图所示，过点作于点，由题意得，
，
在中，，
，
答：观景台点到山脚的距离约为米；
（2）过点作于点，过点作，
由题意得，，，
，，
在中，，
，
答：的长约为米．
25．【答案】（1），，
（2）证明：由（1）可知，，，
当时，，解得或，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得，
∵，
∴，
∴为定值．
（3）解：由（2）已得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积为
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2，
∴此时，，
又∵，
∴，
∴，即点与点重合，
∴此时点的坐标为，
综上，面积的最大值2，此时点的坐标为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）
解：将二次函数化成顶点式为，
∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等，
∴，，
由表格可知，当时，，
∴，
∴，
故答案为：，，．
【分析】
（1）利用抛物线的对称性确定t和n的值，将已知点代入解析式中求c；
（2）通过作辅助线，先求出A、B、P三点坐标及PA、PB的长，利用三角函数（正弦）将d1，d2表示为关于m的式子，相加后消去m证明为定值；
（3）利用平行线和等腰三角形判定得出，再证出，利用相似三角形的性质可得的长，然后根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得．
（1）解：将二次函数化成顶点式为，
∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等，
∴，，
由表格可知，当时，，
∴，
∴，
故答案为：，，．
（2）证明：由（1）可知，，，
当时，，解得或，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得，
∵，
∴，
∴为定值．
（3）解：由（2）已得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积为
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2，
∴此时，，
又∵，
∴，
∴，即点与点重合，
∴此时点的坐标为，
综上，面积的最大值2，此时点的坐标为．
26．【答案】（1）解：连接，如图1，
∵的直径垂直弦于点E，且，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
（2）①证明：连接，如图2，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦于点E，
∴，
∴，
∴；
②解：当时，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
即，
∴；
当时，
在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以圆中的垂径定理、圆周角定理及相似三角形为背景，考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想。
（1）利用垂径定理及勾股定理求AB的长。
（2）①连接DG，由中点得弧相等，进而得角相等，通过角度代换证∠GAF=∠F。
②分CF=CD和DF=CD两种情况，利用相似三角形的性质列比例式求BG的长。
（1）解：连接，如图1，
∵的直径垂直弦于点E，且，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
（2）①证明：连接，如图2，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦于点E，
∴，
∴，
∴；
②解：当时，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
即，
∴；
当时，
在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
1 / 1湖南省娄底市娄星区2025年初中毕业学业水平考试数学模拟卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2025的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故答案为：D．
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，即可求解．
2．地球与月球的平均距离大约为384000km，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×105
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000=3.84×105，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为原数的整数位数.
3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 三视图的知识得从上面看，得到的图形是 ：
故答案为：B．
【分析】从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线即可得答案.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，正确；
B．与不是同类项，不能合并，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项进行判断即可求出答案.
5．铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，，
∵数据有奇数个，最中间的数据为：，
∴这组数据的中位数为．
故选：B．
【分析】将数据从小到大排列，居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数解答即可．
6．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据补角即可求出答案.
7．下列命题中，不正确的是（　　）
A．对顶角相等 B．菱形的四条边都相等
C．平移不改变图形的形状和大小 D．任意多边形的内角和等于
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；菱形的性质；平移的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，此命题正确，不符合题意；
B、菱形的四条边都相等，此命题正确，不符合题意；
C、平移不改变图形的形状和大小，此命题正确，不符合题意；
D、根据多边形的内角和公式为，其中为边数，可以判定“任意多边形的内角和等于”命题错误，符合题意；
故选：D．
【分析】
需依次判断每个命题的正确性，依据对顶角性质、菱形定义、平移性质及多边形内角和公式进行分析.
8．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，连接，若，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，
，
，
故选：A．
【分析】
根据已知条件可判定直线MN是线段AC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得AD=CD，在结合已知条件BC=7，AD=4，利用线段的和差关系解出结果.
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设绳长为x尺，列方程为，
故选：A．
【分析】本题以“以绳测井”的古代问题为背景，考查了一元一次方程在实际问题中的应用。设绳长为 x 尺，根据两种测量方式下井深相等列方程。
10．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“三倍点”．已知点，下列结论错误的是（　　）
A．点是点的“三倍点”
B．若直线上的点A是点的“三倍点”，则点A的坐标为
C．抛物线上存在两个点是点的“三倍点”
D．若点B是点的“三倍点”，则的最小值是
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标；二次函数的最值；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，，
∴，
则是的“三倍点”，故A正确，不符合题意；
B、由题意设“三倍点”，
∴，
解得：，
∴点，故B正确，不符合题意；
C、设抛物线的“三倍点”为，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，即存在1个点是点的“三倍点”，故C错误，符合题意；
D、设，
∴，
则，
，
，
，
当时，有最小值，
∴的最小值，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据“三倍点”定义，依次验证各选项：A、B直接代入定义判断即可；C联立抛物线方程与定义式，通过判别式判断交点个数；D利用两点距离公式结合二次函数求最值即可.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：x2-16= 　 　.
【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：.
【分析】将方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验解答即可．
13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是　 　.
【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
14．如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，即时，，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系可得，一次函数与x轴的交点的横坐标即是对应的一元一次方程的解求解即可.
15．如图，是的直径，是的弦，连接．若，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°.
∵，
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°.根据同弧所对的圆周角相等可得，再结合直角三角形的性质，即可得到答案．
16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用；8字型相似模型
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
【分析】由题可得，过作于点，交于点，利根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比解题即可.
17．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
这种绿豆发芽的概率的估计值为　 　（精确到0.01）．
【答案】0.93
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表中的发芽率可知，当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，
∴ 这种绿豆发芽的概率的估计值为0.93.
故答案为：0.93
【分析】利用表中数据可知当实验次数逐渐增多，发芽率越来越稳定在0.93左右，即可求解.
18．如图是中国邮政集团公司发行的《二十四节气》特殊版式小全张，图（1）是由24枚大小相同的邮票组成的一个圆环，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，图（2）以“大雪”节气单枚邮票为例，该邮票的“直边长”为d，则“上圆弧”长与“下圆弧”长 的差为　 　（用含，d的式子表示）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，画图如下：
设OB=r，
根据题意可知，扇形圆心角的度数为=15°，
则l1=×2π（x+d），l2=×2πx，
∵d
∴l1-l2=×2π（x+d）-×2πx=×2πd=，
故答案为：．
【分析】根据题意画图，计算出扇形圆心角的度数，根据弧长公式分别将与表示出来再相减即可.
三、解答题（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂的性质及特殊锐角三角函数值，再合并同类项即可．
20．先化简再求值：其中．
【答案】解：
，
当时，原式．

【知识点】完全平方公式及运用；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
21．如图，在四边形中，，，对角线和相交于点．请在以下两个条件中：“①；②”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）选择①，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
选择②，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得，，
，，
，
在中，，
．

【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】
（1）首先根据“两组对边分别平行的四边形式平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形，然后结合所选条件，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”或“对角线相等的平行四边形是矩形”进行证明；
（2）基于第（1）问的结论，在直角三角形ABC中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出斜边AC，再利用勾股定理求出直角边BC，最后根据矩形面积公式求解.
（1）选择①，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
选择②，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）得，，
，，
，
在中，，
．
22．2025年2月17日，民营企业座谈会在北京召开，习总书记亲自出席并发表重要讲话．众多AI（人工智能）行业的企业家出席了此次座谈会，标志着我国AI事业得到了迅猛发展．为了解AI软件的使用情况，某中学数学活动小组随机抽取了部分师生进行调查，并根据调查结果绘制了以下尚不完整的统计图．为了方便统计，把经常使用“”的用户记为A类，经常使用“豆包”的用户记为B类，经常使用“”的用户记为C类，经常使用“腾讯元宝”的用户记为D类，经常使用其他AI软件的用户记为E类．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的师生人数为______人；
（2）补全条形统计图：
（3）在扇形统计图中，“A”部分所对应扇形的圆心角度数是______；
（4）某班以下四位同学中，小明经常使用“”、小梅经常使用“豆包”、小萱经常使用“”、“翠花”经常使用“腾讯元宝”，若数学活动小组随机从4人抽取2人，则抽中的同学中，经常使用“”和“”的概率为多少？
【答案】（1）400
（2）E类用户的人数为：（人），
补全条形统计图如图，
（3）；
（4）根据题意，求经常使用“”和“”的概率就是求同时抽中小明和小萱的概率，列表如下：
小明 小梅 小萱 翠花
小明 —— 小梅、小明 小萱、小明 翠花、小明
小梅 小明、小梅 —— 小萱、小梅 翠花、小梅
小萱 小明、小萱 小梅、小萱 —— 翠花、小萱
翠花 小明、翠花 小梅、翠花 小萱、翠花 ——
由表可知，共有12种等可能得情况，其中抽取的两位同学恰好是小明和小萱的情况共有2种，
抽中小明和小萱的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）
解：B类用户80人，占比，
被抽取的师生人数为：（人），
故答案为：；
（3）
，即“A”部分所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
【分析】
（1）从条形统计图和扇形统计图可知，B类用户80人，占比，即可求出被抽取的师生人数；
（2）根据总人数及图中A类、B类、C类、D类用户的人数，可求出E类人数，补全条形统计图即可；
（3）首先先求A类人数所占的百分比，再乘以即可；
（4）先用列表或画树状图法分析所有可能出现的结果，再找出同时抽中小明和小萱的总数，再根据概率公式求解．
（1）解：B类用户80人，占比，
被抽取的师生人数为：（人），
故答案为：；
（2）E类用户的人数为：（人），
补全条形统计图如图，
（3），即“A”部分所对应扇形的圆心角度数是，
故答案为：；
（4）根据题意，求经常使用“”和“”的概率就是求同时抽中小明和小萱的概率，列表如下：
小明 小梅 小萱 翠花
小明 —— 小梅、小明 小萱、小明 翠花、小明
小梅 小明、小梅 —— 小萱、小梅 翠花、小梅
小萱 小明、小萱 小梅、小萱 —— 翠花、小萱
翠花 小明、翠花 小梅、翠花 小萱、翠花 ——
由表可知，共有12种等可能得情况，其中抽取的两位同学恰好是小明和小萱的情况共有2种，
抽中小明和小萱的概率为．
23．为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个.
（1）求每辆大客车和小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
【答案】（1）设每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为个和个，
依题意得，
答：每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为40个和25个.
（2）设租用小客车辆，则租用大客车辆，依题意得，
.
解得
∵为整数，
∴的最大值为3.
答：最多租用小客车3辆.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】本题以学校租车参加公益活动为背景，考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用。
（1）设大客车座位数为 x，小客车为 y，根据数量关系列方程组求解。
（2）设租用小客车 a 辆，则大客车 (10-a) 辆，根据总人数不少于实际参加人数列不等式，求 a 的最大整数值。
24．某数学兴趣小组进行实践活动：测量某山的高度，他们设计了如下测量方案：
项目 测量某山的高度
测量工具 测距仪、测角仪
示意图 如图2是一段索道的示意图，点A为山的观景台，点B是索道停靠点．
测量数据 从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离．
根据表格中提供的信息，解答下列问题：
（1）求观景台点到山脚的距离；（结果精确到）
（2）求的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意得，
，
在中，，
，
答：观景台点到山脚的距离约为米；
（2）过点作于点，过点作，
由题意得，，，
，，
在中，，
，
答：的长约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）通过作辅助线，根据已知条件，在中，根据的长和，即可求出的长；
（2）通过作辅助线，根据已知条件，在中，根据，由，即可求出的长．
（1）解：如图所示，过点作于点，由题意得，
，
在中，，
，
答：观景台点到山脚的距离约为米；
（2）过点作于点，过点作，
由题意得，，，
，，
在中，，
，
答：的长约为米．
25．如图1，抛物线与x轴交于点A和B（其中点A在B左侧），顶点为P，点C是x轴上一个动点，其横坐标为，连接，．已知抛物线y与x的变化规律如下表所示：
… 0 1 3 4 5 …
… 0 3 4 3 0 …
（1）直接写出_____，_____，_____；
（2）记点到的距离为，点到的距离为，若，求证：d为定值；
（3）如图2，过点作的平行线交于点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【答案】（1），，
（2）证明：由（1）可知，，，
当时，，解得或，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得，
∵，
∴，
∴为定值．
（3）解：由（2）已得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积为
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2，
∴此时，，
又∵，
∴，
∴，即点与点重合，
∴此时点的坐标为，
综上，面积的最大值2，此时点的坐标为．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）
解：将二次函数化成顶点式为，
∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等，
∴，，
由表格可知，当时，，
∴，
∴，
故答案为：，，．
【分析】
（1）利用抛物线的对称性确定t和n的值，将已知点代入解析式中求c；
（2）通过作辅助线，先求出A、B、P三点坐标及PA、PB的长，利用三角函数（正弦）将d1，d2表示为关于m的式子，相加后消去m证明为定值；
（3）利用平行线和等腰三角形判定得出，再证出，利用相似三角形的性质可得的长，然后根据的面积等于，利用二次函数的性质求解即可得．
（1）解：将二次函数化成顶点式为，
∴这个二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等；时的函数值与时的函数值相等，
∴，，
由表格可知，当时，，
∴，
∴，
故答案为：，，．
（2）证明：由（1）可知，，，
当时，，解得或，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
如图，过点作轴于点，过点作于点，作于点，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，即，解得，
在中，，即，解得，
∵，
∴，
∴为定值．
（3）解：由（2）已得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积为
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为2，
∴此时，，
又∵，
∴，
∴，即点与点重合，
∴此时点的坐标为，
综上，面积的最大值2，此时点的坐标为．
26．如图1，的直径垂直弦于点E，且．
（1）求的长．
（2）探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】（1）解：连接，如图1，
∵的直径垂直弦于点E，且，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
（2）①证明：连接，如图2，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦于点E，
∴，
∴，
∴；
②解：当时，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
即，
∴；
当时，
在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以圆中的垂径定理、圆周角定理及相似三角形为背景，考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想。
（1）利用垂径定理及勾股定理求AB的长。
（2）①连接DG，由中点得弧相等，进而得角相等，通过角度代换证∠GAF=∠F。
②分CF=CD和DF=CD两种情况，利用相似三角形的性质列比例式求BG的长。
（1）解：连接，如图1，
∵的直径垂直弦于点E，且，
∴，
∴，，
在中，，
∴；
（2）①证明：连接，如图2，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦于点E，
∴，
∴，
∴；
②解：当时，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
即，
∴；
当时，
在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
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