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四川省泸州市龙马潭区联考2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．下列各数中，无理数是(　　)
A． B． C． D．0
2．下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　）
A．众数是1 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是6
5．在平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（　　）
A．14 B．18 C．20 D．26
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的为(　　)
A． B．
C． D．
8．如图，四边形为的内接四边形，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形中，，E为边的中点，F为边上一点，连接，与关于对称，延长，分别交边于点．若，则为（　　）．
A． B． C．1 D．
12．如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（　　）．
A． B．或
C． D．或
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解： 　 　；
14．已知：，是关于的方程的两个实数根，则的值为　 　．
15．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线交、于点、，连接、，则　 　．
16．如图，正方形的边长为4，点E，F分别是和上的动点，且，和相交于点P，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分）
17．计算：
18．已知：如图，点A、B、E在同一直线上，AC∥BD且AC=BE，∠ABC=∠D，
求证：AB=BD.
19．计算：．
四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）
20．某学校九年级进行了一次古文化知识测试，九年级共有700名学生．李老师将九（1）班和九（2）班各名同学的成绩进行了统计，把成绩分为5组（得分用表示，满分为150分）：：，：，：，：，：，并整理绘制了如图所示的统计图
已知九（1）班和九（2）班成绩处于组的人数是相同的，根据图中给出的信息，完成下列问题，
（1）________，________；
（2）组人数最多的班级是________；
（3）已知该校各班级人数相同且都为平行班，记120分及120分以上的成绩为优秀，请利用这两个班的成绩估计整个九年级本次古文化知识成绩为优秀的人数．
21．为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为核心素养教育下的新内容和新方式．某中学组织学生进行研学活动，学生到达基地后，他们先从如图所示的基地门口A处沿南偏西方向走了400米，到达昆虫博览馆B处，再从B处向正东方向走了400米到达农耕体验区D处，然后从D处沿正北方向到达户外拓展区C处，最后再从C处沿北偏西方向回到A处．求户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离．（参考数据：）
23．如图，在直角坐标系中，面积为的矩形的边在轴上，点的坐标为，双曲线经过点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）连接，若将矩形沿着轴的负方向平移个单位时，线段与双曲线恰有两个公共点，求的取值范围．
24．如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A，点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点E． 若，求点D的坐标；
（3）直线与抛物线交于F，H两点，取点，连接、，求面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是负整数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】本题以常见图形为背景，考查了轴对称图形和中心对称图形的识别。根据轴对称图形（存在一条直线使图形折叠后重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后与原图重合）的定义，逐项判断，找出同时满足两个条件的选项。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】A、这组数据中1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确；
B、，求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是5，故中位数为5，故此选项错误；
故答案为：D．
【分析】利用众数和中位数的定义分别求出这组数据的众数和中位数，可对A、D作出判断；再利用平均数公式求出其平均数，可对B作出判断；然后求出方差，可对C作出判断.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角相等（对边平行）得到∠A=∠C，AD∥BC，然后结合∠A+∠C=200°，即可求出∠A=100°，最后根据二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的周长为22，
∴，
∵的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）以及三角形周长的计算。由垂直平分线性质得 BD = CD，且 BC = 2BE = 8。已知 △ ABC 周长为 22，即 AB + AC + BC = 22，代入 BC = 8 得 AB + AC = 14。而△ABD 的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC = 14。注意等量代换的运用。
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【分析】
先分别求解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后根据解集在数轴上的表示规则判断选项即可.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴
∵四边形为的内接四边形，
∴．
故选：C．
【分析】本题以圆内接四边形与圆心角为背景，考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质。由 OA OC 得 AOC = 90，则。根据圆内接四边形对角互补，得。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】设平均每次降价的百分率为，根据增长率问题列方程解题即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵EF⊥BD，
∴∠EOD=∠BOF=90°，
∴∠EDO=90°-∠DEO=30°，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，∠DEO=∠BFO=60°，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由邻补角求出∠DEO=60°，由直角三角形两锐角互余求出∠EDO=30°，由矩形性质得及AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出，∠DEO=∠BFO=60°，由三角形外角性质求出∠FOC=30°，根据等角对等边得出OF=FC；根据含30°角直角三角形的性质求出OF=BF，在Rt△BOF中，利用勾股定理建立方程可求出OF的长，从而即可得出CF的长.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵与关于对称，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴F为边的中点，即，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题以矩形中的折叠与对称变换为背景，考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。连接EI，由对称得∠FGE=∠B=90°，BE=EG，BF=FG。证△AFH≌△GFH得AF=FG=BF，F为AB中点，BF=AB。由E为BC中点得BE=EC=6。证△EGI≌△ECI得∠GEI=∠CEI，结合∠FEB=∠GEB得∠FEI=90°，进而证Rt△BFE∽Rt△CEI，由相似比求IC，最后得DI=CD-IC=1。
12．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一次函数的图象共存判断；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：解
得或，
∴点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（2，0），
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤＜2；
当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点B的右侧时，当＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上，﹣1≤＜2 或＝3．
故选：B．
【分析】本题以抛物线与直线相交及点的平移为背景，考查了函数交点坐标的求解、平移变换及分类讨论思想。先联立方程求A(-1，3)、B(2，0)。点M在直线AB上，N为M左移4个单位。分M在线段AB上时，MN与抛物线只有一个公共点；M在B右侧且横坐标为3时也满足，综合得﹣1≤＜2 或 = 3。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 ；故答案为 .
【分析】先运用提公因式法，再运用平方差公式因式分解即可.
14．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，是关于的方程的两个实数根，
∴x1+x2=1-2a，x1x2=a2，
∵，
∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，
∴a2+2（1-2a）+4=11，
解得：a1=-1，a2=5，
∵，是关于的方程的两个实数根，
∴△=（2a-1）2-4×1×a2≥0，
解得：a≤，
∴a=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=1-2a，x1x2=a2，再结合求出a1=-1，a2=5，再利用根的判别式求出a≤，即可得到a的值.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题得为的垂直平分线，
∴，，，
又∵，，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【分析】本题以尺规作图（垂直平分线）与直角三角形为背景，考查了垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。由作图得PQ为BC的垂直平分线，则BN=2，∠MNB=90°，CM=BM。由∠ACB=90°得△BMN∽△BAC，结合BC=2AC=4得AC=2，则MN=1。在Rt△BMN中，，故CM=。
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
取中点，连接、
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，最小，最小值为
故答案为：．
【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定及利用三角形三边关系求最值。证△ADE≌△BAF(SAS)得∠ADE=∠BAF，进而∠APD=90°。取AD中点M，则PM=AD=2，BM=2。由点P在以M为圆心、2为半径的圆上，得BP≥BM-PM=2-2，当P在线段BM上时取最小值。
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂及绝对值的计算。分别计算：，=-3，=1，|1-|=-1，合并得 4-3。
18．【答案】解：∵AC∥BD，
∴∠BAC=∠DBE，
在△ABC与△BDE中
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AB=BD．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等）以及全等三角形的判定（AAS）与性质。由 ACBD 得BAC = DBE。在△ ABC 和△BDE 中，已知 BAC =DBE， ABC = D，且 AC = BE，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，故 △ABC≌△BDE，对应边 AB = BD。注意判定定理的正确选择及对应边的准确识别。
19．【答案】解：
．
【知识点】约分；分式的除法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本题主要考查分式的除法运算，涉及因式分解与约分。先将除法转化为乘法：。分母-6a+9 可因式分解为，分子 与分母 a 约去一个 a，同时 与分子中的 a-3 约去一个 a-3，最终化简为。注意运算顺序及分式有意义的条件（a0， 3）。
20．【答案】（1）50，10
（2）九（2）班
（3）解：由题意得：（人），
∴估计整个九年级本次古文化知识成绩为优秀的人数为人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
，
；
（2）解：九（2）班组人数为：（人），
∵九（1）班组人数为人，
∴组人数最多的班级是九（2）班；
【分析】本题以两个班级的古文化知识测试成绩统计为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、频数计算及用样本估计总体。
（1）根据B组人数相同及扇形图百分比，求出m=50、n=10。
（2）分别计算两班E组人数，比较得九（2）班最多。
（3）样本中优秀（≥120分）人数比例乘以全校700人，估计优秀人数为350人。
21．【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元，
根据题意可知：，
解得：，
答：购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元；
（2）解：设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，
根据题意可得：，
解得：，
销售总利润为，
由由一次函数性质可知，随的增大而减小，
当时，获得利润最大，最大利润（元），
答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购进纪念品为背景，综合考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质求最值。
（1）设 A 种纪念品每件 m 元，B 种每件 n 元，根据两次购买的总价列方程组，解得 m = 100，n = 50；
（2）设购进 A 种 x 件，则 B 种 100 - x 件，根据资金范围列不等式组，解得，利润 y = 20x + 30(100 - x) = 3000 - 10x，由一次函数性质知 y 随 x 增大而减小，故 x = 50 时利润最大，为 3000 - 1050 = 2500 元。注意不等式组的解集与整数解的对应关系。
（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元，
根据题意可知：，
解得：，
答：购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元；
（2）解：设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，
根据题意可得：，
解得：，
销售总利润为，
由由一次函数性质可知，随的增大而减小，
当时，获得利润最大，最大利润（元），
答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元．
22．【答案】解∶如图，过点A作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形，
∴，
根据题意可知∶米，米，，
∴（米），，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴（米）．
答：户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离为250米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题以研学旅行路线为背景，综合考查解直角三角形的实际应用，涉及方向角、矩形的性质以及锐角三角函数的计算。过点 A 作 AE BD 于点 E，过点 C 作 CFAE 于点 F，则四边形 CDEF 为矩形，得 CF = DE。在 Rt△ABE 中，由 AB = 400 米， BAE = 30 得米，则 DE = BD - BE = 400 - 200 = 200 米，故 CF = 200 米。在 Rt△ AFC 中， CAF = 53，由 sin 53 = 得米。注意方向角的识别及三角函数值的准确代入。
23．【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴AD=2，
∵矩形ABCD的面积为18，
∴2BC=18，
∴BC=9，
∵点的坐标为，由图得线段为矩形的长，
∴ 点和点的横坐标相等，
设点，
，
解得：，
∴，
∵双曲线经过点，
∴把代入双曲线，
解得：，
∴双曲线；
（2）解：设直线的解析式为，
∵点的坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵将矩形沿着轴的负方向平移个单位，
∴平移后的直线的解析式为，
∴，
化简得：，
∵平移后的线段与双曲线恰有两个公共点，
∴，
即解得：，
∵，
∴，
∴当时，平移后的线段与双曲线有1个公共点，
∴当时，平移后的线段与双曲线恰有两个公共点.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）首先根据点D的坐标得出AD=2，然后根据矩形面积公式求出CD=9，根据点的坐标与图形性质设点，进而根据求出，则点，然后利用待定系数法求解反比例函数解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线OD的解析式，根据图象平移规律“左加右减”设平移后的直线的解析式为，然后和双曲线解析式联立方程组根的判别式求出方程组有唯一解时t的值，即可即可求解的取值范围．
（1）解：∵点的坐标为，由图得线段为矩形的长，
∴ 点和点的横坐标相等，
设点，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∵双曲线经过点，
∴把代入双曲线，
解得：，
∴双曲线；
（2）解：设直线的解析式为，
∵点的坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵将矩形沿着轴的负方向平移个单位，
∴平移后的直线的解析式为，
∴，
化简得：，
∵平移后的线段与双曲线恰有两个公共点，
∴，
即解得：，
∵，
∴，
∴当时，平移后的线段与双曲线有1个公共点，
∴当时，平移后的线段与双曲线恰有两个公共点；
24．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：作于G，则，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
在中，，
解得，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】本题以圆内接三角形与切线证明为背景，考查了切线的判定、三角形中位线定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质。
（1）连接OC，由等腰三角形及对顶角代换得∠OCA+∠DCF=90°，即OC⊥CD，证得CD是切线。
（2）作OG⊥AC于G，由中位线得OG=3，利用勾股定理得FG=1，证△AGO∽△OGF求OA=3。设DF=DC=x，在Rt△OCD中由勾股定理列方程解得x=4，进而得DE=DO-OE=2。
25．【答案】（1）解：把，代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，
∴，
如图，过点D作x轴的平行线，交于点M，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：
∵直线过定点，记为点Q，
又∵，
∴轴且，
∴，
∴，
∴，
由韦达定理得，，
∴，
∴当时，有最小值，
∴面积的最小值．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数综合为背景，综合考查待定系数法求解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质（A字型相似）、直线过定点以及利用韦达定理求弦长最值。
（1）将 B(3，0)、C(0，3) 代入 y =+ bx + c 得 b = 2，c = 3，解析式为 y = + 2x + 3；
（2）由解析式得 A(-1，0)，AB = 4，求出直线 BC： y = -x + 3，过点 D 作 x 轴的平行线交 BC 于 M，设 D(m， + 2m + 3)，则 M( - 2m， - + 2m + 3)，由 DMAB 得，结合 AE = 2ED 得，从而 DM = 2，代入解得 m = 1 或 m = 2，对应 D(1，4) 或 D(2，3)；
（3）直线 y = k(x-2) + 1 恒过定点 Q(2，1)，且 P(2，0)，故 PQ = 1，PQ x 轴，△ PFH 的面积 。联立直线与抛物线方程得，由韦达定理得，则，当 k = -2 时取最小值，故 △PFH 面积最小值为。注意直线过定点及韦达定理在弦长公式中的应用。
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，
∴，
如图，过点D作x轴的平行线，交于点M，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：∵直线过定点，记为点Q，
又∵，
∴轴且，
∴，
∴，
∴，
由韦达定理得，，
∴，
∴当时，有最小值，
∴面积的最小值．
1 / 1四川省泸州市龙马潭区联考2025年中考三模数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求）
1．下列各数中，无理数是(　　)
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是负整数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
【分析】本题以常见图形为背景，考查了轴对称图形和中心对称图形的识别。根据轴对称图形（存在一条直线使图形折叠后重合）和中心对称图形（绕某点旋转180°后与原图重合）的定义，逐项判断，找出同时满足两个条件的选项。
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴该选项计算错误，不符合题意；
B、∵，∴该选项计算正确，符合题意；
C、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
D、∵，∴该选项计算不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法，积的乘方，分别对各个选项计算验证，即可解答.
4．对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　）
A．众数是1 B．平均数是4 C．方差是 D．中位数是6
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】A、这组数据中1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确；
B、，求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是5，故中位数为5，故此选项错误；
故答案为：D．
【分析】利用众数和中位数的定义分别求出这组数据的众数和中位数，可对A、D作出判断；再利用平均数公式求出其平均数，可对B作出判断；然后求出方差，可对C作出判断.
5．在平行四边形中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角相等（对边平行）得到∠A=∠C，AD∥BC，然后结合∠A+∠C=200°，即可求出∠A=100°，最后根据二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
6．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（　　）
A．14 B．18 C．20 D．26
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的周长为22，
∴，
∵的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）以及三角形周长的计算。由垂直平分线性质得 BD = CD，且 BC = 2BE = 8。已知 △ ABC 周长为 22，即 AB + AC + BC = 22，代入 BC = 8 得 AB + AC = 14。而△ABD 的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC = 14。注意等量代换的运用。
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【分析】
先分别求解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后根据解集在数轴上的表示规则判断选项即可.
8．如图，四边形为的内接四边形，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴
∵四边形为的内接四边形，
∴．
故选：C．
【分析】本题以圆内接四边形与圆心角为背景，考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质。由 OA OC 得 AOC = 90，则。根据圆内接四边形对角互补，得。
9．某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
故答案为：．
【分析】设平均每次降价的百分率为，根据增长率问题列方程解题即可．
10．如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵EF⊥BD，
∴∠EOD=∠BOF=90°，
∴∠EDO=90°-∠DEO=30°，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，∠DEO=∠BFO=60°，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由邻补角求出∠DEO=60°，由直角三角形两锐角互余求出∠EDO=30°，由矩形性质得及AD∥BC，由二直线平行，内错角相等及等边对等角得出，∠DEO=∠BFO=60°，由三角形外角性质求出∠FOC=30°，根据等角对等边得出OF=FC；根据含30°角直角三角形的性质求出OF=BF，在Rt△BOF中，利用勾股定理建立方程可求出OF的长，从而即可得出CF的长.
11．如图，在矩形中，，E为边的中点，F为边上一点，连接，与关于对称，延长，分别交边于点．若，则为（　　）．
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵与关于对称，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴F为边的中点，即，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题以矩形中的折叠与对称变换为背景，考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。连接EI，由对称得∠FGE=∠B=90°，BE=EG，BF=FG。证△AFH≌△GFH得AF=FG=BF，F为AB中点，BF=AB。由E为BC中点得BE=EC=6。证△EGI≌△ECI得∠GEI=∠CEI，结合∠FEB=∠GEB得∠FEI=90°，进而证Rt△BFE∽Rt△CEI，由相似比求IC，最后得DI=CD-IC=1。
12．如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（　　）．
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一次函数的图象共存判断；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：解
得或，
∴点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（2，0），
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤＜2；
当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点B的右侧时，当＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上，﹣1≤＜2 或＝3．
故选：B．
【分析】本题以抛物线与直线相交及点的平移为背景，考查了函数交点坐标的求解、平移变换及分类讨论思想。先联立方程求A(-1，3)、B(2，0)。点M在直线AB上，N为M左移4个单位。分M在线段AB上时，MN与抛物线只有一个公共点；M在B右侧且横坐标为3时也满足，综合得﹣1≤＜2 或 = 3。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解： 　 　；
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 ；故答案为 .
【分析】先运用提公因式法，再运用平方差公式因式分解即可.
14．已知：，是关于的方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵，是关于的方程的两个实数根，
∴x1+x2=1-2a，x1x2=a2，
∵，
∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，
∴a2+2（1-2a）+4=11，
解得：a1=-1，a2=5，
∵，是关于的方程的两个实数根，
∴△=（2a-1）2-4×1×a2≥0，
解得：a≤，
∴a=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=1-2a，x1x2=a2，再结合求出a1=-1，a2=5，再利用根的判别式求出a≤，即可得到a的值.
15．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线交、于点、，连接、，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题得为的垂直平分线，
∴，，，
又∵，，
，
∴，
，
，
故答案为：．
【分析】本题以尺规作图（垂直平分线）与直角三角形为背景，考查了垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用。由作图得PQ为BC的垂直平分线，则BN=2，∠MNB=90°，CM=BM。由∠ACB=90°得△BMN∽△BAC，结合BC=2AC=4得AC=2，则MN=1。在Rt△BMN中，，故CM=。
16．如图，正方形的边长为4，点E，F分别是和上的动点，且，和相交于点P，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
取中点，连接、
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，最小，最小值为
故答案为：．
【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定及利用三角形三边关系求最值。证△ADE≌△BAF(SAS)得∠ADE=∠BAF，进而∠APD=90°。取AD中点M，则PM=AD=2，BM=2。由点P在以M为圆心、2为半径的圆上，得BP≥BM-PM=2-2，当P在线段BM上时取最小值。
三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分）
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂及绝对值的计算。分别计算：，=-3，=1，|1-|=-1，合并得 4-3。
18．已知：如图，点A、B、E在同一直线上，AC∥BD且AC=BE，∠ABC=∠D，
求证：AB=BD.
【答案】解：∵AC∥BD，
∴∠BAC=∠DBE，
在△ABC与△BDE中
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AB=BD．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等）以及全等三角形的判定（AAS）与性质。由 ACBD 得BAC = DBE。在△ ABC 和△BDE 中，已知 BAC =DBE， ABC = D，且 AC = BE，满足“两角及其中一角的对边对应相等”，故 △ABC≌△BDE，对应边 AB = BD。注意判定定理的正确选择及对应边的准确识别。
19．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】约分；分式的除法；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】本题主要考查分式的除法运算，涉及因式分解与约分。先将除法转化为乘法：。分母-6a+9 可因式分解为，分子 与分母 a 约去一个 a，同时 与分子中的 a-3 约去一个 a-3，最终化简为。注意运算顺序及分式有意义的条件（a0， 3）。
四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分）
20．某学校九年级进行了一次古文化知识测试，九年级共有700名学生．李老师将九（1）班和九（2）班各名同学的成绩进行了统计，把成绩分为5组（得分用表示，满分为150分）：：，：，：，：，：，并整理绘制了如图所示的统计图
已知九（1）班和九（2）班成绩处于组的人数是相同的，根据图中给出的信息，完成下列问题，
（1）________，________；
（2）组人数最多的班级是________；
（3）已知该校各班级人数相同且都为平行班，记120分及120分以上的成绩为优秀，请利用这两个班的成绩估计整个九年级本次古文化知识成绩为优秀的人数．
【答案】（1）50，10
（2）九（2）班
（3）解：由题意得：（人），
∴估计整个九年级本次古文化知识成绩为优秀的人数为人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
，
；
（2）解：九（2）班组人数为：（人），
∵九（1）班组人数为人，
∴组人数最多的班级是九（2）班；
【分析】本题以两个班级的古文化知识测试成绩统计为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、频数计算及用样本估计总体。
（1）根据B组人数相同及扇形图百分比，求出m=50、n=10。
（2）分别计算两班E组人数，比较得九（2）班最多。
（3）样本中优秀（≥120分）人数比例乘以全校700人，估计优秀人数为350人。
21．为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元，
根据题意可知：，
解得：，
答：购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元；
（2）解：设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，
根据题意可得：，
解得：，
销售总利润为，
由由一次函数性质可知，随的增大而减小，
当时，获得利润最大，最大利润（元），
答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购进纪念品为背景，综合考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质求最值。
（1）设 A 种纪念品每件 m 元，B 种每件 n 元，根据两次购买的总价列方程组，解得 m = 100，n = 50；
（2）设购进 A 种 x 件，则 B 种 100 - x 件，根据资金范围列不等式组，解得，利润 y = 20x + 30(100 - x) = 3000 - 10x，由一次函数性质知 y 随 x 增大而减小，故 x = 50 时利润最大，为 3000 - 1050 = 2500 元。注意不等式组的解集与整数解的对应关系。
（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元，
根据题意可知：，
解得：，
答：购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元；
（2）解：设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，
根据题意可得：，
解得：，
销售总利润为，
由由一次函数性质可知，随的增大而减小，
当时，获得利润最大，最大利润（元），
答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元．
五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分）
22．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为核心素养教育下的新内容和新方式．某中学组织学生进行研学活动，学生到达基地后，他们先从如图所示的基地门口A处沿南偏西方向走了400米，到达昆虫博览馆B处，再从B处向正东方向走了400米到达农耕体验区D处，然后从D处沿正北方向到达户外拓展区C处，最后再从C处沿北偏西方向回到A处．求户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离．（参考数据：）
【答案】解∶如图，过点A作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形，
∴，
根据题意可知∶米，米，，
∴（米），，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴（米）．
答：户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离为250米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】本题以研学旅行路线为背景，综合考查解直角三角形的实际应用，涉及方向角、矩形的性质以及锐角三角函数的计算。过点 A 作 AE BD 于点 E，过点 C 作 CFAE 于点 F，则四边形 CDEF 为矩形，得 CF = DE。在 Rt△ABE 中，由 AB = 400 米， BAE = 30 得米，则 DE = BD - BE = 400 - 200 = 200 米，故 CF = 200 米。在 Rt△ AFC 中， CAF = 53，由 sin 53 = 得米。注意方向角的识别及三角函数值的准确代入。
23．如图，在直角坐标系中，面积为的矩形的边在轴上，点的坐标为，双曲线经过点．
（1）求双曲线的解析式；
（2）连接，若将矩形沿着轴的负方向平移个单位时，线段与双曲线恰有两个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵点的坐标为，
∴AD=2，
∵矩形ABCD的面积为18，
∴2BC=18，
∴BC=9，
∵点的坐标为，由图得线段为矩形的长，
∴ 点和点的横坐标相等，
设点，
，
解得：，
∴，
∵双曲线经过点，
∴把代入双曲线，
解得：，
∴双曲线；
（2）解：设直线的解析式为，
∵点的坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵将矩形沿着轴的负方向平移个单位，
∴平移后的直线的解析式为，
∴，
化简得：，
∵平移后的线段与双曲线恰有两个公共点，
∴，
即解得：，
∵，
∴，
∴当时，平移后的线段与双曲线有1个公共点，
∴当时，平移后的线段与双曲线恰有两个公共点.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）首先根据点D的坐标得出AD=2，然后根据矩形面积公式求出CD=9，根据点的坐标与图形性质设点，进而根据求出，则点，然后利用待定系数法求解反比例函数解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线OD的解析式，根据图象平移规律“左加右减”设平移后的直线的解析式为，然后和双曲线解析式联立方程组根的判别式求出方程组有唯一解时t的值，即可即可求解的取值范围．
（1）解：∵点的坐标为，由图得线段为矩形的长，
∴ 点和点的横坐标相等，
设点，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∵双曲线经过点，
∴把代入双曲线，
解得：，
∴双曲线；
（2）解：设直线的解析式为，
∵点的坐标为，
∴，
∴直线的解析式为，
∵将矩形沿着轴的负方向平移个单位，
∴平移后的直线的解析式为，
∴，
化简得：，
∵平移后的线段与双曲线恰有两个公共点，
∴，
即解得：，
∵，
∴，
∴当时，平移后的线段与双曲线有1个公共点，
∴当时，平移后的线段与双曲线恰有两个公共点；
24．如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：作于G，则，
∵，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
在中，，
解得，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】本题以圆内接三角形与切线证明为背景，考查了切线的判定、三角形中位线定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质。
（1）连接OC，由等腰三角形及对顶角代换得∠OCA+∠DCF=90°，即OC⊥CD，证得CD是切线。
（2）作OG⊥AC于G，由中位线得OG=3，利用勾股定理得FG=1，证△AGO∽△OGF求OA=3。设DF=DC=x，在Rt△OCD中由勾股定理列方程解得x=4，进而得DE=DO-OE=2。
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A，点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点E． 若，求点D的坐标；
（3）直线与抛物线交于F，H两点，取点，连接、，求面积的最小值．
【答案】（1）解：把，代入得，，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，
∴，
如图，过点D作x轴的平行线，交于点M，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：
∵直线过定点，记为点Q，
又∵，
∴轴且，
∴，
∴，
∴，
由韦达定理得，，
∴，
∴当时，有最小值，
∴面积的最小值．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数综合为背景，综合考查待定系数法求解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质（A字型相似）、直线过定点以及利用韦达定理求弦长最值。
（1）将 B(3，0)、C(0，3) 代入 y =+ bx + c 得 b = 2，c = 3，解析式为 y = + 2x + 3；
（2）由解析式得 A(-1，0)，AB = 4，求出直线 BC： y = -x + 3，过点 D 作 x 轴的平行线交 BC 于 M，设 D(m， + 2m + 3)，则 M( - 2m， - + 2m + 3)，由 DMAB 得，结合 AE = 2ED 得，从而 DM = 2，代入解得 m = 1 或 m = 2，对应 D(1，4) 或 D(2，3)；
（3）直线 y = k(x-2) + 1 恒过定点 Q(2，1)，且 P(2，0)，故 PQ = 1，PQ x 轴，△ PFH 的面积 。联立直线与抛物线方程得，由韦达定理得，则，当 k = -2 时取最小值，故 △PFH 面积最小值为。注意直线过定点及韦达定理在弦长公式中的应用。
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，
∴，
如图，过点D作x轴的平行线，交于点M，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
（3）解：∵直线过定点，记为点Q，
又∵，
∴轴且，
∴，
∴，
∴，
由韦达定理得，，
∴，
∴当时，有最小值，
∴面积的最小值．
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