资源简介

湖南省祁阳市浯溪第一中学2025年中考模拟数学试卷（三）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．实数2，0，，中，最大的数是（　　）
A．2 B．0 C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设
A．AB=AC B．∠B=∠C C．AB>AC D．AB5．高老师准备从超市购买一些奖品．如图，高老师从学校出发，随机选择一条道路，需先经过广场，最终到达超市，则这条路线恰好是最短路线的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（　　）
A． B． C．3 D．
8．如图，在中，，若，，则为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
9．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
10．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若，则代数式的值等于　 　
12．2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”．有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的 新型纳米材料，孔径在0.000000002米～0.000000005米范围内．数据0.000000002用科学记数法可表示为　 　．
13．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转，再前进10m后又向右转，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．那么小明一共走了　 　米．
14．若数据1，2，4，3，5的平均数是3，则中位数是　 　．
15．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则的最大整数值是　 　．
16．为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是　 　米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
17．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，此时，则点C的对应点的坐标为　 　．
18．某商品原价元，经过连续两次降价后，售价为元，设平均每次降价的百分率为，则的值为　 　．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．计算：．
20．先化简再求值：，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值．
21．学校组织初二部分学生进行白鹤拳表演．体育组随机抽取初二部分学生进行了一次问卷调查、并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______名，扇形统计图中“基本了解”部分所占的百分比为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校初二共有学生960人，请根据上述调查结果，估计该校初二学生中对“白鹤拳”达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
22．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O．
（1）在CD边上求作点E，使得BE＝DE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，延长EO交AB于点F，连接DF，求证：四边形BEDF是菱形．
23．某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表：
　 甲 乙
成本 12元/瓶 4元/瓶
售价 18元/瓶 6元/瓶
（1）设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
（2）“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下：
方案一：购买乙种型号果汁一律打9折；
方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折．
某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案．
24．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡比，铅垂高度米（点在同一水平线上）．
（1）两位市民甲、乙之间的距离；
（2）此时飞机的高度．（结果保留根号）
25．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结，取的中点，连接．
，当点在直线外时，
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ；
【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ．
26．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向下平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴四个数中最大的数是2，
故选：A．
【分析】本题以实数的大小比较为背景，考查了有理数与无理数的大小比较方法。先比较各数的大小，找出最大数。正数大于0，负数小于0，正数之间比较数值大小。
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即可解答．
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，
从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个，
故选：D．
【分析】本题以由正方体组成的立体图形为背景，考查了主视图的识别。根据主视图的定义（从正面观察得到的平面图形），确定各列小正方形的个数，选出对应图形。
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设AB=AC.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明一个命题，第一步需要假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设从学校到广场的路径分别为，从广场到超市的路径分别为，
则从学校到超市的路径，
列表：
a b
共6种等可能结果，其中最短路径是，
∴这条路线恰好是最短路线的概率是．
故选：D．
【分析】
利用分布计数原理确定从学校经广场到超市的所有可能路线总数，及根据几何公理”两点之间，线段最短“确定最短路线的数量即可解答.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：过点B作轴于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点；
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴；
设向右平移n个单位长度得到，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴向右平移个单位长度得到，
∴点，
故选：C．
【分析】本题以平面直角坐标系中的三角形平移为背景，考查了勾股定理、待定系数法求一次函数解析式及函数图象的平移规律。利用勾股定理求点C坐标，设直线AB解析式并求解，根据平移后直线经过点C，利用平移前后直线斜率不变，列方程求平移距离，进而得点C'坐标。
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
由作图得，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题以矩形中的几何作图与平行四边形、菱形的判定为背景，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质及勾股定理的应用。由矩形性质得AD⊥BC，结合DF∥AE、AD∥BC得四边形ADFE为平行四边形，由作图得AE=AD，则平行四边形为菱形，得FE=AE，利用勾股定理求BE，进而得BF，最后在Rt△ABF中求AF。
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】本题以三角形中的平行线及面积比为背景，考查了相似三角形的判定与性质、等高三角形面积比等于底边比的应用。由等高三角形面积比得 AD：BD，进而得 AD：AB，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系，
设电流与电阻之间的函数关系为，
∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当时，，故B选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，故C选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当时，，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】本题以台灯中电流与电阻的关系为背景，考查了反比例函数图象的应用及反比例函数的性质。由图象上点坐标求反比例函数解析式，再根据反比例函数的增减性，逐项判断各选项的正确性。
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
又关于的一元二次方程无实数根，
，
解得：，
，
抛物线的顶点所在象限是第一象限．
故选：A．
【分析】
先根据一元二次方程无实根求出c的取值范围，再求出抛物线顶点坐标，最后根据坐标符号判断所在象限即可.
11．【答案】2025
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
当时，原式．
故答案为：．
【分析】
先将代数式2037+2m-2n变形为含m-n的形式，再代入m-n=-6即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】数据0.000000002用科学记数法表示为：，
故答案为：．
【分析】
将0.000000002用科学记数法的形式表示，确定n和a的值即可.
13．【答案】180
【知识点】多边形内角与外角；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵小明每次都是右转且走的路程相同，
∴走过的路线是正多边形，且每一个外角是，
∴边数为：，
∴小明一共走的路程为：．
故答案为：180．
【分析】本题以小明行走路径为背景，考查了正多边形外角和定理的应用。由每次右转相同角度且路程相等，得行走路径为正多边形，每个外角为20°，利用外角和360°求边数，再计算总路程。
14．【答案】3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，3，4，5，
则中位数为：3，
故答案为：3．
【分析】
根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，取中间的数即为中位数.
15．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解： 根据题意，可得：，，
∵，
∴把代入，可得：，
解得：，
∴的最大整数值为：．
故答案为：
【分析】
先根据偏左数的定义求出表达式Pl，再根据Pl-Pr1列出不等式，最后求解不等式得到x的取值范围，进而确定x的最大整数值.
16．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴，
∴，即
解得，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式“”分别表示出弧AB与弧CD的长，根据“公路弯道外侧边线比内侧边线多36米”列出方程，然后解方程并按要求取近似数即可．
17．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【分析】
利用四边形变形后对边平行且相等的性质，结合=120°求出，进而利用解直角三角形求出正方形的边长及D'的坐标，最后通过勾股定理求出即可.
18．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，（不符合题意舍去），
故答案为： ．
【分析】
设平均每次降价的百分率为x，根据原价和两次降价后的售价列出方程求解即可.
19．【答案】解；
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了绝对值、有理数的乘方、零指数幂的运算法则。先分别计算各项：|4|=4，(-2)2=4，=1，再合并得结果。
20．【答案】解：原式
∵分式的分母不等于0，
∴，
把代入得，原式，
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算，即可化简．再根据使分式有意义的条件确定x可取的值，再代入求值即可．
21．【答案】（1）120，
（2）解：“了解”的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
．
（3）解：（人），
答：估计该校初二学生中对“白鹤拳”达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为320人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：接受问卷调查的学生总人数为（名），
扇形统计图中“基本了解”部分所占的百分比为，
故答案为：120，．
【分析】本题以“白鹤拳”了解程度的调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、样本容量的计算、百分比的计算、条形图的补全及用样本估计总体。
（1）由“了解很少”的人数及所占百分比求样本总数，再求“基本了解”所占比例。
（2）求出“了解”的人数，补全条形图。
（3）用全校人数乘以样本中“了解”和“基本了解”人数所占比例，估计总人数。
（1）解：接受问卷调查的学生总人数为（名），
扇形统计图中“基本了解”部分所占的百分比为，
故答案为：120，．
（2）解：“了解”的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
．
（3）解：（人），
答：估计该校初二学生中对“白鹤拳”达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为320人．
22．【答案】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OD=OB，
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形BEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上即可作图；
（2）利用矩形的性质可得到∠EDO=∠FBO，证明△DOE≌△BOF（ASA），进而推出DE=BF，则有四边形BEDF是平行四边形，进而得到四边形BEDF是菱形．
（1）解：如图，点E即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OD=OB，
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形BEDF是菱形．
23．【答案】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶，
据题意得：
解得：，
∵公司所获利润为W元，
∴
∴
∵
∴W随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，最大值为，此时，
∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元；
（2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元，
若，则，
当时，选择方案一购买更合算；
若，则，
当时，选择两优惠方案所需费用相同；
若，则，
当时，选择方案二购买更合算．
∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x的取值范围，利用总利润每瓶甲种号的果汁的销售利润生产甲种型号的果汁量每瓶乙种型号的果汁的销售利润生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为元；选择方案而需费用为元，分及三种情况，可求出y的直范围或y的值，进而可得出结论．
（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶，
据题意得：
解得：，
∵公司所获利润为W元，
∴
∴
∵
∴W随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，最大值为，此时，
∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元；
（2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元，
若，则，
当时，选择方案一购买更合算；
若，则，
当时，选择两优惠方案所需费用相同；
若，则，
当时，选择方案二购买更合算．
∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算．
24．【答案】（1）解：∵斜坡的坡比，铅垂高度米，
∴，
∴米，
∴米；
（2）解：如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，
∴米，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设米，
则米，米，
在中，，
∴，
解得，
∴米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】本题以测量飞机高度的实际情境为背景，考查了解直角三角形的应用、坡比的概念、等腰直角三角形的性质及勾股定理。
（1）利用坡比定义求CG长，再由勾股定理求CD。
（2）构造矩形及直角三角形，利用等腰直角三角形得AB=BC，设未知数表示相关线段，在Rt△ADH中利用正切列方程求解AB。
（1）解：∵斜坡的坡比，铅垂高度米，
∴，
∴米，
∴米；
（2）如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，
∴米，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设米，
则米，米，
在中，，
∴，
解得，
∴米．
25．【答案】（1）4π；（2）
【知识点】坐标与图形性质；圆的相关概念；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接．
，当点在直线外时，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点P在延长线上时，
同理可得，，
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
∴点的运动路径长为；
故答案为：；
（2）∵点的坐标为，
∴，
∵将线段绕着点逆时针旋转，
∴，
∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，
连接，取中点Q，
∵点N是的中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，
∴，
∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值，
∵，，点Q是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
（1）通过作辅助线构造辅助点，利用相似三角形的性质得到，当点在线段上和当点P在延长线上时，利用线段的和差关系得到，进而得到点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆，然后求解即可；
（2）线段OA绕O旋转后可得到OP=OA=2，通过构造辅助点Q，利用三角形中位线定理得到，点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，即可计算点Q坐标，再根据两点间距离公式得到BQ的值，进而求出BN的最小值即可.
26．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，
解得或（舍），
∴m的值为；

（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，
解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，
解得或（舍去）；
综上所述，n的取值范围为．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）将已知点用待定系数法求解二次函数关系式；
（2）根据平移的性质得到平移后的点（1-m，9)，代入二次函数解析式求出m的值即可；
（3）根据二次函数的图象与性质，分三种情况讨论：，时，时，建立方程解题即可．
（1）解：设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，
解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，
解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，
解得或（舍去）；
综上所述，n的取值范围为．
1 / 1湖南省祁阳市浯溪第一中学2025年中考模拟数学试卷（三）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．实数2，0，，中，最大的数是（　　）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴四个数中最大的数是2，
故选：A．
【分析】本题以实数的大小比较为背景，考查了有理数与无理数的大小比较方法。先比较各数的大小，找出最大数。正数大于0，负数小于0，正数之间比较数值大小。
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即可解答．
3．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，
从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个，
故选：D．
【分析】本题以由正方体组成的立体图形为背景，考查了主视图的识别。根据主视图的定义（从正面观察得到的平面图形），确定各列小正方形的个数，选出对应图形。
4．反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设
A．AB=AC B．∠B=∠C C．AB>AC D．AB【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设AB=AC.
故答案为：A.
【分析】用反证法证明一个命题，第一步需要假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
5．高老师准备从超市购买一些奖品．如图，高老师从学校出发，随机选择一条道路，需先经过广场，最终到达超市，则这条路线恰好是最短路线的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设从学校到广场的路径分别为，从广场到超市的路径分别为，
则从学校到超市的路径，
列表：
a b
共6种等可能结果，其中最短路径是，
∴这条路线恰好是最短路线的概率是．
故选：D．
【分析】
利用分布计数原理确定从学校经广场到超市的所有可能路线总数，及根据几何公理”两点之间，线段最短“确定最短路线的数量即可解答.
6．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：过点B作轴于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点；
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴；
设向右平移n个单位长度得到，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴向右平移个单位长度得到，
∴点，
故选：C．
【分析】本题以平面直角坐标系中的三角形平移为背景，考查了勾股定理、待定系数法求一次函数解析式及函数图象的平移规律。利用勾股定理求点C坐标，设直线AB解析式并求解，根据平移后直线经过点C，利用平移前后直线斜率不变，列方程求平移距离，进而得点C'坐标。
7．如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
由作图得，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题以矩形中的几何作图与平行四边形、菱形的判定为背景，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质及勾股定理的应用。由矩形性质得AD⊥BC，结合DF∥AE、AD∥BC得四边形ADFE为平行四边形，由作图得AE=AD，则平行四边形为菱形，得FE=AE，利用勾股定理求BE，进而得BF，最后在Rt△ABF中求AF。
8．如图，在中，，若，，则为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】本题以三角形中的平行线及面积比为背景，考查了相似三角形的判定与性质、等高三角形面积比等于底边比的应用。由等高三角形面积比得 AD：BD，进而得 AD：AB，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出。
9．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系，
设电流与电阻之间的函数关系为，
∵点在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当时，，故B选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，故C选项错误，不符合题意；
当时，则，
∴，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当时，，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【分析】本题以台灯中电流与电阻的关系为背景，考查了反比例函数图象的应用及反比例函数的性质。由图象上点坐标求反比例函数解析式，再根据反比例函数的增减性，逐项判断各选项的正确性。
10．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
又关于的一元二次方程无实数根，
，
解得：，
，
抛物线的顶点所在象限是第一象限．
故选：A．
【分析】
先根据一元二次方程无实根求出c的取值范围，再求出抛物线顶点坐标，最后根据坐标符号判断所在象限即可.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若，则代数式的值等于　 　
【答案】2025
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
当时，原式．
故答案为：．
【分析】
先将代数式2037+2m-2n变形为含m-n的形式，再代入m-n=-6即可.
12．2021年11月3日揭晓的2020年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”．有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的 新型纳米材料，孔径在0.000000002米～0.000000005米范围内．数据0.000000002用科学记数法可表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】数据0.000000002用科学记数法表示为：，
故答案为：．
【分析】
将0.000000002用科学记数法的形式表示，确定n和a的值即可.
13．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转，再前进10m后又向右转，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．那么小明一共走了　 　米．
【答案】180
【知识点】多边形内角与外角；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵小明每次都是右转且走的路程相同，
∴走过的路线是正多边形，且每一个外角是，
∴边数为：，
∴小明一共走的路程为：．
故答案为：180．
【分析】本题以小明行走路径为背景，考查了正多边形外角和定理的应用。由每次右转相同角度且路程相等，得行走路径为正多边形，每个外角为20°，利用外角和360°求边数，再计算总路程。
14．若数据1，2，4，3，5的平均数是3，则中位数是　 　．
【答案】3
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，3，4，5，
则中位数为：3，
故答案为：3．
【分析】
根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，取中间的数即为中位数.
15．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则的最大整数值是　 　．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解： 根据题意，可得：，，
∵，
∴把代入，可得：，
解得：，
∴的最大整数值为：．
故答案为：
【分析】
先根据偏左数的定义求出表达式Pl，再根据Pl-Pr1列出不等式，最后求解不等式得到x的取值范围，进而确定x的最大整数值.
16．为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是　 　米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴，
∴，即
解得，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式“”分别表示出弧AB与弧CD的长，根据“公路弯道外侧边线比内侧边线多36米”列出方程，然后解方程并按要求取近似数即可．
17．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，此时，则点C的对应点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【分析】
利用四边形变形后对边平行且相等的性质，结合=120°求出，进而利用解直角三角形求出正方形的边长及D'的坐标，最后通过勾股定理求出即可.
18．某商品原价元，经过连续两次降价后，售价为元，设平均每次降价的百分率为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，（不符合题意舍去），
故答案为： ．
【分析】
设平均每次降价的百分率为x，根据原价和两次降价后的售价列出方程求解即可.
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．计算：．
【答案】解；
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了绝对值、有理数的乘方、零指数幂的运算法则。先分别计算各项：|4|=4，(-2)2=4，=1，再合并得结果。
20．先化简再求值：，其中x是从0，1，2当中选一个合适的值．
【答案】解：原式
∵分式的分母不等于0，
∴，
把代入得，原式，
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则计算，即可化简．再根据使分式有意义的条件确定x可取的值，再代入求值即可．
21．学校组织初二部分学生进行白鹤拳表演．体育组随机抽取初二部分学生进行了一次问卷调查、并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______名，扇形统计图中“基本了解”部分所占的百分比为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校初二共有学生960人，请根据上述调查结果，估计该校初二学生中对“白鹤拳”达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【答案】（1）120，
（2）解：“了解”的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
．
（3）解：（人），
答：估计该校初二学生中对“白鹤拳”达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为320人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：接受问卷调查的学生总人数为（名），
扇形统计图中“基本了解”部分所占的百分比为，
故答案为：120，．
【分析】本题以“白鹤拳”了解程度的调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、样本容量的计算、百分比的计算、条形图的补全及用样本估计总体。
（1）由“了解很少”的人数及所占百分比求样本总数，再求“基本了解”所占比例。
（2）求出“了解”的人数，补全条形图。
（3）用全校人数乘以样本中“了解”和“基本了解”人数所占比例，估计总人数。
（1）解：接受问卷调查的学生总人数为（名），
扇形统计图中“基本了解”部分所占的百分比为，
故答案为：120，．
（2）解：“了解”的学生人数为（名），
补全条形统计图如下：
．
（3）解：（人），
答：估计该校初二学生中对“白鹤拳”达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为320人．
22．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O．
（1）在CD边上求作点E，使得BE＝DE；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，延长EO交AB于点F，连接DF，求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OD=OB，
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形BEDF是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上即可作图；
（2）利用矩形的性质可得到∠EDO=∠FBO，证明△DOE≌△BOF（ASA），进而推出DE=BF，则有四边形BEDF是平行四边形，进而得到四边形BEDF是菱形．
（1）解：如图，点E即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OD=OB，
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE=BE，
∴四边形BEDF是菱形．
23．某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表：
　 甲 乙
成本 12元/瓶 4元/瓶
售价 18元/瓶 6元/瓶
（1）设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
（2）“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下：
方案一：购买乙种型号果汁一律打9折；
方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折．
某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案．
【答案】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶，
据题意得：
解得：，
∵公司所获利润为W元，
∴
∴
∵
∴W随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，最大值为，此时，
∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元；
（2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元，
若，则，
当时，选择方案一购买更合算；
若，则，
当时，选择两优惠方案所需费用相同；
若，则，
当时，选择方案二购买更合算．
∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x的取值范围，利用总利润每瓶甲种号的果汁的销售利润生产甲种型号的果汁量每瓶乙种型号的果汁的销售利润生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为元；选择方案而需费用为元，分及三种情况，可求出y的直范围或y的值，进而可得出结论．
（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶，
据题意得：
解得：，
∵公司所获利润为W元，
∴
∴
∵
∴W随x的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，最大值为，此时，
∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元；
（2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元，
若，则，
当时，选择方案一购买更合算；
若，则，
当时，选择两优惠方案所需费用相同；
若，则，
当时，选择方案二购买更合算．
∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算．
24．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为．若斜坡的坡比，铅垂高度米（点在同一水平线上）．
（1）两位市民甲、乙之间的距离；
（2）此时飞机的高度．（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵斜坡的坡比，铅垂高度米，
∴，
∴米，
∴米；
（2）解：如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，
∴米，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设米，
则米，米，
在中，，
∴，
解得，
∴米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】本题以测量飞机高度的实际情境为背景，考查了解直角三角形的应用、坡比的概念、等腰直角三角形的性质及勾股定理。
（1）利用坡比定义求CG长，再由勾股定理求CD。
（2）构造矩形及直角三角形，利用等腰直角三角形得AB=BC，设未知数表示相关线段，在Rt△ADH中利用正切列方程求解AB。
（1）解：∵斜坡的坡比，铅垂高度米，
∴，
∴米，
∴米；
（2）如图所示，过点D作于H，则四边形是矩形，
∴米，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设米，
则米，米，
在中，，
∴，
解得，
∴米．
25．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结，取的中点，连接．
，当点在直线外时，
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ；
【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ．
【答案】（1）4π；（2）
【知识点】坐标与图形性质；圆的相关概念；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接．
，当点在直线外时，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点P在延长线上时，
同理可得，，
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
∴点的运动路径长为；
故答案为：；
（2）∵点的坐标为，
∴，
∵将线段绕着点逆时针旋转，
∴，
∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，
连接，取中点Q，
∵点N是的中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，
∴，
∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值，
∵，，点Q是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
（1）通过作辅助线构造辅助点，利用相似三角形的性质得到，当点在线段上和当点P在延长线上时，利用线段的和差关系得到，进而得到点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆，然后求解即可；
（2）线段OA绕O旋转后可得到OP=OA=2，通过构造辅助点Q，利用三角形中位线定理得到，点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，即可计算点Q坐标，再根据两点间距离公式得到BQ的值，进而求出BN的最小值即可.
26．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向下平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，
解得或（舍），
∴m的值为；

（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，
解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，
解得或（舍去）；
综上所述，n的取值范围为．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）将已知点用待定系数法求解二次函数关系式；
（2）根据平移的性质得到平移后的点（1-m，9)，代入二次函数解析式求出m的值即可；
（3）根据二次函数的图象与性质，分三种情况讨论：，时，时，建立方程解题即可．
（1）解：设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，
解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，
解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，
解得或（舍去）；
综上所述，n的取值范围为．
1 / 1

展开更多......

收起↑